数学解题技巧：导数

【考点透视】

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．

【例题解析】

考点1   导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 

例1．是的导函数，则的值是    ．

[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.

[解答过程] 

故填3.

例2.设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 (      ) 

A.(-∞,1)   B.(0,1)    C.(1,+∞)    D. [1,+∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

[解答过程]由

综上可得MP时, 

考点2   曲线的切线

（1）关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.

（2）关于两曲线的公切线 

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.

典型例题

例3.已知函数在区间，内各有一个极值点．

（I）求的最大值；

（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．

思路启迪：用求导来求得切线斜率.

解答过程：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，

设两实根为（），则，且．于是

，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．

（II）解法一：由知在点处的切线的方程是

，即，

因为切线在点处空过的图象，

所以在两边附近的函数值异号，则

不是的极值点．

而，且

．

若，则和都是的极值点．

所以，即，又由，得，故．

解法二：同解法一得

．

因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．

当时，，当时，；

或当时，，当时，．

设，则

当时，，当时，；

或当时，，当时，．

由知是的一个极值点，则，

所以，又由，得，故．

例4.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（   ）

A．              B． 

C．              D． 

[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为.

故选A.

例5．过坐标原点且与x2+y2  -4x+2y+=0相切的直线的方程为 (  )

A.y=-3x或y=x   B. y=-3x或y=-x  C.y=-3x或y=-x   D. y=3x或y=x 

[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]解法1：设切线的方程为

又

故选A.

解法2:由解法1知切点坐标为由

故选A.

例6.已知两抛物线,取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.

思路启迪：先对求导数.

解答过程：函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为，即　 ①

曲线在点Q的切线方程是即

   　                                   ②

若直线是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是的方程，故得

，消去得方程， 

若△=，即时，解得，此时点P、Q重合.

∴当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为.

考点3  导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:

1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;

5.构造函数证明不等式.

典型例题

例7．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）

A．1个 

B．2个 

C．3个

D． 4个

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.

[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.

故选A.

例8 .设函数在及时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

思路启迪：利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值．

解答过程：（Ⅰ），

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

．

当时，；

当时，；

当时，．

所以，当时，取得极大值，又，．

则当时，的最大值为．

因为对于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范围为．

例9.函数的值域是_____________.

思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。

解答过程：由得，，即函数的定义域为.

    ，

    又，

    当时，，

    函数在上是增函数，而，的值域是.

例10．已知函数，其中为参数，且．

（1）当时，判断函数是否有极值；

（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；

（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．

[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.

[解答过程]（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值.

（Ⅱ），令，得.

由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论. 

①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：

要使，必有，可得.

由于，故.

当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：

若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.

综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.

（）解：由（）知，函数在区间与内都是增函数。

由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组

         或          

由（），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.

综上，解得或.

所以的取值范围是.

例11．设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.

[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

[解答过程]由已知得函数的定义域为，且

（1）当时，函数在上单调递减，

（2）当时，由解得

、随的变化情况如下表

当时，函数在上单调递减.

当时，函数在上单调递增.

综上所述：当时，函数在上单调递减.

当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.

例12．已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）的值.

[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

[解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在上，在上，在上,

故在上递增，在上递减，

因此在处取得极大值，所以

（Ⅱ）

由

得

解得

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）设

又

所以

由即得

所以

例13．设是函数的一个极值点.

（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.

[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.

[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,

由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，

则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x

＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.

令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，

所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

当a<－4时，x2>3＝x1，则

在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.

当a>－4时，x2<3＝x1，则

在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，

那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].

又在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，

由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须

（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0故a的取值范围是（0，）.

例14 已知函数

在处取得极大值，在处取得极小值，且．

（1）证明；

（2）若z=a+2b,求z的取值范围。

[解答过程]求函数的导数．

（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．

所以

当时，为增函数，，由，得．

（Ⅱ）在题设下，等价于　即．

化简得．

此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．

所围成的的内部，其三个顶点分别为：．

在这三点的值依次为．

所以的取值范围为．

小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性

规划有机结合．

考点4 导数的实际应用

建立函数模型,利用

典型例题

例15.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

[解答过程]设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

.

故长方体的体积为

从而

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，

故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.

答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。

例16．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗

油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

已知甲、乙两地相距100千米.

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

[解答过程]（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，

要耗没（升）.

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得

令得

当时，是减函数；当时，是增函数.

当时，取到极小值

因为在上只有一个极值，所以它是最小值.

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.

【专题训练】

一、选择题

1. y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于(    )

A.0            B.1                C.－1            D.2

2.经过原点且与曲线y=相切的方程是(    )

A.x+y=0或+y=0                        B.x－y=0或+y=0

C.x+y=0或－y=0                        D.x－y=0或－y=0

3.设f(x)可导，且f′(0)=0,又=－1,则f(0)(    )

A.可能不是f(x)的极值                        B.一定是f(x)的极值

C.一定是f(x)的极小值                        D.等于0

4.设函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为(    )

A.0            B.1        C.         D. 

