2019-2020学年山西省太原市九年级(上)期末数学试卷解析版

一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其字母序号填入下表相应位置.

1．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）

A．（x﹣4）2＝7 B．（x﹣4）2＝﹣7 C．（x﹣4）2＝25 D．（x﹣4）2＝﹣25

2．（3分）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值，表中“▲”处的数为（　　）

3．（3分）中国在夏代就出现了相当于砝码的“权”，此后的4000多年间，不同朝代有不同形状和材质的“权”作为衡量的量具．下面是一个“C”形增砣砝码，其俯视图如图所示，则其主视图为（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，则下列关于四边形ABCD的结论一定成立的是（　　）

A．四边形ABCD是正方形 B．四边形ABCD是菱形    

C．四边形ABCD是矩形 D．S四边形ABCD＝AC•BD

5．（3分）如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”．现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为（　　）

A． B． C． D．

6．（3分）下列关于一元二次方程ax2+bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（　　）

A．方程有两个相等的实数根    

B．方程有两个不相等的实数根    

C．方程没有实数根    

D．方程有一个实数根

7．（3分）如图，△MON的顶点M在第一象限，顶点N在x轴上，反比例函数的图象经过点M，若MO＝MN，△MON的面积为6，则k的值为（　　）

A．3 B．6 C．﹣6 D．12

8．（3分）下列事件的概率，与“任意选2个人，恰好同月过生日”这一事件的概率相等的是（　　）

A．任意选2个人，恰好生肖相同    

B．任意选2个人，恰好同一天过生日    

C．任意掷2枚骰子，恰好朝上的点数相同    

D．任意掷2枚硬币，恰好朝上的一面相同

9．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且AD＝BE＝CF，若DE⊥BC，则△DEF与△ABC的面积比为（　　）

A． B． C． D．

10．（3分）我们把宽与长的比等于黄金比（）的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（AB＜BC）中，∠ABC的平分线交AD边于点E，EF⊥BC于点F，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（共5小题，每小题2分，满分10分）

11．（2分）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的一个根为x＝2，另一个根为　   　．

12．（2分）双曲线y＝﹣经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），则y1　   　y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．

13．（2分）如图，△ABC中，点D在AC边上．若△ABC∽△ADB，AB＝3，AC＝4，则AD的长为　   　．

14．（2分）如图，菱形AOBC的顶点C在x轴正半轴上，顶点A的坐标为（4，3），以原点O为位似中心、在点O的异侧将菱形AOBC缩小，使得到的菱形A'OB'C'与原菱形的相似比为1：2，则点C的对应点C'的坐标为　   　．

15．（2分）已知点E是正方形ABCD外的一点，连接DE，AE，CE．

请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择　   　题：

A．如图1，若∠DCE＝45°，DC＝CE＝2，则AE的长为　   　．

B．如图2，若∠DEC＝45°，DE＝CE＝2，则AE的长为　   　．

三、解答题（共8小题，满分60分）

16．（8分）解下列方程：

（1）2x2﹣6x+1＝0；

（2）x2﹣1＝2（x+1）．

17．（6分）2019年11月1日5G商用套餐正式上线．某移动营业厅为了吸引用户，设计了A，B两个可以自由转动的转盘（如图），A转盘被等分为2个扇形，分别为红色和黄色；B转盘被等分为3个扇形，分别为黄色、红色、蓝色，指针固定不动．营业厅规定，每位5G新用户可分别转动两个转盘各一次，转盘停止后，若指针所指区域颜色相同，则该用户可免费领取100G通用流量（若指针停在分割线上，则视其指向分割线右侧的扇形）．小王办理5G业务获得一次转转盘的机会，求他能免费领取100G通用流量的概率．

18．（6分）16年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈!这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（x＞0）的反比例函数，其图象如图所示．

请根据图象中的信息解决下列问题：

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为　   　米；

（3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？

19．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝AF，连接CE，CF．求证：∠AEC＝∠AFC．

