裂项法在分数计算中的应用

裂项法是分数运算中常用的简便方法之一，而且运用裂项法往往会使繁杂的分数计算简单化，所以掌握裂项法的解题要求和思想是十分重要的。裂项法的原理：我们在进行分数计算使运用了，我们将此运算逆向思维，则可以得到。即当一个分数的分母是两个正整数的乘积，而分子是这两个正整数的差或和，则我们可以将这个分数写成两个分数的和或差。裂项法的原理比较简单，但是分数计算中所涉及到的题型的变化和其他数学思想的渗入、结合，使有些问题变得复杂、棘手。下面就有关于裂项法所涉及到的一些题型和变化进行一番探索。

例1、计算

分析：此题是运用裂项法进行分数计算的最基本的运用，分母是两个正整数的乘积，而分子是这两个正整数的差，所以我们可以将每一个分数成两分数的差，即

小结：通过以上的介绍可以看到在分数计算中，有的计算如果运用通分等思想，由于题目过于复杂，不容易计算，而使用裂项法就使解题变得十分的简单。

例2、计算

分析：此题好象不符合裂项法的要求，但是我们仔细分析，发现分母上的，而分子恰好是这两个正整数的和：3+4=7，4+5=9，…，所以可以运用裂项法的原理来解。

例3、计算

分析：此题是分数运用裂项法计算的最基本的变化，但是从题中可以看出，此种类型的题目还是没有脱离裂项法的基本题型：分母是两个正整数的乘积，分子是这两个正整数的差。

小结；通过以上几题的分析，可以看出裂项法在分数计算中的运用主要是题中的项数较多，不容易进行通分，而且通过分析可以看到运用裂项法后存在首尾相抵消的运算，使分数运算简单化。

例4、计算

分析：此题的变化让人感觉裂项法在此计算中是不能运用的，分母还是两个正整数的乘积，而分子不是我们熟悉的这两个正整数的差。我们在运用此题时，进行了自行的构造条件，分子没有满足裂项法的要求，而分子的差应该是4，那么我们运用分数的基本性质，将分子、分母同时乘上4，因为这题中的每一项都含有，我们将其提取，使剩下的部分满足裂项法的要求。

小结：此题是在运用裂项法时，不满足运用裂项法的要求，而我们为使能运用进行了自行的构造，这种思想在数学解题中经常运用，应熟练掌握。

例5、计算

分析：此题的分母是三个正整数的乘积，而我们发现在每一项的分母中都有3，我们可以进行提取，分子应该是分母剩下两个正整数的差4，而现在是2，所以此题我们一方面运用提取公因数，一方面运用构造法进行求解。

例6、计算

分析：此题的分母是三个正整数的乘积，而与上一题不同在于它又不能化成分母是两个正整数乘积的形式。我们在求解时对此题稍微进行一下探索：，，发现此题的每一项还是可以通过裂项法化成两项，而且首尾可以相互抵消，但是题目中的分子不满足条件，我们可以自行构造，使其可以利用裂项法来求解。

例7、计算

分析：在解此题时，有了上面的经验，我们可以先进行一番探索：，，分子缺少了3，我们运用构造法即可。

例8、计算

分析：此题与例7很相似，分母成一定规律变化，但是分子却产生了变化，我们仔细分析发现分子是每一项分母首尾两个数的和，所以我们先尝试第一次裂项法化简。

例9、计算

分析：此题的分母不是一贯的对称的式子，而是项数呈递增趋势，显然不再适合我们对称的进行裂项，但我们发现分子是4=5-1，6=7-1，8=9-1，所以在运用裂项法时是分为首尾两组。

例10、计算

分析：此题看上去与我们熟悉的运用裂项法的计算题完全不同了，但是基于项数较多，通分计算又不太可能，所以我们还是寻找裂项的条件。首先分析分母是呈等差数列求和变化，我们的第一反应是运用等差数列的求和公式将其求和。

代入为：，此时豁然开朗，除1以外，计算式后面部分可以运用裂项法来求解。

例11、计算

分析：此题与例10又有变化，分母上两个乘数都是等差数列的求和，而且分子呈一定的变化规律，我们仔细分析分子出现的规律会发现，其实此题中的分子是分母两个等差数列和的差：（1+2）－１＝２，（１＋２＋３）－（１＋２）＝３，…，所以我们就将每个等差数列的和看作一个数，然后运用裂项法来求解。

应用裂项法解题的基本题型就介绍以上几种，下面对其应用稍做介绍。

例12、解方程

例13、

例14、若的值？