5、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处(    )

A、有极大值  B、无极值  C、有极小值         D、无法确定极值情况

6.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，则a=(    )

A、    B、       C、                 D、

7.过抛物线y=x2上的点M（）的切线的倾斜角是(        )

A、300        B、450       C、600              D、900

8.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是(    )

A、（0，1） B、（-∞，1） C、（0，+∞） D、（0，）

9.函数y=x3-3x+3在[]上的最小值是(     )

A、  B、1        C、        D、5

10、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则(     )

A、c≠0     B、当a>0时，f(0)为极大值

C、b=0       D、当a<0时，f(0)为极小值

11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是(    )

A、（2，3）      B、（3，+∞）        C、（2，+∞）        D、（-∞，3）

12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中(      )

A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素  D、恰好有5个元素

二、填空题

13.若f′(x0)=2, =_________.

14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.

15.函数f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的单调区间_________.

16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.

三、解答题

17.已知曲线C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.

18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+)，在[0，1]内的最大值.

19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.

20.求函数的导数

(1)y=(x2－2x+3)e2x;

(2)y=.

21.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.

22.求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn－1 ,(x≠0,n∈N*).

23.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.

24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.

(1)试确定常数a和b的值；

(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.

25.已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba.

26.设关于x的方程2x2－ax－2=0的两根为α、β(α＜β),函数f(x)=.

(1)求f(α)·f(β)的值；

(2)证明f(x)是［α，β］上的增函数；

(3)当a为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？

【参】

一、1.解析：y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1.

答案：B

2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=,另一方面，y′=()′=,故

y′(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,对应有y0(1)=3,y0(2)=,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,),从而得y′(A)= =－1及y′(B)=,由于切线过原点，故得切线：lA:y=－x或lB:y=－.

答案：A

3.解析：由=－1,故存在含有0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时＜0,于是当x∈(a,0)时f′(0)＞0,当x∈(0,b)时，f′(0)＜0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减.

答案：B

4.解析：∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1 =n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值，最大值fn()=n2()2(1－)n=4·()n+1 .

答案：D

5、B    6、A    7、B    8、D    9、B  10、C   11、B   12、C

二、13.解析：根据导数的定义：f′(x0)= (这时)

答案：－1

14.解析：设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),

f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！

答案：n!

15.解析：函数的定义域是x＞或x＜－2,f′(x)=.(3x2+5x－2)′=,

①若a＞1,则当x＞时，logae＞0,6x+5＞0,(3x－1)(x+2)＞0,∴f′(x)＞0,∴函数f(x)在(,+∞)上是增函数，x＜－2时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(－∞,－2)上是减函数.

②若0＜a＜1,则当x＞时，f′(x)＜0,∴f(x)在(,+∞)上是减函数，当x＜－2时，

f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,－2)上是增函数.

答案：(－∞,－2)

16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+,解得

x2=h(2R－h),于是内接三角形的面积为

S=x·h=

从而

.

令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下： 

答案： R

三、17. 解：由l过原点，知k= (x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0,

∴=x02－3x0+2,y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2

又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2,2x02－3x0=0,∴x0=0或x0=.

由x≠0,知x0=,

∴y0=()3－3()2+2·=－.∴k==－.

∴l方程y=－x 切点(，－).

18. ,

令f’(x)=0得，x=0，x=1，x= ,

在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0， .

∴  .

19.设双曲线上任一点P（x0，y0）,

    ,

∴ 切线方程,

令y=0，则x=2x0                                 

令x=0，则.

∴  .

20.解：(1)注意到y＞0,两端取对数，得

lny=ln(x2－2x+3)+lne2x=ln(x2－2x+3)+2x,

 (2)两端取对数，得

ln|y|= (ln|x|－ln|1－x|),

两边解x求导，得

21.解：设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－,当下端移开1.4 m时，t0=,

又s′=－(25－9t2)·(－9·2t)=9t,

所以s′(t0)=9×=0.875(m/s).

22.解：(1)当x=1时，Sn=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),当x≠1时，1+2x+3x2+…+nxn-1 =,两边同乘以x,得

x+2x2+3x2+…+nxn=两边对x求导，得

Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1 

=.

23.解：f′(x)=3ax2+1.

若a＞0,f′(x)＞0对x∈(－∞,+∞)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾.

若a=0,f′(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间，矛盾.

若a＜0,∵f′(x)=3a(x+)·(x－),此时f(x)恰有三个单调区间.

∴a＜0且单调减区间为(－∞,－)和(,+∞)，

单调增区间为(－,).

24.解：f′(x)= +2bx+1,

(1)由极值点的必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,

解方程组可得a=－,b=－,∴f(x)=－lnx－x2+x,

(2)f′(x)=－x-1－x+1,当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,当x∈(2,+∞)时，f′(x)＜0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值－ln2.

25.证法一：∵b＞a＞e,∴要证ab＞ba,只要证blna＞alnb,设f(b)=blna－alnb(b＞e),则

f′(b)=lna－.∵b＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(b)＞0.∴函数f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函数，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.

证法二：要证ab＞ba,只要证blna＞alnb(e＜a＜b,即证,设f(x)= (x＞e)，则f′(x)=＜0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e＜a＜b,

∴f(a)＞f(b),即,∴ab＞ba.

26.解：(1)f(α)=,f(β)=,f(α)=f(β)=4,

(2)设φ(x)=2x2－ax－2,则当α＜x＜β时，φ(x)＜0,

.

∴函数f(x)在(α，β)上是增函数.

(3)函数f(x)在［α，β］上最大值f(β)＞0,最小值f(α)＜0,

∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=－f(α)=2时，f(β)－f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4，此时a=0,f(β)=2.