辽宁省沈阳七中2018-2019学年八年级(上)期中数学试卷 含解析

一．选择题（共10小题）

1．下列实数中，是无理数是（　　）

A．    B．3.14    C．    D．

2．如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是（　　）

A．等量代换    

B．平行线的定义    

C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行    

D．平行于同一直线的两直线平行

3．已知点A（m+2，3m﹣6）在第一象限角平分线上，则m的值为（　　）

A．2    B．﹣1    C．4    D．﹣2

4．比较下列各组数的大小，正确的是（　　）

A．1.7＞    B．π＜3.14    C．﹣＞﹣    D．5＜

5．对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（　　）

A．函数的图象不经过第三象限    

B．函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0）    

C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象    

D．若两点A（1，y1），B（3，y2）在该函数图象上，则y1＜y2

6．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（　　）

A．    B．    

C．    D．

7．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（　　）

A．cm    B．11cm    C．13cm    D．17cm

8．如图，两个一次函数图象的交点坐标为（2，4），则关于x，y的方程组的解为（　　）

A．    B．    C．    D．

9．如图，在△AEC中，点D和点F分别是AC和AE上的两点，连接DF，交CE的延长线于点B，若∠A＝25°，∠B＝45°，∠C＝36°，则∠DFE＝（　　）

A．103°    B．104°    C．105°    D．106°

10．如图，正方形ABCD的面积S1＝2，以CD为斜边，向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边，向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2018的值为（　　）

A．（）2016    B．（）2017    C．（）2016    D．（）2017

二．填空题（共6小题）

11．的平方根是　   　．

12．如果＝，那么a＝b．条件是：　   　；结论是　   　是　   　命题，（填真，假）

13．已知y﹣2与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．则y与x的函数关系式为　   　．

14．一个两位数的十位数字与个位数字之和为10，如果把这个两位数加上36，所得新数恰好成为原数个位数字与十位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是　   　．

15．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法：

①y随x的增大而减小；

②b＜0；

③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2；

④当x＝﹣1时，y＜0．其中正确的是　   　．（请你将正确序号填在横线上）

16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P是BC边上一动点，连接AP将△ABP沿着线AP翻折后得△APM，当PM⊥BC时，BP的长是　   　．

三．解答题（共9小题）

17．（1）

（2）

18．（1）

（2）

19．用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a※b＝2a2+b．例如3※4＝2×32+4＝22，那么：

（1）求：※2；

（2）如果（x﹣1）※4＝12，求x值．

20．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．

（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；

（2）求原来的路线AC的长．

21．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题．

（1）分别写出A、B两点的坐标：A　   　，B　   　．

（2）△ABC的面积＝　   　；点B到AC的距离＝　   　．

（3）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．

22．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC．

求证：AD∥BC．

23．如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（时）之间的关系如图所示，观察图象回答下列问题：

（1）A，B两城相距　   　千米

（2）若两车同时出发，乙车将比甲车早到　   　小时．

（3）乙车的函数关系式为　   　．

（4）甲车出发　   　少时两车相遇．

（5）当乙车行驶过程中/车出发　   　小时，甲、乙两车相距40千米．

24．列二元一次方程组解应用题

甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%利润定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元，求若两件服装都打8折，商店共可获利多少元？

25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于点A，B，交直线y＝kx于P．

（1）求点A、B的坐标；

（2）若OP＝PA，求P点坐标及k的值．

（3）在（2）的条件下，C是直线BP上一动点，CE⊥x轴于E，交直线DP于D，若CD＝3ED，直接写出C点的坐标．

参与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．下列实数中，是无理数是（　　）

A．    B．3.14    C．    D．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：A、是分数，是有理数，故选项不符合题意；

