求解圆锥曲线离心率的方法

离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。

椭圆的离心率e∈（0，1），双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1．

一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式来解决。

例１. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）

A. B. C. D. 

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为(    )

A.                B.                  C.                   D. 

变式练习２：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为(    )

A.      B.        C.           D2

变式练习３： 点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）

A. B. C. D. 

二、构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

例２. 已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A.   B.    C.   D. 

变式练习１：设双曲线﹣＝1(0A.2       B.          C.               D. 

变式练习２：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，∠F1MF2＝120，则双曲线的离心率为（    ）

  （A）        （B）       （C）       （D）

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例３．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

四、根据圆锥曲线的统一定义求解

例4.设椭圆+＝1 (a>b>0)的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是            .

五、构建关于e的不等式，求e的取值范围

例5. 设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）

A.    B.     C.    D. （）

例6  如图，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

练习：

1.（天津理4） 设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为            

    A.    B.    C.    D.

2.（全国2 文11）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（    ）

A．            B．            C．            D．

3.（2006全国II）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为           （A）            (B)           (C)             (D) 

4．（2006山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为         (A)  (B) (C)      (D)

5．（2006山东卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为    (A)    (B)2    (C)       (D)2

6.（安徽理9）如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为

   （A）                （B）            （C）        （D）

7.（湖南文9）设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是

A．        　 B.      　　     C. 　　　      D. 

8.（全国2理11）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为

(A)              (B)                (C)              (D) 

9.（2006福建卷）已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A.( 1,2)          B. (1,2)           C.[2,+∞]           D.(2,+∞)

10.（北京文4）椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

Ａ．            Ｂ．            Ｃ．            Ｄ．

设点为曲线上的点

一．椭圆的焦半径公式：

１．到左焦点的距离：；

２．到右焦点的距离：．

二．双曲线的焦半径公式：

１．到左焦点的距离：；

２．到右焦点的距离：．