《复变函数与积分变换》试卷及答案

一、填空题（本题共8小题，每小题2分，满分16分）

二、（1）的虚部是

三、（2）映射把平面上的曲线映成平面上的曲线是 

四、（3）设解析函数，则常数   1  ，    -3    

五、（4）沿计算积分

六、（5）若的Taylor级数为，则该级数的收敛半径为

七、（6）设在内解析，且，则 

八、（7）设  则

九、（8）设，则的Laplace变换为

二、选择题（本题共5小题，每小题2分，满分10分。）

（1）在处（B ）

（A）解析   （B）可导（C）不可导   （D）既不解析也不可导

（2）下列命题中正确的是（ D  ）

（A）设都是实数，则

（B）设，在点解析，为自然数，则为的级极点   

（C）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数  

（D）幂级数的和函数在收敛圆内解析

（3）级数（A    ）

（A）条件收敛   （B）绝对收敛   （C）发散   （D）敛散性不定

（4）设是的 级极点，则（ C  ）

（A）5   （B）4  （C）3    （D）2

（5）设，则的的Fourier变换（ D   ）。

（A）1          （B）           （C）        （D）

三、（10分）设，求的值使得为调和函数，并求出解析函数

解：因为，

由调和函数定义，解得

由柯西-黎曼方程，

将积分得

由得，故，

四、（30分）计算下列积分：

（1），正向 

解:原式

或   是的一级极点，Res。

是的一级极点，Res

原式

（2），其中，正向

解:原式

（3），正向

解:  是的一级极点，Res。

是的二级极点，Res

原式

（4）

解:原式=

（5） 

解:在上半平面内有一级极点，故有

Res，

因此   。

五、（15分）将函数分别在下列圆环域内展开成Laurent级数

（1）； （2） （3）

解：

（1）时，

（2）时，

（3）时，

六、（10分）应用Laplace变换解微分方程：

，

解：令。方程两边取Laplace变换，得

  .

解得  .

是的一级极点，是的一级极点，是的一级极点

Res

Res

Res 

七、（6分）1 在内处处可导 2 在内实部与虚部可微，满足C-R方程 3 在内虚部是实部的共轭调和函数4在处处可展为幂级数

八（3分）设Fourier变换，，

证明：

证一：令，由时移性质

证二：令，由尺度性质