20．（6分）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答：

（1）如图1，白天在阳光下，小彬将木杆AB水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段A′B′．

①若木杆AB的长为1m，则其影子A′B′的长为　   　m；

②在同一时刻同一地点，将另一根木杆CD直立于地面，请画出表示此时木杆CD在地面上影子的线段DM；

（2）如图2，夜晚在路灯下，小彬将木杆EF水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段E′F′．

①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P；

②若木杆EF的长为1m，经测量木杆EF距离地面1m，其影子E′F′的长为1.5m，则路灯P距离地面的高度为　   　m．

21．（6分）学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长20米、宽14米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为32平方米，小路的宽应为多少米？

22．（10分）综合与实践﹣探究正方形旋转中的数学问题

问题情境：

已知正方形ABCD中，点O在BC边上，且OB＝2OC．将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′（点A′，B′，C′，D′分别是点A，B，C，D的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．

特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，当点B′落在正方形ABCD的对角线BD上时，设线段A′B′与CD交于点M．求证：四边形OB′MC是矩形；

（2）“善学”小组提出问题：如图2，当线段A′D′经过点D时，猜想线段C′O与D′D满足的数量关系，并说明理由；

深入探究：

（3）请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择　   　题．

A．在图2中连接AA′和BB′，请直接写出的值．

B．“好问”小组提出问题：如图3，在正方形ABCD绕点O顺时针旋转的过程中，设直线BB′交线段AA′于点P．连接OP，并过点O作OQ⊥BB′于点Q．请在图3中补全图形，并直接写出的值．

23．（12分）综合与探究

如图1，平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+4分别与x轴、y轴交于点A，B．双曲线y＝（x＞0）与直线l交于点E（n，6）．

（1）求k的值；

（2）在图1中以线段AB为边作矩形ABCD，使顶点C在第一象限、顶点D在y轴负半轴上．线段CD交x轴于点G．直接写出点A，D，G的坐标；

（3）如图2，在（2）题的条件下，已知点P是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，过点P作x轴的平行线分别交线段AB，CD于点M，N．

请从下列A，B两组题中任选一组题作答．我选择　   　组题．

A．①当四边形AGNM的面积为5时，求点P的坐标；

②在①的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

B．①当四边形AGNM成为菱形时，求点P的坐标；

②在①的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

2019-2020学年山西省太原市九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其字母序号填入下表相应位置.

