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线性方程组迭代解法

来源：动视网责编：小OO 时间：2025-09-26 16:26:36

线性方程组迭代解法

实验六：线性方程组迭代解法1）实验目的•熟悉Matlab编程；•学习线性方程组迭代解法的程序设计算法2）实验题目1.研究解线性方程组Ax=b迭代法收敛速度。A为20阶五对角距阵要求：(1)选取不同的初始向量x0及右端向量b，给定迭代误差要求，用雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代法求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。(2)用SOR迭代法求解上述方程组，松弛系数ω取1<ω=1fori=1:nm=0;%此步也可以用ifj~=i条件判定一下。forj=1:(i-1

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导读实验六：线性方程组迭代解法1）实验目的•熟悉Matlab编程；•学习线性方程组迭代解法的程序设计算法2）实验题目1.研究解线性方程组Ax=b迭代法收敛速度。A为20阶五对角距阵要求：(1)选取不同的初始向量x0及右端向量b，给定迭代误差要求，用雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代法求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。(2)用SOR迭代法求解上述方程组，松弛系数ω取1<ω=1fori=1:nm=0;%此步也可以用ifj~=i条件判定一下。forj=1:(i-1

实验六：线性方程组迭代解法

1）实验目的

•熟悉Matlab编程；

•学习线性方程组迭代解法的程序设计算法

2）实验题目

1.研究解线性方程组Ax=b迭代法收敛速度。A为20阶五对角距阵

要求：

(1)选取不同的初始向量x0 及右端向量b，给定迭代误差要求，用雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代法求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。

(2)用SOR迭代法求解上述方程组，松弛系数ω取1< ω <2的不同值,在

时停止迭代.记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。

2.给出线性方程组，其中系数矩阵为希尔伯特矩阵：

，

假设若取分别用雅可比迭代法及SOR迭代（）求解，比较计算结果。

3）实验原理与理论基础

1.雅克比（Jacobi）迭代法算法设计：

①输入矩阵a与右端向量b及初值x(1,i);

②按公式计算得

2.高斯――赛得尔迭代法算法设计：

1. 输入矩阵a与右端向量b及初值x(1,i).

2. （i = 1, 2,…, n）

3.超松驰法算法设计：

①输入矩阵a与右端向量b及初值x(1,i)。

②,

4）实验内容

第一题实验程序：

1.雅克比迭代法：

function []=yakebi(e)

%输入矩阵a与右端向量b。

for i=1:20

a(i,i)=3;

end

for i=3:20

for j=i-2

a(i,j)=-1/4;

a(j,i)=-1/4;

end

for i=2:20

for j=i-1

a(i,j)=-1/2;

a(j,i)=-1/2;

end

b=[2.2 1.7 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.7 2.2];

k=1;

n=length(a);

for i=1:n

x(1,i)=1;%数组中没有第0行。

end

while k>=1

for i=1:n

m=0;

%此步也可以用ifj~=i条件判定一下。

for j=1:(i-1)

m=m+a(i,j)*x(k,j);

end

for j=(i+1):n

m=m+a(i,j)*x(k,j);

end

x(k+1,i)=(b(i)-m)/a(i,i);

end

l=0;

%判定满足条件使循环停止迭代。

for i=1:n

l=l+abs(x(k+1,i)-x(k,i));

end

if l break

end

k=k+1;

end

%输出所有的x的值。

x(k+1,:)

k

2.高斯—赛德尔迭代法：

function []=gaoshisaideer(e)

for i=1:20

a(i,i)=3;

end

for i=3:20

for j=i-2

a(i,j)=-1/4;

a(j,i)=-1/4;

end

for i=2:20

for j=i-1

a(i,j)=-1/2;

a(j,i)=-1/2;

end

b=[2.2 1.7 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.7 2.2];

k=1;

n=length(a);

for i=1:n

x(1,i)=0;%数组中没有第0行。

end

while k>=1

for i=1:n

p=0;q=0;

for j=1:(i-1)

p=p+a(i,j)*x(k+1,j);

end

for j=(i+1):n

q=q+a(i,j)*x(k,j);

end

x(k+1,i)=(b(i)-q-p)/a(i,i);

end

l=0;