B、3.14是有限小数，是有理数，故选项不符合题意；

C、是无理数，选项符合题意；

D、＝2是整数，是有理数，选项不符合题意．

故选：C．

2．如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是（　　）

A．等量代换    

B．平行线的定义    

C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行    

D．平行于同一直线的两直线平行

【分析】因为平行于同一直线的两直线平行，所以如果a∥b，b∥c，那么a∥c．

【解答】解：这个推理的依据是平行于同一直线的两直线平行．

故选：D．

3．已知点A（m+2，3m﹣6）在第一象限角平分线上，则m的值为（　　）

A．2    B．﹣1    C．4    D．﹣2

【分析】根据第一象限角平分线上点的坐标特征得到得m+2＝3m﹣6，然后解关于m的一次方程即可．

【解答】解：根据题意得m+2＝3m﹣6，解得m＝4，

即m的值为4．

故选：C．

4．比较下列各组数的大小，正确的是（　　）

A．1.7＞    B．π＜3.14    C．﹣＞﹣    D．5＜

【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．

【解答】解：根据正负数的比较大小的法则可得﹣＞﹣，

故选：C．

5．对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（　　）

A．函数的图象不经过第三象限    

B．函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0）    

C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象    

D．若两点A（1，y1），B（3，y2）在该函数图象上，则y1＜y2

【分析】根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断．

【解答】解：A、函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故A选项正确．

B、当y＝0时，x＝2，则函数图象与x轴交点坐标是（2，0），故B选项正确；

C、函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x+4﹣4＝﹣2x，故C选项正确；

D、一次项系数小于0，则函数值随自变量的增大而减小，

∵1＜3，

∴y1＞y2，故D选项错误；

故选：D．

6．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】此题中的等量关系有：①共有190张铁皮；

②做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套．

【解答】解：根据共有190张铁皮，得方程x+y＝190；

根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×8x＝22y．

列方程组为．

故选：A．

7．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（　　）

A．cm    B．11cm    C．13cm    D．17cm

【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．

【解答】解：如图所示：

∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．

∴PA＝4+2+4+2＝12（cm），QA＝5cm，

∴PQ＝＝13cm．

故选：C．

8．如图，两个一次函数图象的交点坐标为（2，4），则关于x，y的方程组的解为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案．

【解答】解：∵直线y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的交点坐标为（2，4），

∴二元一次方程组的解为，

故选：A．

9．如图，在△AEC中，点D和点F分别是AC和AE上的两点，连接DF，交CE的延长线于点B，若∠A＝25°，∠B＝45°，∠C＝36°，则∠DFE＝（　　）

A．103°    B．104°    C．105°    D．106°

【分析】根据三角形的外角的性质求出∠FEB的度数，再根据三角形外角的性质计算即可．

【解答】解：∵∠FEB是△AEC的一个外角，

∴∠FEB＝∠A+∠C＝61°，

∵∠DFE是△BFE的一个外角，

∴∠DFE＝∠B+∠FEB＝106°，

故选：D．

10．如图，正方形ABCD的面积S1＝2，以CD为斜边，向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边，向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2018的值为（　　）

A．（）2016    B．（）2017    C．（）2016    D．（）2017

【分析】根据等腰直角三角形的性质结合三角形的面积公式可得出部分Sn的值，根据面积的变化即可找出变化规律“Sn＝（）n﹣2”，依此规律即可解决问题．

【解答】解：∵S1＝2，则正方形ABCD的边长为，

S2＝（×）2＝1＝（）2﹣2，

S3＝（1×）2＝＝（）3﹣2，

S4＝（×）2＝＝（）4﹣2，

……

S2018＝（）2018﹣2＝（）2016，

故选：A．

二．填空题（共6小题）

11．的平方根是　±8　．

【分析】直接根据平方根的定义即可求解．

【解答】解：∵（±8）2＝，

∴的平方根是±8．

故答案为：±8．

12．如果＝，那么a＝b．条件是：　＝　；结论是　a＝b　是　真　命题，（填真，假）

【分析】根据命题的概念写出条件和结论，根据算术平方根的概念判断真假．

【解答】解：如果＝，那么a＝b．条件是：＝，结论是a＝b，是真命题，

故答案为：＝；a＝b；真．

13．已知y﹣2与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．则y与x的函数关系式为　y＝﹣4x+2　．

【分析】设y﹣2＝kx（k≠0），把x＝2，y＝﹣6代入求值即可得到函数解析式．

【解答】解：设y﹣2＝kx（k≠0），

则由x＝2时，y＝﹣6，

得到：﹣6﹣2＝2k，

解得k＝﹣4．

则y与x的函数关系式为：y＝﹣4x+2；

故答案为：y＝﹣4x+2．

14．一个两位数的十位数字与个位数字之和为10，如果把这个两位数加上36，所得新数恰好成为原数个位数字与十位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是　37　．

