数值分析课程设计-几种复合数值积分公式的比较

专业：          班级：            

课程名称：              计算方法课程设计              

学生姓名：    

发题时间：     2012    年     5    月     10    日

一、课题名称

几种复合数值积分公式的比较。

二、课题条件

参考文献： 

[1].张平文，李铁军. 数值分析. 北京：北京大学出版社，2009. 

[2].徐瑞，黄兆东，阎凤玉.Matlab 科学与工程分析.北京：科学出版社，2007。

三、设计任务

根据已知定积分： 

计算π的近似值. 

要求： 

(1)选取10个不同的步长h=0.2,0.1,0.05,0.025,0.02,0.01,0.0125,0.01,0.005,0.0025,  对每一个步长，分别用复合中点公式、复合梯形公式、复合 Simpson 公式计算定积分

并将计算结果和真实值π 做比较(即给出计算所得值和π 的差)。 

(2)给出程序清单。必须说明程序中哪些是主程序，哪些是子程序；程序中必须有详细的注释和参数说明；必须简明扼要地说明如何运行程序。

四、设计说明书（或论文）内容

前言、问题描述、具体理论知识点、具体实例、程序清单、程序实现、参考文献、总结、小组成员分工合作清单。

五、进度计划（列出完成项目设计内容、绘图等具体起始日期）

6月3-5日网上查阅资料，6月6-18日上机16节，编程并上机实现。6月20日上缴试验报告以及电子文件（试验报告以及原程序）。

前言

在实际问题中，往往会遇到被积函数f(x)的原函数无法用初等函数来表示，或函数只能用表格表示，或有的虽然能用初等函数表示，但过分复杂，所以这些情形都需要去建立定积分的近似计算公式来做积分计算。数值积分是进行定积分计算的一种方法，它可以解决不能用定积分基本公式计算的所有定积分问题。数值积分涉及很多计算公式，这里主要介绍复合中点公式,复合梯形公式,复合 Simpson 公式.

二、问题描述

根据已知定积分： 

计算π的近似值. 

要求： 

(1)选取10个不同的步长h=0.2,0.1,0.05,0.025,0.02,0.01,0.0125,0.01,0.005,0.0025,  对每一个步长，分别用复合中点公式、复合梯形公式、复合 Simpson 公式计算定积分

并将计算结果和真实值π 做比较(即给出计算所得值和π 的差)。 

(2)给出程序清单。必须说明程序中哪些是主程序，哪些是子程序；程序中必须有详细的注释和参数说明；必须简明扼要地说明如何运行程序。

三、具体理论知识点

     将积分区间[a,b] 分为n-1等分，其中n个节点 xi=a+(i-1}h, i=1,2,…,n，h=(ba)/(n-1)，然后用f(x)在这n个节点上建立插值于f(x)的n-1次代数多项式Pn-1(x)，引入变换

x=a+th,    0tn-1

则有 

带入定积分，有：

Ck(n)称为Cotes(柯特斯)系数, 则得到n点 Newton—Cotes求积公式:

n点 Newton—Cotes求积公式的求积余项为

当n=2时，2点的 Newton—Cotes求积公式就是如下梯形公式：

梯形求积公式求积余项为

当n=3时，3点的Newton—Cotes求积公式就是如下抛物线（Simpson）公式：

Simpson求积公式求积余项为

另外复合中点公式为

    h

四、程序清单

主程序：

clc;

clear;

pii=zeros(3,10);%初始化积分矩阵

err=zeros(3,10);%初始化误差矩阵

for j=1:10

    h1=[0.2,0.1,0.05,0.025,0.02,0.01,0.0125,0.01,0.005,0.0025];

    h=h1(j);

    n=1/h;

    m=0;%初始化复合中点公式的累加量

    t=0;%初始化复合梯形公式的累加量

    s=0;%初始化复合Simpson公式的累加量

    for i=0:(n-1)

        m=m+f((i+0.5)*h);

        t=t+f(i*h)+f((i+1)*h);

        s=s+f(i*h)+4*f((i+0.5)*h)+f((i+1)*h);

    end%计算M(h)/h,T(h)/(h/2),S（h）/(h/6).

    pii(1,j)=m*h;

    pii(2,j)=t*h/2;

    pii(3,j)=s*h/6;

    err(1,j)=pii(1,j)-pi;

    err(2,j)=pii(2,j)-pi;

    err(3,j)=pii(3,j)-pi;%各复合积分公式在不同h时的误差

end

figure;

plot(h1,err(1,:),'r-',h1,err(2,:),'b:',h1,err(3,:),'k-.');%绘制误差图

title('复合数值积分公式误差分布');             %加图形标题

xlabel('h');                 %加X轴说明

ylabel('误差');                  %加Y轴说明

legend('复合中点公式','复合梯形公式','复合 Simpson 公式');

figure;

plot(h1,pii(1,:),'r-',h1,pii(2,:),'b:',h1,pii(3,:),'k-.');

%绘制各复合积分公式在不同h时的值

title('复合数值积分公式pi的逼近');             %加图形标题

xlabel('h');                 %加X轴说明

legend('复合中点公式','复合梯形公式','复合 Simpson 公式');

子程序：

function val=f(x)

val=4/(1+x^2);

五、程序实现

（1）各复合积分公式在不同h时计算定积分

（2）计算结果和真实值π的比较

（3）程序清单中有详细的注释和参数说明，此不再重述。至于程序运行，只需将主子程序分别建立m文件，后运行主程序即可。

六、参考文献

[1].张平文，李铁军. 数值分析. 北京：北京大学出版社，2009. 

[2].徐瑞，黄兆东，阎凤玉.Matlab 科学与工程分析.北京：科学出版社，2007。

[3]. John H.Mathews,Kurtis D.Fink 著，陈渝等译。Numerical Methods Using MATLAB (Third Edition) 北京：电子工业出版社.

七、总结

八、赞同

通过这次课程设计使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，只有理论知识是远远不够的，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才能真正为社会服务，从而提高自己的实际动手能力和思考的能力。在设计的过程中遇到问题，可以说得是困难重重，这毕竟第一次做的，难免会遇到过各种各样的问题，同时在设计的过程中发现了自己的不足之处，对以前所学过的知识理解得不够深刻，掌握得不够牢固，通过这次课程设计之后，一定把以前所学过的知识重新温故。

在这次课程设计中了解到只有团结才是力量，以前总是独断独行，通过这次课程设计才知道同学之间更应该互相帮助，团结合作，只有这样才能把事情做得更好更完美。

八、小组成员分工合作清单

1、问题分析与程序设计  （）

2、论文编辑及排版      （）

3、资料查找            （）

4、计算结果及图像      （）

5、课程设计总负责      （）