【一模】数学高考预测试卷含答案

学校________     班级________     姓名________     成绩________

(满分：150分,完卷时间：120分钟)

一、选择题(共12小题,共60分)

1. 已知集合A＝{x|x－2≥0},B＝{0,1,2},则A∩B等于（    ）

A. {0} {1} {2} {1,2}

2. 设,则

A.     B.     C.     D. 

3. 已知,,,则（    ）

A.     B.     C.     D. 

4. 将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,则等于（    ）

A.     B.     C.     D. 

5. 如图,在四边形中,,,,则该四边形的面积等于（    ）

A.     B.     C.     D. 

6. 释迦塔全称佛宫寺释迦塔,位于山西省朔州市应县城西北佛宫寺内,俗称应县木塔,是中国现存最高最古老且唯一一座木构塔式建筑,全国重点文物保护单位．与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥,其侧面和底面的夹角大小为30°,则该正八棱锥的高和底面边长之比为(参考数据：tan 22.5°＝)（    ）

A.     B.     C.     D. 

7. 第六届世界互联网大会发布了项世界互联网领先科技成果,其中有项成果均属于芯片领域,分别为华为鲲鹏、特斯拉全自动驾驶芯片、寒武纪云端芯片、思元、赛灵思的自适应计算加速平台．现有名学生从这项世界互联网领先科技成果中分别任选项进行了解,且学生之间的选择互不影响,则至少有名学生选择芯片领域的概率为（    ）．

A.     B.     C.     D. 

8. 已知O为坐标原点,双曲线C：的右焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A（点A在第一象限）,点B在双曲线C的渐近线上,且BF∥OA,若,则双曲线C的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D. 2

9. 2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60 m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511,ln 0.9≈－0.105)（    ）

A. 4    B. 5    C. 6    D. 7

10. 已知定义域为的函数满足,且,则下列结论一定正确的是（    ）

A.     B. 函数的图象关于点对称

C. 函数是奇函数    D. 

11. 在矩形ABCD中,BC＝4,M为BC的中点,将△ABM和△DCM分别沿AM,DM翻折,使点B与点C重合于点P,若∠APD＝150°,则三棱锥M－PAD的外接球的表面积为（    ）

A. 12π    B. 34π    C. 68π    D. 126π

12. 已知函数,若不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D. 

二、填空题(共1小题,共20分)

13. 展开式中的系数为__________.

14. 已知,为单位向量,,且,则________．

15. 曲线在点处的切线与直线垂直,则该切线的方程为__________.

16. 声音是物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋sin 2x,则下列结论正确的是________．(填序号)

①2π是f(x)的一个周期；

②f(x)在[0,2π]上有3个零点；

③f(x)最大值为；

④f(x)在上是增函数．

三、解答题(共7小题,共80分)

17. 已知数列{an}为公差不为0的等差数列,且a2=3,a1,a2,a5成等比数列.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Sn为数列{an+2}的前n项和,,求数列{bn}的前n项和Tn.

18. 如图,平面ABCD⊥平面DBNM,且菱形ABCD与菱形DBNM全等,且∠MDB＝∠DAB,G为MC的中点．

（1）求证：平面GBD∥平面AMN；

（2）求直线AD与平面AMN所成角的正弦值．

19. 5G网络(5G Network)是第五代移动通信网络,与之前的四代移动网络相比较而言,5G网络在实际应用过程中表现出更加强大的功能．随着5G技术的诞生,用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质(UHD)节目的时代正向我们走来．某机构调查了某营业厅30位用户的性别与升级5G套餐情况,得到的数据如下表所示：

（2）若从这30名用户的男性用户中随机抽取2人参加优惠活动,记其中升级5G套餐用户的人数为X,求X的分布列和均值．

附：K2＝,n＝a＋b＋c＋d.

20. 在平面直角坐标系xOy中,已知F(1,0),动点P到直线x＝6的距离等于2|PF|＋2.动点P的轨迹记为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）已知A(2,0),过点F的动直线l与曲线C交于B,D两点,记△AOB和△AOD的面积分别为S1和S2,求S1＋S2的最大值．

21. 已知函数,.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：时,．

22. 在直角坐标系xOy中,直线l参数方程为（t是参数）,在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为．

（Ⅰ）写出直线l的普通方程、曲线C的参数方程；

（Ⅱ）过曲线C上任意一点A作与直线l的夹角为45°的直线,设该直线与直线l交于点B,求的最值．

23. 已知函数.

