(完整版)十字相乘法进行因式分解详案

【基础知识精讲】

（1）理解二次三项式的意义；

（2）理解十字相乘法的根据；

（3）能用十字相乘法分解二次三项式；

（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．

【重点难点解析】

1．二次三项式

多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，和都是关于x的二次三项式．

在多项式中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．

在多项式中，把ab看作一个整体，即，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．

十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．

2．十字相乘法的依据和具体内容

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是：

（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

（2）对于二次项系数不是1的二次三项式(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数，使，，且，

那么它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：

3．因式分解一般要遵循的步骤

多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

【典型热点考题】

例1  把下列各式分解因式：

（1）；（2）．

点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；

（2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．

解：（1）；

（2）．

例2  把下列各式分解因式：

（1）；（2）．

点悟：我们要把多项式分解成形如的形式，这里，而．

解：（1）；

（2）．

点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．

例3  把下列各式分解因式：

（1）；

（2）；

（3）．

点悟：（1）把看作一整体，从而转化为关于的二次三项式；

（2）提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式；

（3）以为整体，转化为关于的二次三项式．

解：（1） 

＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．

（2） 

＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2]

＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)．

（3） 

点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．

例4  分解因式：．

点悟：把看作一个变量，利用换元法解之．

解：设，则

原式＝(y－3)(y－24)＋90

＝(y－18)(y－9)

．

点拨：本题中将视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．

例5  分解因式．

点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．

解：原式

，

令，则

原式

．

点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节．

例6  分解因式．

点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)的二次三项式．

方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式．

解法1：  

．

解法2：  

＝(x－y－6)(x－y＋1)．

例7  分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．

点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．

解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)

＝(a－b)(c－a)(c－b)．

点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含a－b的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解．

例8  已知有一个因式是，求a值和这个多项式的其他因式．

点悟：因为是四次多项式，有一个因式是，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是（a、b是待定常数），故有．根据此恒等关系式，可求出a，b的值．

解：设另一个多项式为，则

，

∵  与是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有

由①、③解得，a＝－1，b＝1，

代入②，等式成立．

∴  a＝－1，另一个因式为．

点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．

【易错例题分析】

例9 分解因式：．

错解：∵  －10＝5×(－2)，5＝1×5，

5×5＋1×(－2)＝23，

∴  原式＝(5ab＋5y)(－2ab＋5y)．

警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．

正解：∵  5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．

∴  原式＝(ab＋5y)(5ab－2y)．

【同步练习】

一、选择题

1．如果，那么p等于                          (　)

A．ab           B．a＋b          C．－ab        D．－(a＋b)

2．如果，则b为                          (　)

A．5            B．－6           C．－5         D．6

3．多项式可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为              (　)

A．10和－2      B．－10和2      C．10和2      D．－10和－2

4．不能用十字相乘法分解的是                                            (　)

A． B．

C．                     D．

5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是                           (　)

A．

B．

C．

D．

6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有                     (　)

①；          ②；           ③；

④；         ⑤；         ⑥

A．2个          B．3个          C．4个           D．5个

二、填空题

7．__________．

8．(m＋a)(m＋b)．

  a＝__________，b＝__________．

9．(x－3)(__________)．

10．____(x－y)(__________)．

11．．

12．当k＝______时，多项式有一个因式为(__________)．

13．若x－y＝6，，则代数式的值为__________．

三、解答题

14．把下列各式分解因式：

（1）；                       （2）；

（3）；                （4）；

（5）；                    （6）．

15．把下列各式分解因式：

（1）；（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）．

16．把下列各式分解因式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）．

17．已知有因式2x－5，把它分解因式．

18．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，，求a的值．

参

【同步练习】

1．D  2．B  3．D  4．C  5．A  6．C

7．(x＋5)(x－2)  8．1或－6，－6或1  9．2x＋1

10．xy，x＋2y  11．，a,

12．－2，3x＋1或x＋2  13．17

14．（1） 原式

（2） 原式

（3） 原式

（4） 原式

（5） 原式

（6） 原式

15．（1） 原式

（2） 原式

（3） 原式

（4） 原式

（5） 原式

（6）原式

16．（1） 原式

（2） 原式

（3）原式

（4） 原式

（5） 原式

（6） 原式

17．提示：

18．∵  

，

又∵  ，xy＝a＋4，

，∴  ，

解之得，a＝－7．