线性系统稳定性分析的MATLAB分析方法

                  MATLAB设计

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线性系统稳定性分析的MATLAB分析方法

                     电气工程学院

    班级：10自动化3班      

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                    姓名：

                    指导老师：

线性系统稳定性分析的MATLAB分析方法

摘要：

稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因而，如何分析系统的稳定性并提出系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。由于MATLAB拥有丰富的数据类型和结构、友善的面向对象、快速精美的图形可视、更广泛的数学和数据分析资源控制系统工具箱的应用开发工具。所以应用MATLAB来分析系统的稳定性将给系统稳定性的分析带来很大的便利。

关键词：自动控制理论、线性系统、稳定性、MATLAB

引言：

    本次作业是运用MATLAB来分析线性系统的稳定性，是对MATLAB加深理解和运用的一个重要环节。本次作业以自动控制基础中线性系统稳定性的如何分析来开展。通过自动控制中分析线性系统稳定性的原理与方法，以MATLAB为分析工具完成这次作业。

1.自动控制技术介绍

在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。所谓自动控制，就是指没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（称控制装置或控制器），使机器、设备或生产过程（统称被控对象）的某个工作状态或参数（被控量）自动地按照预定的规律运行。

1.1稳定性的基本概念

任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。

根据李雅普诺夫稳定性理论，线性系统的稳定性可叙述为：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系统渐近稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。

1.2线性系统稳定的充分必要条件

线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。通过理论分析得到线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均位于左半s平面。

2.线性系统稳定性的判定

线性系统稳定性的判定主要依据线性系统稳定的充分必要条件。判定其稳定性，可以用代数法、根轨迹法、波特图法和奈奎斯特法。

2.1代数法

代数法是通过求出闭环系统特征方程的全部特征根，若所有特征根均含有负实部，则系统是稳定的；否则，只要有一个特征根的实部为正数，则系统不稳定。

例如：已知系统的开环传递函数为：

试判别系统闭环的稳定性。

MATLAB文本如下：

>> den=[2 9 23 13 3];

>> roots(den)

运行结果为：

ans =

  -1.9170 + 2.2585i

  -1.9170 - 2.2585i

  -0.3330 + 0.2450i

  -0.3330 - 0.2450i

分析：从运行结果可知，该系统的闭环特征根方程的所有的根的实部均为负实数，所以该系统是稳定的。

2.2根轨迹法判断系统稳定性

根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。当开环增益从零变到无穷时，根轨迹的不越过虚轴进入右半s平面时，系统对所有的k值都是稳定的；当根轨迹越过虚轴进入右半s平面，此时根轨迹与虚轴交点处的k值就是临界开环增益。

例如：已知单位负反馈系统的开环传递函数为：

G(s)H(s)= 

MATLAB文本如下：

G=tf([1 3],[1 2 2 0]);

rlocus(G)

运行结果为：

分析：从图上可知当k从零变化到无穷时根轨迹穿越虚轴进入了右半s平面，与虚轴交点为（-0.00046,2.46）,增益k为4.05，所以，使系统稳定的k值范围为0k4.05。

2.3奈奎斯特图法判断系统稳定性

奈奎斯特稳定的判据  反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线不穿过（-1，j0）点且逆时针包围临界点（-1，j0）点的圈数R等于开环传递函数的正实部极点数。

例：单位负反馈系统的开环传递函数为：

G(s)H(s)= 

MATLAB文本如下：

G=tf([1 2],[1 6 13 9 2]);

nyquist(G)

运行结果为：

    分析：从图可知，奈奎斯特曲线没有包围（-1，j0）,从而可以判定该系统是稳定的。

2.4波特图法判断系统稳定性

奈奎斯特判据是基于复平面的半闭合曲线判定系统的闭环稳定性，由于半闭合曲线可以转换为半对数坐标下的曲线，因此可以推广运用奈奎斯特判据，其关键问题是需要根据半对数坐标下的曲线确定穿越次数N或N和N。

例：单位负反馈系统的开环传递函数为：

G(s)H(s)= 

画波特图

MATLAB文本如下：

G=tf([1280 600],[1 24 1600 300 20]);

margin(G)

运行结果为：

求开环传递函数的极点：

MATLAB文本如下：

>> den=[1 24 1600 300 20];

>> roots(den)

运行结果为：

ans =

 -11.9061 +38.1282i

 -11.9061 -38.1282i

  -0.0939 + 0.0609i

  -0.0939 - 0.0609i

分析：由波特图可知，系统的幅值裕度h=29.4dB，相角裕度=73.7，相应的截止频率=0.9，穿越频率=39.9。由奈奎斯特判据可知，当频率0.9时，曲线没有穿越-180，而且开环传递函数没有位于右半s平面的极点。所以该系统是稳定的。

结束语：

通过本次作业进一步掌握了MATLAB的运用。在这次作业中，我学了用MATLAB来求传递函数的闭环特征根、根轨迹图、奈奎斯特图、波特图并学会了线性系统稳定性分析的方法。同时也发现了自己的很多不足，无论是对知识的理解还是实践能力以及理论联系实际的能力还急需提高。在这个过程中，我还发现用MATLAB还可以设计很多东西，如在自动控制基础、数字电路、模拟电路、数字信号等领域都有很广泛的应用。在本次作业中只涉及到了自动控制基础中微小的一方面。但由于我掌握的知识不足，所以只能就自动控制基础中微小的一方面来完成这次作业，在此表示惭愧。但是，今后我一定努力学习，进一步加深对MATLAB的理解和学习，掌握MATLAB在各种领域中的运用，争取早日能为某些领域做出应有的贡献！

参考文献：1.胡寿松.自动控制原理.第二版.科学出版社

          2.杨成慧.MATLAB程序设计基础教程.西安电子科技大学出版社