（1）若,且不等式解集为或,求mn的值；

（2）若m,n均为正实数,且,求证：.

参

一、选择题(共12小题,共60分)

1. 已知集合A＝{x|x－2≥0},B＝{0,1,2},则A∩B等于（    ）

A. {0} {1} {2} {1,2}

【答案】C

【解析】

【分析】求解集合,再求即可

【详解】A＝{x|x≥2},B＝{0,1,2},则A∩B＝{2}．

故选：C

2 设,则

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数,然后求解复数的模.

详解：

,

则,故选c.

点睛：复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.

3. 已知,,,则（    ）

A     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指对数,和余弦函数,先和0,1比较大小,再比较的大小.

【详解】,

,,,

.

故选：A

4. 将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,则等于（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据题意得到,向左平移个单位长度后得到,从而得到,再结合的范围求解即可.

【详解】.

将函数的图象向左平移个单位长度后,

得到函数,

由题意知,则,

又,所以.

故选：C

5. 如图,在四边形中,,,,则该四边形的面积等于（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

连接,计算出,可得出,利用余弦定理求出,然后利用三角形的面积公式计算出和的面积,相加即可得出四边形的面积.

【详解】连接,在中,由于,,,.

在中,由余弦定理知,,,.

故选：B. 

【点睛】本题考查四边形面积的计算,涉及余弦定理的应用,考查计算能力,属于基础题.

6. 释迦塔全称佛宫寺释迦塔,位于山西省朔州市应县城西北佛宫寺内,俗称应县木塔,是中国现存最高最古老且唯一一座木构塔式建筑,全国重点文物保护单位．与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥,其侧面和底面的夹角大小为30°,则该正八棱锥的高和底面边长之比为(参考数据：tan 22.5°＝)（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】画出图形,再设正八棱锥底面边长为,再根据三角形中的边长关系求解即可

【详解】如图所示,

点P是正八棱锥的顶点,点O是底面的中心,AB是底面的一条边,M是AB的中点,

根据题意知∠BOM＝22.5°,

因为tan 22.5°＝,

设AB＝a,则OM＝＝a,

又因为二面角P－AB－O的大小为30°,

即∠PMO＝30°,

所以OP＝OMtan 30°＝a,

即正八棱锥的高和底面边长之比为.

故选：D

7. 第六届世界互联网大会发布了项世界互联网领先科技成果,其中有项成果均属于芯片领域,分别为华为的鲲鹏、特斯拉全自动驾驶芯片、寒武纪云端芯片、思元、赛灵思的自适应计算加速平台．现有名学生从这项世界互联网领先科技成果中分别任选项进行了解,且学生之间的选择互不影响,则至少有名学生选择芯片领域的概率为（    ）．

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题干计算基本事件总数,至少有名学生选择芯片领域的对立事件是没有学生选择芯片领域,进而求出结果.

【详解】解：现有名学生从这项世界互联网领先科技成果中分别任选项进行了解,且学生之间的选择互不影响,则基本事件总数,

至少有名学生选择芯片领域的对立事件是没有学生选择芯片领域,

则至少有名学生选择芯片领域的概率.

故选：D.

【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.

8. 已知O为坐标原点,双曲线C：的右焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A（点A在第一象限）,点B在双曲线C的渐近线上,且BF∥OA,若,则双曲线C的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得到,,,再根据BF∥OA,利用斜率相等解得,然后再根据求得a,b关系即可.

【详解】由题意得：,,,

因为BF∥OA,

所以 ,即,

解得,

所以,

所以,

所以,

即,

所以,

故选：A

【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求法、渐近线方程有解平面向量的数量积运算,还考查了运算求解的能力,属于中档题.

9. 2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60 m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511,ln 0.9≈－0.105)（    ）

A. 4    B. 5    C. 6    D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn,再根据题意列出不等式求解即可

【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn,

则vn＝100×0.90n－1.

由100×0.90n－1<60,得0.90n－1<0.6,

则(n－1)ln 0.90即n－1>≈≈4.87,则n>5.87,

故至少需要“打水漂”的次数为6.