【分析】设十位数字为x，则个位数字为（10﹣x），就可以表示出这个两位数为10x+（10﹣x），这个两位数十位与个位交换位置后就变出了10（10﹣x）+x，由条件建立方程求出其解即可．

【解答】解：设十位数字为x，则个位数字为（10﹣x），由题意，得

10x+（10﹣x）+36＝10（10﹣x）+x，

解得：x＝3，

∴个位数为：10﹣3＝7，

∴这个两位数为：37．

故答案为：37

15．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法：

①y随x的增大而减小；

②b＜0；

③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2；

④当x＝﹣1时，y＜0．其中正确的是　③　．（请你将正确序号填在横线上）

【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对个小题分析判断即可得解．

【解答】解：由图可知：

①y随x的增大而增大，错误；

②b＞0，错误；

③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2，正确；

④当x＝﹣1时，y＞0，错误；

故答案为：③；

16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P是BC边上一动点，连接AP将△ABP沿着线AP翻折后得△APM，当PM⊥BC时，BP的长是　2或14　．

【分析】分两种情形分别画出图形，解直角三角形求出AH，PH即可解决问题．

【解答】解：如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC＝10，AH⊥BC，

∴BH＝CH＝8，

∴AH＝＝＝6，

∵PM⊥BC，

∴∠CPM＝90°，

∴∠APB＝∠APM＝135°，

∴∠APC＝45°，

∴AH＝PH＝6，

∴PB＝BH﹣PH＝2．

如图2中，当点P在CH上时，同法可得BP＝BH+PH＝8+6＝14，

综上所述，满足条件的BP的值为2或14．

三．解答题（共9小题）

17．（1）

（2）

【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简进而求出答案；

（2）直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．

【解答】解：（1）

＝1﹣5+3﹣2

＝﹣3；

（2）

＝﹣2+1+4﹣2

＝5．

18．（1）

（2）

【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；

（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：（1），

把①代入②得：2y﹣2+y＝4，

解得：y＝2，

把y＝2代入①得：x＝1，

则方程组的解为；

（2）方程组整理得：，

①+②×2得：7x＝28，

解得：x＝4，

把x＝4代入②得：y＝3，

则方程组的解为．

19．用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a※b＝2a2+b．例如3※4＝2×32+4＝22，那么：

（1）求：※2；

（2）如果（x﹣1）※4＝12，求x值．

【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值；

（2）已知等式利用题中的新定义列出方程，解方程即可求出x值．

【解答】解：（1）※2

＝2×（）2+2

＝2×3+2

＝6+2

＝8；

（2）∵（x﹣1）※4＝12，

∴2（x﹣1）2+4＝12，

2（x﹣1）2＝8，

（x﹣1）2＝4，

x﹣1＝±2，

x＝﹣1或3．

20．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．

（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；

（2）求原来的路线AC的长．

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；

（2）根据勾股定理解答即可．

【解答】解：（1）是，

理由是：在△CHB中，

∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9

BC2＝9

∴CH2+BH2＝BC2

∴CH⊥AB，

所以CH是从村庄C到河边的最近路

（2）设AC＝x

在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4

由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2

∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2

解这个方程，得x＝2.5，

答：原来的路线AC的长为2.5千米．

21．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题．

（1）分别写出A、B两点的坐标：A　（2，0）　，B　（﹣1，﹣4）　．

（2）△ABC的面积＝　　；点B到AC的距离＝　　．

（3）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．

【分析】（1）根据坐标解答即可；

（2）利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．

（3）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案

【解答】解：（1）A（2，0），B（﹣1，﹣4）；

（2）△ABC的面积＝，点B到AC的距离＝，

（3）如图所示．

故答案为：（1）（2，0）；（﹣1，﹣4）；（2）；．

22．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC．

求证：AD∥BC．

【分析】由角平分线定义可得∠EAD＝∠EAC，再由三角形外角性质可得∠EAD＝∠B，然后利用平行线的判定定理即可证明题目结论．

【解答】证明：∵AD平分∠EAC，

∴∠EAD＝∠EAC．

又∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，∠EAC＝∠B+∠C，

∴∠B＝∠EAC．

∴∠EAD＝∠B．

所以AD∥BC．

23．如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（时）之间的关系如图所示，观察图象回答下列问题：

