中考数学压轴题(山东)

（1）求线段AD所在直线的函数表达式；

（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？

323．（山东省济南市）已知：△ABC是任意三角形．

（1）如图1，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点．求证：∠MPN＝∠A；

（2）如图2，点M、N分别在边AB、AC上，且＝，＝，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N＋∠MP2N＝∠A是否正确？请说明你的理由；

（3）如图3，点M、N分别在边AB、AC上，且＝，＝，点P1、P2、……、P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N＋∠MP2N＋……＋∠MP2009N＝__________．

324．（山东省济南市）如图所示，抛物线y＝－x 2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为y＝－x＋，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C，与x轴交于点E．

（1）求A、B、C三个点的坐标；

（2）点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．

①求证：AN＝BM；

②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值．

325．（山东省青岛市）①如图1，BE、CE分别是△ABC的∠ABC、∠ACD的角平分线，BE、CE相交于E点，则有∠A＝2∠E，请你写出证明过程；

②如图2，若将①中的△ABC放入圆中，其他条件不变，请你利用圆的有关知识给出与①不同的证明方法；

③求证：EF 2＝FB·FG．

326．（山东省青岛市）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝9cm．

如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供做题时使用）

327．（山东省德州市）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点，交AD于点G，交AB于点F．

（1）求证：BC与⊙O相切；

（2）当∠BAC＝120°时，求∠EFG的度数．

328．（山东省德州市）如图，一次函数y＝x－2与反比例函数y＝的图象交点为A，B．

（1）求出交点A，B的坐标；

（2）若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，求顶点P的坐标．

329．（山东省德州市）已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c的图象经过点A（3，0），B（2，－3），C（0，－3）．

（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；

（2）点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．

①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；

②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．

330．（山东省滨州市）已知关于x的方程：－a－1＝0有一个增根为b，另一根为c，二次函数y＝ax 2＋bx＋c＋7（－≤x≤）的图像与x轴交于A、B两点．

（1）求a、b、c的值；

（2）在该二次函数的图像上求一点P，使得△PAB的面积最大．

331．（山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，M是直线AB上的一个动点（M点不与O点重合），直线MC交⊙O于点N，若△MON是以OM为底的等腰三角形，求∠OCM的大小．

332．（山东省滨州市）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y＝ax 2＋bx＋c恰好经过x轴上A、B两点．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？

333．（山东省烟台市）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，点D为BC中点，连接AD，AD＝4，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．

（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由．

（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A′D′C′E′ 与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围。

334．（山东省烟台市）如图，已知抛物线y＝x 2＋bx－3a过点A（1，0），B（0，－3），与x轴交于另一点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

335．（山东省枣庄市）如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA＝，点B的坐标为（m，－2），tan∠AOC＝．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在y轴上存在一点P，使△PDC与△CDO相似，求P点的坐标．

（3）若点M在x轴上，点N在反比例函数y＝的图象上，且以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出M、N两点的坐标．

336．（山东省枣庄市）已知抛物线y＝－x 2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)、B(0，n)，其中m、n是方程x 2－6x＋5＝0的两个实数根，且m＜n．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．

337．（山东省枣庄市）如图，四边形OABC是平行四边形，边OA在x轴上，边BC与y轴交于点D，AB＝10，OD＝8．P、Q分别是边BC和对角线OB上的动点（P点不与B、C重合），且∠OPQ＝∠C＝∠AOB．

（1）求直线AB的解析式；

（2）设CP＝x，OQ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）点P在边BC上移动的过程中，△OPQ是否有可能成为一个等腰三角形？若有可能，请求出x的值；若不可能，请说明理由．

338．（山东省威海市）如图，在□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15cm．已知⊙O的半径等于3cm，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．⊙O在□ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程．

339．（山东省威海市）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．

（1）将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E．求证：∠B1C1C＝∠B1BC．

（2）若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交A1B于点F．试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由．

（3）写出问题（2）中与△A1FC相似的三角形____________________________．

340．（山东省威海市）

（1）探究新知：

①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．

求证：△ABM与△ABN的面积相等．

②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．

（2）结论应用：

如图③，抛物线y＝ax 2＋bx＋c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0）、点B，交y轴于点D．试探究在抛物线y＝ax 2＋bx＋c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．

﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚

341．（山东省淄博市）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．

（1）求证：EF为⊙O的切线；

（2）若sin∠ABC＝，CF＝1，求⊙O的半径及EF的长．

342．（山东省淄博市）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝，P是AC上的一个动点．

（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；

（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；

（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积．

343．（山东省淄博市）已知直角坐标系中有一点A（－4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．