故选：C

10. 已知定义域为函数满足,且,则下列结论一定正确的是（    ）

A.     B. 函数的图象关于点对称

C. 函数是奇函数    D. 

【答案】B

【解析】

【分析】推导出可判断A选项的正误；推导出可判断B选项的正误；分析得出可判断C选项的正误；推导出可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项,因为,且,

则,即,A错；

对于B选项,因为,则,

因为,则,

即,即,

故函数的图象关于点对称,B对；

对于C选项,因为,故函数是偶函数,C错；

对于D选项,因为,则,即,D错.

故选：B.

11. 在矩形ABCD中,BC＝4,M为BC的中点,将△ABM和△DCM分别沿AM,DM翻折,使点B与点C重合于点P,若∠APD＝150°,则三棱锥M－PAD的外接球的表面积为（    ）

A. 12π    B. 34π    C. 68π    D. 126π

【答案】C

【解析】

【分析】根据正弦定理求出外接圆的直径,然后根据,外接圆的直径,球的直径构成直角三角形来求解.

【详解】由题意可知,MP⊥PA,MP⊥PD.

且PA∩PD＝P,PA⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,所以MP⊥平面PAD.

设△ADP的外接圆的半径为r,则由正弦定理可得＝2r,

即＝2r,所以r＝4.

设三棱锥M－PAD的外接球的半径为R,则,

即,所以,

所以外接球的表面积为.

故选：C.

12. 已知函数,若不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出函数在处的切线方程,在同一直角坐标系内画出函数和的图象,利用数形结合进行求解即可.

【详解】当时,,所以函数在处的切线方程为：,令,它与横轴的交点坐标为.

在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：

利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是.

故选：A

【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题,考查了导数的应用,属于中档题.

二、填空题(共1小题,共20分)

13. 展开式中的系数为__________.

【答案】-80

【解析】

【分析】

求出的展开式的通项即得解.

【详解】的展开式的通项为,

令,所以的系数为.

故答案为：

【点睛】方法点睛：求二项展开式的某一项的系数,一般利用二项展开式的通项求解.

14. 已知,为单位向量,,且,则________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解.

【详解】因为,

又,

所以,

故答案为：

【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义,运算法则,性质,向量的夹角公式,属于中档题.

15. 曲线在点处的切线与直线垂直,则该切线的方程为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据导数的几何意义,先求切线斜率,而直线的斜率,根据两条直线垂直则,代入即可得解.

【详解】由题意得,则,

所以切线的斜率.直线的斜率.

因为两直线相互垂直,所以,解得,

则.所以,则,

故该切线的方程为,即.

故答案为：

16. 声音是物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋sin 2x,则下列结论正确的是________．(填序号)

①2π是f(x)的一个周期；

②f(x)在[0,2π]上有3个零点；

③f(x)的最大值为；

④f(x)在上是增函数．

【答案】①②③

【解析】

【分析】对①,根据正弦函数的周期判断即可；对②,根据正弦的二倍角公式化简,再求解零点即可；对③④,求导分析f(x)的单调性,再求最值即可

【详解】y＝sin x的最小正周期是2π,y＝sin 2x的最小正周期是＝π,

所以f(x)＝sin x＋sin 2x的最小正周期是2π,故①正确；

当f(x)＝sin x＋sin 2x＝0,x∈[0,2π]时,

sin x＋sin xcos x＝0,即sin x(1＋cos x)＝0,

即sin x＝0或1＋cos x＝0,解得x＝0或x＝π或x＝2π,

所以f(x)在[0,2π]上有3个零点,故②正确；

f(x)＝sin x＋sin 2x＝sin x＋sin xcos x,

f′(x)＝cos x＋cos2x－sin2x＝2cos2x＋cos x－1,

令f′(x)＝0,解得cos x＝或cos x＝－1,

当x∈或x∈时,0,则f(x)在,上单调递增,

当x∈时,－1≤cos x<,此时f′(x)≤0但不恒为0,则f(x)在上单调递减,则当x＝时,函数f(x)取得最大值,为f ＝sin＋sin＝＋＝,故③正确,④错误．

故答案为：①②③

三、解答题(共7小题,共80分)

17. 已知数列{an}为公差不为0的等差数列,且a2=3,a1,a2,a5成等比数列.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Sn为数列{an+2}的前n项和,,求数列{bn}的前n项和Tn.

