2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(五)A(新课标)

[第5讲　导数在研究函数性质中的应用]

(时间：45分钟)

1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，且f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

2．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是(　　)

A．－2  B．0

C．2  D．4

3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)

A．a＝1，b＝1  B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1  D．a＝－1，b＝－1

4．已知曲线y＝x2－1在x＝x0点处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．

5．若函数y＝－x2＋1(0A.  B. 

C.  D. 

6．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积为(　　)

A.  B.  

C．1  D．2

7．已知函数f(x＋1)是偶函数，且x>1时，f′(x)<0恒成立，又f(4)＝0，则(x＋3)f(x＋4)<0的解集为(　　)

A．(－∞，－2)∪(4，＋∞)  

B．(－6，－3)∪(0，4)

C．(－∞，－6)∪(4，＋∞)  

D．(－6，－3)∪(0，＋∞)

8．已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝(30.3)·f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝·f，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c B．c>a>b

C．c>b>a D．a>c>b

9．由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为________．

10．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0，1)处的切线方程为________．

11．函数f(x)＝的单调递减区间是________．

12．设f(x)＝a－lnx(a>0)．

(1)若f(x)在[1，＋∞)上递增，求a的取值范围；

(2)求f(x)在[1，4]上的最小值．

13．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c(a，b，c∈R，a≠0)的图象过点P(－1，2)且在P处的切线与直线x－3y＝0垂直．

(1)若c＝0，试求函数f(x)的单调区间；

(2)若a>0，b>0且f(x)在区间(－∞，m)及(n，＋∞)上均为增函数，试证：n－m>1.

14．定义：已知函数f(x)与g(x)，若存在一条直线y＝kx＋b，使得对公共定义域内的任意实数x均满足g(x)≤f(x)≤kx＋b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y＝kx＋b为曲线f(x)与g(x)的“左同旁切线”．已知f(x)＝lnx，g(x)＝1－.

(1)证明：直线y＝x－1是f(x)与g(x)的“左同旁切线”；

(2)设P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))是函数f(x)图象上任意两点，且00，使得f′(x3)＝.请结合(1)中的结论证明：x1专题限时集训(五)A

【基础演练】

1．D　[解析] 因为f′(x)＝3x2＋2ax＋3，且f(x)在x＝－3时取得极值，所以f′(－3)＝3×9＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5，故选D.

2．C　[解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或2(2舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0，当03．A　[解析] y′＝2x＋a，曲线在点(0，b)处的切线斜率是k＝a，故a＝1；点(0，b)在切线上，代入得b＝1.所以a＝1，b＝1.

4．0或－　[解析] 由题意得，2x0＝－3x，解得x0＝0或x0＝－.

【提升训练】

5．D　[解析] y′＝x2－2x，当0即－1≤tanα<0，故≤α<π，最小值为.

注：正切函数y＝tanα，当α∈，π也是单调递增的

6.

B　[解析] 如图，所围图形面积

A＝2 (x－x3)dx

＝2x2－x4＝2－－0

＝.

7．D　[解析] 函数f(x＋1)是偶函数，其图象关于y轴对称，这个函数图象向右平移1个单位得函数y＝f(x)的图象，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，x>1时，f′(x)<0恒成立，说明函数在(1，＋∞)上单调递减，根据对称性可得函数在(－∞，1)上单调递增．根据f(4)＝0可得当x>4时，f(x)<0，根据对称性可得当x<－2时，f(x)<0，当－20.不等式(x＋3)f(x＋4)<0等价于

或当时，

解得x>0；

当时，

解得－68．C　[解析] 函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(x)关于(0，0)中心对称，为奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数)，所以xf(x)为减函数，30.3>logπ3>log3，所以c>b>a.

9.　

[解析] 联立直线方程与抛物线方程得x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，因此所求的面积为定积分(2x2＋4x＋2)dx＝.

10．y＝3x＋1　[解析] y′＝ex＋xex＋2，斜率k＝e0＋0＋2＝3，所以切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.

11．(0，1)，(1，e)　[解析] f′(x)＝<0，解得00且x≠1，故函数f(x)＝单调递减区间是(0，1)，(1，e)．(注意：不能写成并区间)

12．解：(1)f′(x)＝，

在x∈[1，＋∞)时f′(x)＝≥0恒成立⇒在x∈[1，＋∞)时，a≥⇒a≥2.

(2)由f′(x)＝，x∈[1，4]，

①当a≥2时，在x∈[1，4]上f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝a；

②当0＜a≤1时，在x∈[1，4]上f′(x)＜0，∴f(x)min＝f(4)＝2a－2ln2；

③当10，

此时fmin(x)＝f＝2－2ln2＋2lna.

综上所述：f(x)min＝

13．解：(1)f(x)＝ax3＋bx2＋c⇒f′(x)＝3ax2＋2bx，∴f′(－1)＝3a－2b.

又过点P的切线与直线x－3y＝0垂直，∴3a－2b＝－3.

又c＝0，∴f(－1)＝－a＋b＝2，

联立解得a＝1，b＝3.

∴f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，

由f′(x)>0⇒x<－2或x>0；f′(x)<0⇒－2故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)上单调递减．

(2)由(1)知，b＝(a＋1)，f′(x)＝3ax2＋3(a＋1)x且a>0，

∴f′(x)>0⇒3ax2＋3(a＋1)x>0⇒x<－或x>0.

又f(x)在区间(－∞，m)及(n，＋∞)上均为增函数，∴n－m≥0－－＝＝1＋>1.

14．解：(1)要证明结论，即证1－≤lnx≤x－1(x>0)．

令h(x)＝lnx－x＋1(x>0)，则h′(x)＝－1＝，

易知h(x)在x＝1处取得最大值h(1)＝0，所以lnx－x＋1≤0，即lnx≤x－1(x>0)，等号在公共点(1，0)处成立．

再令φ(x)＝lnx－1＋(x>0)，则φ′(x)＝－＝，易知φ(x)在x＝1处取得最小值φ(1)＝0，所以lnx－1＋≥0，即lnx≥1－(x>0)，等号在公共点(1，0)处成立．

故对任意x∈(0，＋∞)，恒有1－≤lnx≤x－1(x>0)成立，即直线y＝x－1是f(x)与g(x)的“左同旁切线”．

(2)因为f′(x)＝，所以f′(x3)＝＝＝，所以x3＝.

证法一：(作差法，利用(1)的结论)

因为x3－x1＝－x1>－x1＝x1－x1＝0，

x3－x2＝－x2<－x2＝x2－x2＝0，

所以x1证法二：(反证法，利用(1)的结论)令x3≤x1，则x3＝≤x1⇔x2－x1≤x1ln