等比数列前n项和基础测试题

一、单选题

1．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝（    ）

A．135 ．100

C．95 ．80

2．已知为等比数列，是它的前项和.若，且，则（    ）

A．33 ．93 ．-33 ．-93

3．等比数列的前n项和为，且，，成等差数列．若，则（    ）

A．15 ．7 ．8 ．16

4．等比数列中，首项＝8，公比＝，那么它的前5项和的值等于(　 　)

A．15.5 ．20      ．15 ．20.75

5．已知数列的前项为和，且，则（   ）

A．5 ． ． ．9

6．已知等比数列的公比为，前项和为，若，，成等差数列，则（    ）

A． ．1 ． ．2

7．已知数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前项和为（    ）

A． ． ． ．

8．设等比数列的公比为2，前项和为，则（    ）

A．2 ．4 ． ．

9．已知数列满足，且对任意都有，则的取值范围为（    ）

A． ． ． ．

10．《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”其意是：有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走7天，共走了700里路.若该马按此规律继续行走7天，则它14天内所走的总路程为（    ）里.

A．950 ．1055 ．11 ．

11．已知数列满足，则（    ）

A． ． ． ．

12．记为等比数列的前项和，，，则实数的值为（    ）

A．9 ．8 ．7 ．6

二、填空题

13．已知数列，，它的前n项和为，且是与的等差中项.若为等比数列，，则______.

14．设正项等比数列的公比为，前项和为，若，则_______________.

15．计算________

16．数列中，，.若其前项和为40，则__________.

三、解答题

17．已知等差数列和正项等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18．已知等差数列的前项和为，公差为，且.

（1）若，求的通项公式；

（2）若，，求数列的前10项和的取值范围.

19．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，已知a5＝5，S5＝15．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设an＝log2bn，求数列{bn}的前n项和Tn．

20．已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

21．已知公差不为0的等差数列{an }前9项之和，且第2项，第4项，第成等比数列

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足 an+，求数列的前项的和．

22．已知数列的前项和为，且满足，（）．

（1）求的值，并求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求（）．

参

1．A

【分析】

由等比数列前n项和的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，再利用等比数列的通项公式求解.

【详解】

由等比数列前n项和的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，

其首项为40，公比为，

所以a7＋a8＝.

故选：A

【点睛】

本题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的通项公式和基本量的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2．B

【分析】

设等比数列的公比为，根据题中条件列出方程求出首项和公比，再由求和公式，即可得出结果.

【详解】

设等比数列的公比为，

因为，且，

所以，解得，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查等比数列基本量的运算，熟记等比数列的求和公式与通项公式即可，属于基础题型.

3．B

【分析】

通过，，成等差数列,计算出，再计算

【详解】

等比数列的前n项和为，且，，成等差数列

即 

故答案选B

【点睛】

本题考查了等比数列通项公式，等差中项，前N项和，属于常考题型.

4．A

【分析】

由等比数列的前项和公式求解即可.项数较少且数据简单，也可直接求出各项再求和.

【详解】

方法一：

方法二:

【点睛】

本题考查等比数列的前项和.熟记公式，准确计算是解题的关键.

5．D

【分析】

先根据已知求出数列的通项，再求解.

【详解】

当时，，可得；

当且时，，得，故数列为等比数列，首项为4，公比为2.

所以

所以.

故选D

【点睛】

本题主要考查项和公式求数列通项，考查等比数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

6．B

【分析】

根据题意，得到，即，进而可求出结果.

【详解】

因为等比数列的公比为，由，，成等差数列可得，

即，即．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查等比数列前项和基本量的运算，涉及等差中项的应用，属于基础题型.

7．C

【分析】

根据等差数列的定义和等比数列的定义可得数列为常数列，由此可求出答案．

【详解】

解：∵数列既是等差数列又是等比数列，

∴，，且，

∴，即，

∴，

∴这个数列为常数列，

∴其前项和为，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查等比数列和等差数列的综合应用，属于基础题．

8．C

【分析】

利用等比数列的前项和公式以及等比数列的通项公式即可求解.

【详解】

故选：C

【点睛】

本题考查了等比数列的前项和公式以及等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.

9．D

【分析】

由，得，两式相除可得，从而可得数列 为等比数列，首项为 ，公比为，进而可求出的值，可得答案

【详解】

∵数列 满足，

 时， 时， ，可得 .

 ，数列 为等比数列，首项为 ，公比为 .

.

∵对任意 都有，则 的取值范围为 

故选：D.

【点睛】

此题考查等比数列的前项和公式的应用，考查由递推式求数列的通项，属于基础题

10．D

【分析】

利用等比数列的前项和公式即可求解.