1．【解答】解：方程移项得：x2﹣8x＝﹣9，

配方得：x2﹣8x+16＝7，即（x﹣4）2＝7，

故选：A．

2．【解答】解：设解析式为y＝，

将（1，﹣3）代入解析式得k＝﹣3，

这个函数关系式为：y＝﹣，

把x＝3代入得y＝﹣1，

∴表中“▲”处的数为﹣1，

故选：D．

3．【解答】解：该几何体的主视图是矩形，里面有两条用虚线，

所以其主视图为A；

故选：A．

4．【解答】解：

∵四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，

∴AC＝BD，

∴四边形ABCD是正方形，

故选：A．

5．【解答】解：用A1、A2分别表示两张印有中国国际进口博览会的标志，用B表示一张印有进博会吉祥物“进宝”．

一次性随机抽取两张，所有可能出现的情况如下：

共有6种等可能出现的结果，有4种两张卡片图案不相同，

∴P（两张卡片图案不相同）＝＝，

故选：D．

6．【解答】解：∵△＝b2﹣4a×0＝b2＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选：B．

7．【解答】解：过M作MA⊥ON于A，

∵OM＝MN，

∴OA＝AN，

设M点的坐标为（a，b），

则OA＝AN＝a，AM＝b，

∵△MON的面积为6，

∴＝6，

∴ab＝6，

∵M在反比例函数y＝上，

∴ab＝k，

即k＝6，

故选：B．

8．【解答】解：“任意选2个人，恰好同月过生日”可用列表法求出概率：P＝，

同理“任意选2个人，恰好生肖相同”的概率：P＝，

因此“任意选2个人，恰好同月过生日”这一事件的概率与“任意选2个人，恰好生肖相同”概率相同，

故选：A．

9．【解答】解：∵DE⊥BC，∠B＝60°，

∴sin60°＝＝，＝，

∴BD＝DE，AD＝BE＝DE，

∴AB＝BD+AD＝DE，

∴＝，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，

∵AD＝BE＝CF，

∴BD＝CE＝AF，

在△ADF和△BED和△CFE中，

，

∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），

∴DE＝EF＝DF，

∴△DEF是等边三角形，

∵△ABC是等边三角形，

∴△DEF∽△ABC，

∴＝（）2＝，

故选：C．

10．【解答】解：∵矩形ABCD（AB＜BC）为黄金矩形，

∴设AB＝﹣1，AD＝2，

∵BF平分∠ABC，而∠ABC＝90°，

∴四边形ABFE为正方形，

∴AE＝AB，

∵DE＝2﹣（﹣1）＝3﹣

∴＝＝，

而＝，

∴＝，所以A选项的结论正确；

∵＝＝，＝，

∴＝，所以B选项的结论正确；

∵＝，＝，

∴≠，所以C选项的结论错误；

∵＝，＝，

∴＝，所以D选项正确．

故选：C．

二、填空题（共5小题，每小题2分，满分10分）

11．【解答】解：方程整理为x2﹣3x+2＝0，

设方程的另一个解为t，则2t＝2，解得t＝1，

即方程的另一个解为1．

故答案为1．

12．【解答】解：∵双曲线y＝﹣经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），

∴y1＝﹣＝2，y2＝﹣＝﹣1，

∴y1＞y2，

故答案为：＞．

13．【解答】解：∵△ABC∽△ADB，

∴，

即：AB2＝AD•AC，

∵AB＝3，AC＝4，

∴32＝4AD，

∴AD＝，

故答案为：．

14．【解答】解：∵四边形AOBC为菱形，点A的坐标为（4，3），

∴点C的坐标为（8，0），

以原点O为位似中心、在点O的异侧将菱形AOBC缩小，使得到的菱形A'OB'C'与原菱形的相似比为1：2，

∴点C的对应点C'的坐标为（﹣×8，0），即（﹣4，0），

故答案为：（﹣4，0）．

15．【解答】解：A．如图，

以CE为对角线画正方形CFEG，延长EG交AB于点H，

∴EH⊥AB，得矩形BCGH，

∴HG＝BC＝DC＝AB＝2

在Rt△ECF中，∠F＝90°，∠ECF＝45°，CE＝2

∴CF＝EF＝BH＝GE＝

∴EH＝HG+GE＝2+

AH＝AB﹣BH＝2﹣

在Rt△AEH中，AE2＝（2+）2+（2﹣）2＝12，

∴AE＝2．

故答案为2．

B，如图2，

将△ADE绕点D逆时针旋转90°，点A与点C重合，点E旋转至点F，

连接DF、CF、EF，

∴△ADE≌△CDF（SAS）

∴AE＝CF

∵∠EDF＝90°，DE＝DF＝2，

∴EF＝2，

∠DEF＝45°，∠DEC＝45°

∴∠CEF＝90°

∴在Rt△ACE中，CE＝2，EF＝2

由勾股定理得：CF＝2

∵AE＝CF，∴CF＝2．

故答案为：2．

三、解答题（共8小题，满分60分）

16．【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣6，c＝1，

∴△＝（﹣6）2﹣4×2×1＝28＞0，

则x＝＝；

（2）∵（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）＝0，

∴（x+1）（x﹣3）＝0，

则x+1＝0或x﹣3＝0，

解得x＝﹣1或x＝3．

17．【解答】解：画树状图如图所示：

共有6个等可能的结果，指针所指区域颜色相同的结果有2个，

∴小王能免费领取100G通用流量的概率＝＝．

18．【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝，

∴7＝，

∴k＝14，

∴y与x之间的函数表达式为y＝；

（2）当x＝0.5时，y＝＝28米，

∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米；

（3）当y≥35时，即≥35，

∴x≤0.4，

∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米，

故答案为：28．

19．【解答】证明：连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BAC＝∠DAC，且AC＝AC，AE＝AF，

