高一下期中数学试卷及答案

高一数学试题

（考试时间：120分钟 试卷分值：150分）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于（ ）

A.1:2:3

B.3:2:1

C.

D.2 2.不等式x 2-2x +3<0的解集是（ ）

A.{x |－1＜x ＜3}

B.{x |－3＜x ＜1}

C.{x |x ＜－3或x ＞1}

D.∅ 3．数列{}n a 的通项公式32-=n a n 则=+31a a （ ）

A ．0

B ．2

C ．5

D ．－1

4．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为（ ）

A ．1

B ．－21

C ．1或－21

D ．－1或2

1

5．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝24，则7a 为( )．

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

6．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩

，

，

，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为（ ） A ．０ B ．6 C ．9 D ．15

7．在△ABC 中，222

a b c bc =++ ，则A 等于（ ）

A ．60°

B ．45°

C ．120°

D ．30° 8．在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ）

A 、钝角三角形

B 、直角三角形

C 、锐角三角形

D 、不能确定 9．设0<A ．b a 11>

B ．

a b a 1

1>- C ．b a -> D ．b a ->- 10．若称

n

a 1＋a 2＋…＋a n

为n 个正数a 1＋a 2＋…＋a n 的“均倒数”已知数列{a n }的各项均为正，

且其前n 项的“均倒数”为

1

2n －1

则数列{a n }的通项公式为( )． A ．2n －1 B ．4n －3 C ．4n －1 D ．4n －5

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上。

11．若数列{}n a 满足：11=a ，12

1+=n n

a a ,n =1,2,3,….则=⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n a a a 21 . 12．不等式022>++bx ax 的解集是(－

21,3

1

)则a ＋b 的值是 . 13．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且边a=4，c=3，则△ABC 的面积等于 _______ 14．已知数列{}n a 的前n 项和23n n S =-，则数列{}n a 的通项公式为 .

15．在△ABC 中∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边则

c

a b

c b a +++＝ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过

程及演算步骤。

16．(本小题满分12分) 已知1)1

()(2++-=x a

a x x f ，

（I ）当2

1

=a 时，解不等式0)(≤x f ；

（II ）若0>a ，解关于x 的不等式0)(≤x f 。

17．(本小题满分12分)数列}{n a 满足11=a ，

111

122n n

a a +=+（*N n ∈）

。 （I ）求证1n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是等差数列；

（II ）若33

16

13221>

⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n n a a a a a a ，求n 的取值范围。

18．(本小题满分12分) 已知ABC △

1

，且sin sin A B C +． （I ）求边AB 的长；

（II ）若ABC △的面积为1

sin 6

C ，求角C 的度数．

19．(本小题满分13分) 如图1渔船甲位于岛屿A 的南偏西60 方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

（I ）求渔船甲的速度； （II ）求sin α的值．

20．(本小题满分13分)

在等差数列}{n a 中，首项11=a ，数列}{n b 满足,21n

a

n b ⎪⎭

⎫

⎝⎛=1321=b b b

（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）求22211<⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n b a b a b a

60 A

B C 东 西 北 α

21．(本小题满分13分)

在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，a 3与a 5的等比中项为2.

（I ）求数列{a n }的通项公式；

（II ）设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 2

2＋…＋S n

n 最大时，求n 的值．

振阳公学2012—2013学年第二学期期中考试

高一数学试题答案

11．12-n

;

12．－14; 13; 14. 11,1

2,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩; 15. 1;

16. 解：（I ）当21=a 时，有不等式012

5)(2

≤+-=x x x f ，∴0)2)(21(≤--x x ，

∴不等式的解为：}221

|{≤≤∈x x x ……………………5分

（II ）∵不等式0))(1

()(≤--=a x a

x x f

当10<1，∴不等式的解集为}1|{a x a x ≤≤； 当1>a 时，有a a <1，∴不等式的解集为}1

|{a x a

x ≤≤；

当1=a 时，不等式的解为1=x 。……………………12分

17. 解：（I ）由111122n n

a a +=+可得：1112n n a a +=+所以数列}1{n a 是等差数列，首项11

1=a ，公差

2d =……………………2分

∴ 12)1(1

11

-=-+=n d n a a n ∴121-=

n a n ……………………6分 （II ）∵)1

21

121(21)12)(12(11+--=+-=+n n n n a a n n

∴)12112151313111(2113221+--++-+-=++++n n a a a a a a n n 11(1)2

2121n

n n =-=

++ ∴

16

2133

n n >+ 解得16n > 解得n 的取值范围：*{|16,}n n n N >∈………………12分 18. (本小题满分12分)

解：（I ）

由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++= ①，

BC AC + ②， ……………………4分 两式相减，得1AB =． ………………………6分

（II ）由ABC △的面积C C AC BC sin 61sin 21=⋅⋅，得3

1

=⋅AC BC ，…………8分

由余弦定理，得BC

AC AB BC AC C ⋅-+=2cos 2

22 …………………10分

2

1

22)(22=⋅-⋅-+=

BC AC AB BC AC BC AC 所以60C = ．………12分 19.(本小题满分13分)解：（I ）依题意，120BAC ∠=

，12AB =，10220AC =⨯=，BCA α∠=．在

△ABC 中，由余弦定理，得

2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠ ……………………4分

22122021220cos120784=+-⨯⨯⨯= ．解得28BC =．………5分

所以渔船甲的速度为142

BC

=海里/小时． 答：渔船甲的速度为14海里/小时．…………………7分

（II ）在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠=

，28BC =，

BCA α∠=，由正弦定理，得 sin sin120

AB BC

α=

．…………………10分

即12sin1202sin 2814

AB BC α=

== ． 答：sin α

……………12分

20．(本小题满分13分)

n a n b a )2

1

(,11== ，

【解】（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，

60 A

B

C 东

南

西

北 α

.)21

(,)21(,21,)21(,12131211d d a n b b b b a n ++===∴==∴

由

1

321=b b b ，解得d=1. .1)1(1n n a n =⋅-+=∴…………6分

（2）由（1）得.)21(n n b =设n n n n n b a b a b a T )2

1

()21(3)21(2211322211⋅++⋅+⋅+⋅=+++=

则.)2

1()21(3)21(2)21(1211

432+⋅++⋅+⋅+⋅=n n n T 两式相减得.)21()21()21()21(2121132+⋅-++++=n n n n T n n n n n n n T 2212)21(22

11]

)21(1[2

1211--=⋅---⋅=∴-+.又

2.2221222111

<+++∴<-

-

-n n n

n b a b a b a n

又…………13分 21．(本小题满分13分) 解：(1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 2

3＋2a 3a 5＋a 2

5＝25.

又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5. 又a 3与a 5的等比中项为2，∴a 3a 5＝4. 而q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5.

∴a 3＝4，a 5＝1，q ＝12，a 1＝16. ∴a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n

. ……………6分

(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ， ……………8分

∴b n ＋1－b n ＝－1， ∴{b n }是以4为首项，－1为公差的等差数列．

∴S n ＝n 9－n 2，S n n ＝9－n 2，……………9分

∴当n ≤8时，S n n

＞0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n ＞9时，S n n

＜0； ∴n ＝8或9时，S 11＋S 2

2＋…＋S n

n

最大．……………13分