【详解】

由题意，设该匹马首日路程为，公比，，

，

解得，

所以.

故选：D

【点睛】

本题考查了等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.

11．A

【分析】

由数列通项公式可得，应用等比数列前n项和公式求和即可.

【详解】

由题意知：，

∴.

故选：A

【点睛】

本题考查了由已知数列通项公式求新数列通项，应用等比数列前n项和公式，属于简单题.

12．A

【分析】

由为等比数列，可设首项和公比为和，由可得：，又由可得：，代入即可得解.

【详解】

由为等比数列，可设首项和公比为和，

由可得：，

又由可得：，整理化简可得：

，即得：，

故选：A

【点睛】

本题考查了等比数列基本量的运算，考查了等比数列通项公式和求和公式，属于简单题.

13．127

【分析】

根据已知条件列出方程，计算即可得解.

【详解】

因为数列中，是与的等差中项.

所以，由，可得：，

解得，又，

所以.

故答案为：127.

【点睛】

本题考查等比数列前项和公式中基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.

14．

【分析】

由可知公比，所以直接利用等比数列前项和公式化简，即可求出

【详解】

解：因为，所以，

所以，所以，化简得，

因为等比数列的各项为正数，所以，

所以，

故答案为：

【点睛】

此题考查等比数列前项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题

15．

【分析】

利用乘公比错位相减法，求数列的前项和即可.

【详解】

①，

②，

①②得：

，

所以，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是能看出所求的式子是数列的前项和，利用乘公比错位相减法即可求.

16．4

【分析】

根据等比数列的定义可知数列是以为首项，3为公比的等比数列，根据等比数列前项和公式即可求出结果.

【详解】

因为数列中，，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列；

所以，所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的定义和前项和公式的应用，属于基础题.

17．（1）；（2）

【分析】

（1）根据条件列公差与公比方程组，解得结果，代入等差数列通项公式即可；

（2）根据等比数列求和公式直接求解.

【详解】

（1）设等差数列公差为，正项等比数列公比为，

因为，

所以

因此；

（2）数列的前n项和

【点睛】

本题考查等差数列以及等比数列通项公式、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

18．（1）；（2）.

【分析】

（1）由，得，可求出的值，再结公差可求出，进而可求出数列的通项公式；

（2）由结合（1）中求出的，可得，由可求出，利用等比数列的前项和公式求出，从而可求出其范围.

【详解】

（1）由，得，

则或.

当时，，则； 

当时，，则.

（2）因为，所以，所以.

因为，所以.

因为，

所以的取值范围为.

【点睛】

此题考查了等差数列的基本量计算，考查分类思想，考查了等比数列的前项和公式，考查了计算能力，属于基础题.

19．(1) ；（2）.

【分析】

（1）设等差数列的公差为d，由已知得出方程组，解之得通项；

（2）由已知根据对数运算得，根据等比数列的定义可得数列{bn}的是首项为2,公比为2的等比数列.由等比数列的求和公式可得答案.

【详解】

解:(1)设等差数列的公差为d，则，解之得，

所以数列{an}的通项公式为；

（2），

由此可得，数列{bn}的是首项为2,公比为2的等比数列.

因此，可得{bn}前n项和.

【点睛】

本题考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式等知识点，属于中档题.

20．（1），（2）.

【分析】

（1）由，，成等差数列可得，然后结合公比为2求出即可；

（2）直接根据公式求出答案即可.

【详解】

（1）因为数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列

所以，所以，解得

所以

（2）

【点睛】

本题考查的是等差中项的应用、等比数列的基本运算，考查了学生的计算能力，属于基础题.

21．（1）;（2）

【分析】

（1）根据， 成等比列两个方程，求出首项和公差，求得通项公式.

（2）用分组求和法求和.

【详解】

解：（1）设数列公差为，由已知有 ，

得，得,又，

解得，故，所以数列的通项公式.

（2）由（1）有 ，则

  ，

即数列的前项的和

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，等比数列的前项和公式，数列的分组

求和法.

22．（1）; （2）.

【分析】

（1）用代入法求出，再根据与的关系，得递推关系，再求出，

注意验证1时是否符合求出的通项公式.

（2）用裂项相消法求和.

【详解】

解：（1）由，，令得，

令得，即.

由………………………………………①

则当时，……………………②

①②可得，得，得，

故是首项为，公比为的等比数列，

则，整理得，

当时，，也符合公式，故（）,

即数列的通项公式.

(2),

故，

即.

【点睛】

本题考查了与之间的关系，根据递推公式推导通项公式，裂项相消法求和.