【答案】（1）an=2n﹣1,n∈N*；（2）Tn=

【解析】

【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d(d≠0),然后根据题干列出方程组,解出a1与d的值,即可得到数列{an}的通项公式；

（2）由第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式,根据通项公式的特点进行裂项,再求前n项和Tn时可以相消即可得到结果.

【详解】解：（1）由题意,设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则

,解得.

∴数列{an}的通项公式为an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,n∈N*.

（2）由（1）,可得an+2=2n+1,n∈N*.

∴Sn=(a1+2)+(a2+2)+(a3+2)+…+(an﹣1+2)+(an+2)

=3+5+7+…+(2n﹣1)+(2n+1)

=.

∴,

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn﹣1+bn

=

=

=.

【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：

（1）等差型,其中是公差为的等差数列；

（2）无理型；

（3）指数型；

（4）对数型.

18. 如图,平面ABCD⊥平面DBNM,且菱形ABCD与菱形DBNM全等,且∠MDB＝∠DAB,G为MC的中点．

（1）求证：平面GBD∥平面AMN；

（2）求直线AD与平面AMN所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）先证GE∥平面AMN,BD∥平面AMN,由面面平行判定定理可得平面GBD∥平面AMN；

（2）由平面ABCD⊥平面MNBD结合面面垂直性质定理可得ME⊥平面ABCD,以EA为x轴,EB为y轴,EM为z轴,建立空间直角坐标系,求直线AD的方向向量和平面AMN的法向量,由线面角公式求直线AD与平面AMN所成角的正弦值.

【详解】（1）证明:连接AC交DB于E,连接GE,

在△AMC中,G,E分别是CM,CA的中点,

所以GE∥AM.

因为GE⊄平面AMN,AM⊂平面AMN,

所以GE∥平面AMN.

又菱形DBNM中,MN∥BD,同理可证BD∥平面AMN.

又因为BD∩GE＝E,BD,GE⊂平面GBD,所以平面GBD∥平面AMN. 

（2）解:连接ME,由菱形ABCD与菱形DBNM全等且∠MDB＝∠DAB,

可得出AD＝AB＝BD,DM＝BD＝MB.

所以ME⊥BD,又平面ABCD⊥平面MNBD且平面ABCD∩平面MNBD＝BD,

所以ME⊥平面ABCD. 

则以E为坐标原点,EA为x轴,EB为y轴,EM为z轴,建立空间直角坐标系,

令AB＝2,则A(,0,0),D(0,－1,0),M(0,0,),N(0,2,),

则＝(－,0,),＝(－,2,),＝(－,－1,0),

设平面AMN的法向量为＝(x,y,z),

则由得

则可令x＝1,得y＝0,z＝1,平面AMN的一个法向量＝(1,0,1),

设直线AD与平面AMN所成的角为θ,

sin θ＝＝＝,

则直线AD与平面AMN所成角的正弦值为.

19. 5G网络(5G Network)是第五代移动通信网络,与之前的四代移动网络相比较而言,5G网络在实际应用过程中表现出更加强大的功能．随着5G技术的诞生,用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质(UHD)节目的时代正向我们走来．某机构调查了某营业厅30位用户的性别与升级5G套餐情况,得到的数据如下表所示：

（2）若从这30名用户的男性用户中随机抽取2人参加优惠活动,记其中升级5G套餐用户的人数为X,求X的分布列和均值．

附：K2＝,n＝a＋b＋c＋d.

【答案】（1）列联表见解析,有95%的把握认为用户升级5G套餐与性别有关；（2）分布列见解析,.

【解析】

【分析】(1)依题中数据完成列联表,并计算K2,查表求临界值,比较两者大小确定是否有95%的把握认为用户升级5G套餐与性别有关；

(2)由题意可得X的可能取值为0,1,2,求X取各值时的概率,由此可得X的分布列,再利用期望公式求期望.

【详解】解　(1)依题意,完善表格如下：

故有95%的把握认为用户升级5G套餐与性别有关.