%判定满足条件使循环停止迭代。

for i=1:n

l=l+abs(x(k+1,i)-x(k,i));

end

if l break

end

k=k+1;

end

%输出所有的x的值。

x(k+1,:)

k

3.SOR迭代法程序：

function []=caosongci(e,w)

for i=1:20

a(i,i)=3;

end

for i=3:20

for j=i-2

a(i,j)=-1/4;

a(j,i)=-1/4;

end

for i=2:20

for j=i-1

a(i,j)=-1/2;

a(j,i)=-1/2;

end

b=[2.2 1.7 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.7 2.2];

k=1;

n=length(a);

for i=1:n

x(1,i)=0;%数组中没有第0行。

end

while k>=1

if w>=2||w<=1

'请重新输入w的值，w在1与2之间';

break

end

for i=1:n

p=0;q=0;

for j=1:(i-1)

p=p+a(i,j)*x(k+1,j);

end

for j=i:n

q=q+a(i,j)*x(k,j);

end

x(k+1,i)=x(k,i)+w*(b(i)-q-p)/a(i,i);

end

l=0;

%判定满足条件使循环停止迭代。

for i=1:n

l=l+abs(x(k+1,i)-x(k,i));

end

if l break

end

k=k+1;

end

%输出所有的x的值。

x(k+1,:)

k

第二题实验程序：

1.雅克比迭代法：

function X = p211_1_JJ(n)

Hn = GET_Hn(n);

b = GET_b(n);

temp = 0;

X0 = zeros(1, n);

X_old = zeros(1, n);

X_new = zeros(1, n);

disp('Now Jacobi method!');

disp('Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T');

for i = 1:n

for k = 1:n

X_old = X_new;

temp = 0;

for j = 1:n

if(j ~= i)

temp = temp + Hn(i, j) * X_old(j);

end

X_new(i) = (b(i) - temp) / Hn(i, i);

end

X = X_new;

end

2.SOR迭代法：

function X = p211_1_SOR(n, w)

Hn = GET_Hn(n);

b = GET_b(n);

temp01 = 0;

temp02 = 0;

X0 = zeros(1, n);

X_old = zeros(1, n);

X_new = zeros(1, n);

disp('Now Successive Over Relaxtion method!');

disp('Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T');

for i = 1:n

for k = 1:n

X_old = X_new;

temp01 = 0;

temp02 = 0;

for j = 1:n

if(j < i)

temp01 = temp01 + Hn(i, j) * X_new(j);

end

if(j > i)

temp02 = temp02 + Hn(i, j) * X_old(j);

end

X_new(i) = w * (b(i) - temp01 - temp02) / Hn(i, i) + X_old(i);

end

X = X_new;

end

5）实验结果

第一题实验结果：

1.雅克比迭代法：

输入：

>> b=[2.2 1.7 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.7 2.2];

yakebi(0.00001)

结果：

ans =

Columns 1 through 12

0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Columns 13 through 20

0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793

k =

12

2.高斯—赛德尔迭代法：

此时初值全取1；

输入：

>> b=[2.2 1.7 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.7 2.2];

>> gaoshisaideer(0.00001)

结果：ans =

Columns 1 through 12

0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Columns 13 through 20

0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793

k =

14

此时初值全取1；

输入：

>> b=[2.5 1.9 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.9 2.5];

gaoshisaideer(0.00001)

结果：

ans =

Columns 1 through 12

1.0969 1.0707 1.0219 1.0103 1.0039 1.0016 1.0006 1.0003 1.0001 1.0001 1.0001 1.0001