（1）求满足条件的所有点B的坐标；

（2）求过O，A，B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；

（3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．

347．（山东省东营市）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD，DE⊥BC于E，F为AB上一点，且AF＝EC，M是FC中点，连结FD、ME，设FC与DE相交于点N．

（1）求证：∠FDB＝∠FCB；△DFN∽△CBD；ME垂直平分BD；

（2）若ME＝，求BF的长．

348．（山东省东营市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边BC与x轴重合，其内切圆的圆心坐标为I（0，1），抛物线y＝ax 2＋2ax＋1的顶点为A．

（1）判断抛物线的开口方向并说明理由；

（2）求点B的坐标（用含a的代数式表示）；

（3）当a为何值时，∠ABC＝30°？

349．（山东省东营市）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点的异侧作正方形DEFG．

（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；

（2）设DE＝x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值．

351．（山东省日照市）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D．求证：

（1）D是BC的中点；

（2）△BEC∽△ADC；

（3）BC 2＝2AB·CE．

352．（山东省日照市）如图，对称轴为直线x＝的抛物线交x轴于A（－2，0）、B两点，交y轴负半轴于点C，且S△ABC ＝．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若平行于x轴的直线y＝k（k＜0）交该抛物线于M、N两点，交y轴于点D，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点，求k的值；

（3）在（2）的条件下，连结AD，将△AOD绕坐标平面内的某一点旋转180°后，A、D的对应点A′、D′ 能否同时落在抛物线上？若能，求出A′、D′ 和旋转中心的坐标；若不能，请说明理由．

353．（山东省菏泽市）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是AB中点，E是BC上动点（不与C重合），⊙O是过C、D、E三点的圆．

（1）求证：∠DFE＝∠B，并求EF的最小值．

（2）设BE＝x，CF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

（3）求CF的取值范围．

354．（山东省菏泽市）如图1，梯形OABC中，OA∥BC，∠C＝90°，以AB为直径作⊙M，交OC于点D、E，连结AD、BD、BE．

（1）求证：△ADB∽△ECB．

（2）如图2，以梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点C在y轴正半轴上建立直角坐标系，抛物线y＝ax 2－2ax－3a经过A、D两点，且顶点为B，求抛物线的解析式．

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PQ⊥x轴于Q，使得以P、A、Q为顶点的三角形与△ADB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

355．（山东省菏泽市）如图所示，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y＝kx＋4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于点B(1，m)、C(2，2)两点．

（1）求直线与抛物线的解析式．

（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x，y)，设∠PON＝α，求当△PON的面积最大时tanα的值．

（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

356．（山东省莱芜市）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.

（1）求线段AD的长度；

（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由.

357．（山东省莱芜市）在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE．

（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；

（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是_______________；

（3）如图③，在（2）的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是_______________；

（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.

358．（山东省莱芜市）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C（0，）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线y＝2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于E、F两点，求劣弧的长；

（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分成1 : 2两部分．

359．（山东省泰安市）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．

（1）求证：∠AED＝∠ADC，∠DEC＝∠B；

（2）求证：AB 2＝AE·AC．

360．（山东省泰安市）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点P、Q分别是AB、AC上的动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点．

（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；

（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．

361．（山东省泰安市）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cosA的值．

362．（山东省济宁市）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．

（1）求证：BD＝CD；

（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．

363．（山东省济宁市）如图，四边形ABCD为正方形，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N．

（1）求证：DP＝MN；

（2）若AB＝12，CP＝6，求EM与EN的比值．

3．（山东省济宁市）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，－1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

365．（山东省聊城市）如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连结BD．

（1）若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；

（2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．

366．（山东省聊城市）把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的直角顶点B重合，已知∠ABC＝∠E＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝2．当三角板DEF绕点B旋转时，DE、DF分别与线段AC交于G、H两点．

（1）求证：△ABH∽△CGB；

（2）设AG＝x，两块三角板重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式；

（3）求线段GH长的最小值．

367．（山东省聊城市）如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

368．（山东省临沂市）A、B两地相距360千米，出租车甲和面包车乙分别从A、B两地同时出发，沿同一条高速公路相向而行．其中出租车甲到达B地后立即返回，面包车乙到达A地后不再出发．它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系图象如图1、图2所示．根据图象解答下列问题：

（1）求线段PQ所对应的函数关系式；

（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了小时，求面包车乙的速度；

（3）在（2）的条件下，两车出发后能相遇两次吗？若能，求出相遇时间；若不能，说明理由．

369．（山东省临沂市）如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB＝2AD．

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）保持图1中ABC的固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；

（3）保持图2中△ABC的固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．

370．（山东省临沂市）如图，二次函数y＝－x 2＋ax＋b的图象与x轴交于A（－，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．