(2)依题意知X的可能取值为0,1,2,

P(X＝0)＝＝,

P(X＝1)＝＝,

P(X＝2)＝＝,

所以X分布列为

20. 在平面直角坐标系xOy中,已知F(1,0),动点P到直线x＝6的距离等于2|PF|＋2.动点P的轨迹记为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）已知A(2,0),过点F的动直线l与曲线C交于B,D两点,记△AOB和△AOD的面积分别为S1和S2,求S1＋S2的最大值．

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

【分析】（1）设点P(x,y),再根据动点P到直线x＝6的距离等于2|PF|＋2列出方程化简即可；

（2）设直线l的方程为x＝my＋1,联立直线与（1）中所得的椭圆方程,得出韦达定理,再得出S1＋S2＝|OA||y1－y2|关于的表达式,换元求解最值即可

【详解】(1)设点P(x,y),当时,P到直线x＝6的距离显然小于,故不满足题意；

故,即

整理得3x2＋4y2＝12,即＋＝1.

故曲线C的方程为＋＝1.

(2)由题意可知直线l的斜率不为0,

则可设直线l的方程为x＝my＋1,B(x1,y1),D(x2,y2)．

联立

整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0,Δ>0显然成立,

所以y1＋y2＝－,y1y2＝－,

所以|y1－y2|＝

＝＝,

故S1＋S2＝|OA||y1|＋|OA||y2|＝|OA||y1－y2|＝.

设t＝,t≥1,则m2＝t2－1,

则S1＋S2＝＝.

因为t≥1,所以3t＋≥4(当且仅当t＝1时,等号成立)．

故S1＋S2＝≤3,

即S1＋S2的最大值为3.

21. 已知函数,.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：时,．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）先对求导,再对分类讨论即可得出函数的单调性；

（2）时,将所证不等式转化为,令,,分别根据导数求出的最小值和的最大值即可证明不等式.

【详解】解：（1）,,

.

当时,,函数在上单调递减；

时,由,得,由,得,

此时函数在上单调递减,在上单调递增.

（2）证明：时,要证,

即要证：,,

令,则,

当时,,此时函数单调递减；

当时,,此时函数单调递增.

可得时,函数取得最小值,.

令,,

当时,,此时为增函数,

当时,,此时为减函数,

所以时,函数取得最大值,.

与不同时取得,因此,即,.

故原不等式成立.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、分类讨论方法、等价转化方法,考查了利用导数证明不等式,属于中档题.

22. 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t是参数）,在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为．

（Ⅰ）写出直线l的普通方程、曲线C的参数方程；

（Ⅱ）过曲线C上任意一点A作与直线l的夹角为45°的直线,设该直线与直线l交于点B,求的最值．

【答案】（Ⅰ）直线的普通方程、曲线C的参数方程 （是参数）；（Ⅱ）的最大值为6,最小值为2．

【解析】

【分析】（1）消去参数后可得直线的普通方程,利用两角差的余弦公式及得直角方程后可得曲线的参数方程．

（2）先计算圆心到直线的距离的最大值和最小值,从而得到圆上的动点到直线的距离的最大值和最小值,所求的的最大值与最小值时前者的的倍．

【详解】（1）直线的普通方程为．

,故,

从而,圆的标准方程为,

其参数方程为 （为参数）．

（2）考虑点圆心到直线的距离为,故圆上的点到直线的最大距离为,最小距离为,因直线的倾斜角为,故是圆上的点到直线的距离的的倍,所以的最大值为,最小值为．

【点睛】极坐标方程与直角方程的互化,关键是,必要时须在给定方程中构造．当动点在圆上变化时,我们可用圆的参数方程来表示动点坐标,这样把二元函数的最值问题转化一元函数的最值问题．

23. 已知函数.

（1）若,且不等式的解集为或,求mn的值；

（2）若m,n均为正实数,且,求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）先化简原函数,然后根据不等式解集求解出的值,则结果可求；

（2）根据绝对值的三角不等式确定出,再结合“”的妙用和基本不等式求解出的最小值,则可完成证明.

【详解】（1）因为,所以.

不等式即,解得或,

因此且,解得.

故,从而.

（2）证明：由于m,n均为正实数,

所以,

而,

当且仅当,即时取等号．

故.