Columns 13 through 20

1.0003 1.0006 1.0016 1.0039 1.0103 1.0219 1.0707 1.0969

k =

14

3.SOR迭代法：

>> caosongci(0.00001,1.1)

ans =

Columns 1 through 12

0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Columns 13 through 20

0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793

k =

11

>> caosongci(0.00001,1.2)

ans =

Columns 1 through 12

0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Columns 13 through 20

0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793

k =

12

>> caosongci(0.00001,1.3)

ans =

Columns 1 through 12

0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Columns 13 through 20

0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793

k =

15

>> caosongci(0.00001,1.4)

ans =

Columns 1 through 12

0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Columns 13 through 20

0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793

k =

19

>> caosongci(0.00001,1.5)

ans =

Columns 1 through 12

0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Columns 13 through 20

0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793

k =

25

>> caosongci(0.00001,1.6)

ans =

Columns 1 through 12

0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Columns 13 through 20

0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793

k =

34

>> caosongci(0.00001,1.7)

ans =

Columns 1 through 12

0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Columns 13 through 20

0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793

k =

47

>> caosongci(0.00001,1.8)

ans =

Columns 1 through 12

0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Columns 13 through 20

0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793

k =

73

>> caosongci(0.00001,1.9)

ans =

Columns 1 through 12

0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.99 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Columns 13 through 20

0.9999 0.9998 0.9995 0.99 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793

k =

150

第二题实验结果：

1.雅克比迭代法：

>> p211_1_JJ(6)

Now Jacobi method!

Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T

ans =

2.4500 1.1036 0.6265 0.4060 0.2831 0.2071

>> p211_1_JJ(8)

Now Jacobi method!

Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T

ans =

2.7179 1.4101 0.8524 0.5809 0.4221 0.3198 0.2497 0.1995

>> p211_1_JJ(10)

Now Jacobi method!

Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T

ans =

Columns 1 through 9

2.9290 1.6662 1.0517 0.7423 0.5554 0.4315 0.3445 0.2807 0.2325

Column 10

0.1951

2.SOR迭代法：

n=6, ω=1,1.25,1.5的时候

>> p211_1_SOR(6, 1)

Now Successive Over Relaxtion method!

Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T

ans =

2.4500 1.1036 0.6265 0.4060 0.2831 0.2071

>> p211_1_SOR(6, 1.25)

Now Successive Over Relaxtion method!

Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T

ans =

3.0625 0.2310 0.8704 0.33 0.3141 0.2097

>> p211_1_SOR(6, 1.5)

Now Successive Over Relaxtion method!

Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T

ans =

3.6750 -1.1009 2.0106 -0.3994 0.7670 -0.0384

与n=8, ω=1,1.25,1.5的时候

>> p211_1_SOR(8, 1)

Now Successive Over Relaxtion method!

Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T

ans =

2.7179 1.4101 0.8524 0.5809 0.4221 0.3198 0.2497 0.1995

>> p211_1_SOR(8, 1.25)

Now Successive Over Relaxtion method!

Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T

ans =

3.3973 0.4887 1.08 0.5062 0.4501 0.3203 0.2573 0.2042

>> p211_1_SOR(8, 1.5)

Now Successive Over Relaxtion method!

Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T

ans =

4.0768 -0.9424 2.2923 -0.2753 0.9252 0.0578 0.4071 0.1275

与n=10, ω=1,1.25,1.5的时候

>> p211_1_SOR(10, 1)

Now Successive Over Relaxtion method!

Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T

ans =

Columns 1 through 9

2.9290 1.6662 1.0517 0.7423 0.5554 0.4315 0.3445 0.2807 0.2325

Column 10

0.1951

>> p211_1_SOR(10, 1.25)

Now Successive Over Relaxtion method!

Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T

ans =

Columns 1 through 9

3.6612 0.7098 1.2835 0.6617 0.5807 0.4299 0.3506 0.2844 0.2363

Column 10

0.1984

>> p211_1_SOR(10, 1.5)

Now Successive Over Relaxtion method!

Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T

ans =

Columns 1 through 9

4.3935 -0.7958 2.5326 -0.1523 1.0720 0.1565 0.5050 0.2041 0.2819

Column 10

0.1766

6）实验结果分析与小结

本次实习主要是学会应用雅克比迭代法、高斯—赛德尔迭代法、SOR迭代法三种迭代法，并且了解三种迭代法的性质以及迭代精度等。

第一题中取的b对于雅克比迭代法、高斯――赛得尔迭代法都是收敛的，对于相同的初值与右端向量明显可以看出高斯――赛得尔迭代法比雅克比迭代法快。由第二题可得出对于SOR迭代方法选择不同的松弛因子，收敛次数大大不同，而当松弛因子为1.1时，在同等条件下迭代最快。

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