（1）A，B两城相距　300　千米

（2）若两车同时出发，乙车将比甲车早到　2　小时．

（3）乙车的函数关系式为　y＝100x﹣100　．

（4）甲车出发　1.5　少时两车相遇．

（5）当乙车行驶过程中/车出发　或　小时，甲、乙两车相距40千米．

【分析】（1）根据函数图象可以直接得到A，B两城的距离；

（2）根据函数图象中的数据可以得到若两车同时出发，乙车将比甲车早到几小时；

（3）运用待定系数法求解即可；

（4）根据函数图象中的数据可以求得乙车的速度和乙车出发几小时两车相遇；

（5）根据函数图象中的数据可以分别求得甲、乙两车对应的函数解析式，从而可以解答本题．

【解答】解：（1）由图象可得，

A，B两城相距300千米，

故答案为：300；

（2）由图象可得，

若两车同时出发，乙车将比甲车早到：5﹣（4﹣1）＝5﹣3＝2（小时），

故答案为：2；

（3）设乙车对应的函数解析式为y＝ax+b，

，解得，

即乙车对应的函数解析式为y＝100x﹣100，

故答案为：y＝100x﹣100；

（4）由图象可得，

乙车的速度为：300÷（4﹣1）＝100千米/时，

设乙车出发x小时时两车相遇，

×（x+1）＝100x，

解得，x＝1.5，

故答案为：1.5；

（5）设甲车对应的函数解析式为y＝kx，

5k＝300，得k＝60，

∴甲车对应的函数解析式为y＝60x，

∴|（100x﹣100）﹣60x|＝40，

解得，，，

当x＝时，乙出发小时，

当x＝时，乙出发小时，

即当乙车出发或小时时，甲、乙两车相距40千米．

故答案为：或

24．列二元一次方程组解应用题

甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%利润定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元，求若两件服装都打8折，商店共可获利多少元？

【分析】设甲服装的成本为x元，乙服装的成本为y元，根据两件服装的成本共500元且按定价的9折出售时利润为157元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，再利用利润＝售价﹣成本即可求出结论．

【解答】解：设甲服装的成本为x元，乙服装的成本为y元，

依题意，得：，

解得：，

∴0.8×[（1+50%）×300+（1+40%）×200]﹣500＝84（元）．

答：商店共可获利84元．

25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于点A，B，交直线y＝kx于P．

（1）求点A、B的坐标；

（2）若OP＝PA，求P点坐标及k的值．

（3）在（2）的条件下，C是直线BP上一动点，CE⊥x轴于E，交直线DP于D，若CD＝3ED，直接写出C点的坐标．

【分析】（1）分别代入x＝0、y＝0求出y、x的值，由此可得出点B、A的坐标；

（2）作PH⊥OA于H，根据等腰三角形的性质可得出点P的坐标，再由点P在直线y＝kx上求出k值；

（3）设点C的坐标为（m，﹣m+2），得到点D的坐标为（m，m），得出CD、DE的长度，由题意得出关于m的一元一次方程，解方程得出结论．

【解答】解：（1）对于一次函数y＝﹣x+2，

当y＝0时，x＝4，

当x＝0时，y＝2，

∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2）；

（2）如图1，作PH⊥OA于H，

∵OP＝AP，PH⊥OA，

∴OH＝OA＝OA＝2，

∴点P的横坐标为2，

∵点P在直线y＝﹣x+2上，

∴点P的纵坐标y＝﹣×2+2＝1，

∴点P的坐标为（2，1）．

∵点P在直线y＝kx上，

∴1＝2k，解得：k＝；

（3）设点C的坐标为（m，﹣m+2），则点D的坐标为（m，m），

∴CD＝|﹣m+2﹣m|＝|2﹣m|，DE＝|m|．

当m＜0时，2﹣m＝3×（﹣m），

解得，m＝﹣4，

则点C的坐标为（﹣4，4）；

当0＜m＜2时，2﹣m＝3×m，

解得，m＝，

则点C的坐标为（，）；

当2＜m＜4时，不存在点C；

当m＞4时，m﹣2＝3×m，

解得，m＝﹣4（不合题意），

综上所述，CD＝3ED时，点C的坐标为（﹣4，4）或（，）．