高一数学试题
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
4．第19、20题，请四星级高中学生选做（A），三星级高中与普通高中学生选做（B），否则不给分.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．已知集合，，若，则= ▲ ．
2．函数的最小正周期为 ▲ .
3．在等比数列中，若，则= ▲ ．
4．直线的倾斜角的大小为 ▲ ．
5．在中，若，则= ▲ ．
6．已知直线与平行，则实数 ▲ ．
7．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，则该正四棱锥的侧面积为 ▲ ．
8．如图，在中，，，，则= ▲ ．
9．设，则= ▲ ．
10．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面．
①若，，则； ②若，，，则；
③若，，，则； ④若，，，则．
上述命题中为真命题的是 ▲ （填写所有真命题的序号）．
11．若方程的解在区间内，则= ▲ ．
12．若函数的最小值为，则实数的值为 ▲ ．
13．已知数列为等差数列，若，则数列的最小项是第 ▲ 项．
14．在平面直角坐标系中，若曲线上恰好有三个点到直线的距离为1，则的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在斜三棱柱中，已知侧面底面，，分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
16．（本小题满分14分）
在中，角所对的边分别为，设，.
（1）当时，求的值；
（2）若，当取最大值时，求.
17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆相交于两点，坐标原点到直线的距离为，且的面积为，求直线的方程.
18．（本小题满分16分）
根据国际公法，外国船只不得进入离我国海岸线12海里以内的区域（此为我国领海，含分界线）. 若外国船只进入我国领海，我方将向其发出警告令其退出. 如图，已知直线为海岸线，是相距12海里的两个观测站，现发现一外国船只航行于点处，此时我方测得，（，）.
（1）试问当时，我方是否应向该外国船只发出警告？
（2）若，则当在什么范围内时，我方应向该外国船只发出警告？
19．（本小题满分16分）
（A）（四星级高中学生做）
已知数列是首项为1，公差为的等差数列；数列是公比为2的等比数列，且的前4项的和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列中满足的所有项的和；
（3）设数列满足，若是数列中的最大项，求公差的取值范围.
（B）（三星级高中及普通高中学生做）
已知数列是首项为1，公差为的等差数列；数列是公比为2的等比数列，且的前4项的和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列中满足的所有项的和；
（3）设数列满足，数列的前项和为，若的最大值为，求公差的取值范围.
20．（本小题满分16分）
（A）（四星级高中学生做）
（1）求证：函数在上是单调递增函数；
（2）求函数的值域；
（3）设函数，若对任意的实数，都有，求实数的取值范围.
（B）（三星级高中及普通高中学生做）
（1）求证：函数在上是单调递增函数；
（2）求函数的值域；
（3）设函数，求的最小值.
2012/2013学年度第二学期期终调研考试
高一数学参
一、填空题：每小题5分，共计70分.
1．1 2． 3． 4．120°() 5． 6． 7．48
8．16 9．20 10．①④ 11．3 12． －1 13．8 14．
二、解答题：本大题共6小题,共计90分.
15．证明:（1）在中，因为分别是,的中点，所以， ……4分
又面，面，所以平面. …………7分
（2）因为，且是的中点，所以，故，
又侧面底面，且侧面，所以底面. …………11分
又面，所以面面. …………14分
16．解: （1）当时，， …………3分
所以. …………6分
（2）因为，
所以当取最大值时，. …………10分
又，则由余弦定理得，
解之得或. …………14分
17．解:（1）因为，，所以，AB的中点为，
故线段AB的垂直平分线的方程为，即，
由，解得圆心坐标为. …………4分
所以半径r满足. …………6分
故圆的标准方程为. …………7分
（2）因为，所以.
①当直线与x轴垂直时，由坐标原点到直线的距离为知，直线的方程为
或，经验证，此时，不适合题意； …………9分
②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为，
由坐标原点到直线的距离为，得 （*）， …………11分
又圆心到直线的距离为，所以，
即 （**）， …………13分
由（*），（**）解得.
综上所述，直线的方程为或. …………14分
18．解：（1）如图：过P作PH垂直AB于H，因为，
所以，所以AB=PB=12， …………4分
所以PH=AB，
所以应向该外国船只发出警告. …………7分
（2）在中，由正弦定理得：，
所以，
所以， …………10分
令，得，即，
所以， …………12分
又因为，所以为锐角，且，
所以，即， …………14分
故，即，解得，
所以当时，我方应向该外国船只发出警告. …………16分
19．（A）（四星级高中学生做）
解:（1）因为是公比为2的等比数列，且其前4项的和为，
所以，解得， …………2分
所以. …………4分
（2）因为数列是首项为1，公差的等差数列，所以，
由，得，解得， …………6分
所以满足的所有项为，这是首项为，公差为3的等差数列，
共43－22+1=22项，故其和为. …………9分
（3）由题意，得，
因为是的最大项，所以首先有且，
即且，
解得. …………12分
1当时，在的条件下，，
但时，，所以此时是最大的； …………14分
②当时，由，得，解得.
综合①②，所求的公差的取值范围是. …………16分
（B）（三星级高中及普通高中学生做）
解：（1）（2）同（A）
（3）因为，若，则，所以，此时无最大项，
所以， …………12分
此时单调递减，欲的最大项为，则必有，即，
…………14分
又，所以，解得. …………16分
20．（A）（四星级高中学生做）
解：（1）证明：设，且，
因为
， …………3分
因为，所以，
所以在上是单调递增函数. …………5分
（2）由（1）知，当时，，即， …………7分
又因为，所以是偶函数，
所以当时，的值域为. …………9分
（3）因为对任意的实数，都有，所以，
…………11分
由于，令，
则，
①当时，，适合题意； …………12分
②当时，，由，得； …………14分
③当时，，由，得．
综上，实数的取值范围为． …………16分
（B）（三星级高中及普通高中学生做）
解：（1）（2）同（A）；
（3）因为，令，
则， …………11分
因为函数的对称轴方程为，所以
①当，即时，， …………13分
②当，即时，， …………15分
综上所述，. …………16分
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