∴△AEC≌△AFC（SAS）

∴∠AEC＝∠AFC．

20．【解答】解：（1）①木杆AB的长为1m，则其影子A′B′的长为1m．

故答案为1；

②如图1，DM即为木杆CD在地面上影子；

（2）如图2，

①点P即为路灯泡的位置；

②根据相似三角形对应高的比等于相似比，

作PA⊥E′F′于点A，交EF于点B，

∵EF∥E′F′，

∴PA⊥EF于点B，

∵△PEF∽△PE′F′

∴＝

即＝

解得PB＝2

∴PA＝PB+1＝3

所以路灯P距离地面的高度为3m．

故答案为3．

21．【解答】解：设小路的宽为x米，则6个矩形区域可合成长（20﹣2x）米，宽（14﹣x）米的矩形，

依题意，得：（20﹣2x）（14﹣x）＝32×6，

整理，得：x2﹣24x+44＝0，

解得：x1＝2，x2＝22（不合题意，舍去）．

答：小路的宽应为2米．

22．【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形，

∴BC＝CD，∠C＝90°，

∴∠CBD＝∠CDB＝45°；

 由旋转可知，OB＝OB’，

∴∠OB’B＝∠OBB’＝45°，

∵∠B’OC是△BOB’的一个外角，

∴∠B’OC＝∠OB’B+∠OBB’＝45°+45°＝90°，

∵四边形 A’B’C’D’是正方形，

∴∠OB’M＝90°，

∴四边形 OB’MC是矩形；

 （2）解：D’D＝2C’O，理由如下：

 如图2①，连接 OD，OD’，过点 O作 OE⊥D’D于点 E，则∠OED’＝90°，

 由旋转可知，OD＝OD’，则 D’D＝2D’E，

∵四边形 A’B’C’D’是正方形，

∴∠C′＝∠OED′＝90°，

∴四边形 OC’D’E是矩形，

∴C’O＝D’E，

∴D’D＝2C’O；

 （3）解：A、如图2②，连接AA′，BB′，OA，OA′，

∵将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′，

∴OB＝OB′，OA＝OA′，∠BOB′＝∠AOA′，

∴，

∴△OBB′∽△OAA′，

∴＝，

∵AB＝BC，OB＝2OC，

∴设OC＝x，则OB＝2x，

∴AB＝BC＝3x，

∴OA＝＝＝x，

∴＝＝＝；

B、如图3，连接OA，OA′，

∵将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′，

∴OB＝OB′，OA＝OA′，∠BOB′＝∠AOA′，

∴∠OBB′＝∠OAA′，

∴点A，B，O，P四点共圆，

∴∠ABO+∠APO＝180°，

∴∠APO＝90°，

∵OQ⊥BB′，

∴∠BQO＝∠APO＝90°，

∴△OAP∽△OBQ，

∴＝．

23．【解答】解：（1）由已知可得A（﹣2，0），B（0，4），E（1，6），

∴k＝6；

（2）∵AB⊥BC，

∴BC的解析式为y＝﹣x+4，

联立，

∴C（2，3），

∵CD＝AB＝2，

∴D（0，﹣1），

∴CD的解析式为y＝2x﹣1，

∴G（，0）；

（3）A①设P（m，），

∵MN∥x轴，

∴M（﹣2，），N（+，），

∴MN＝，

∵四边形AGNM的面积为5，

∴×＝5，

∴m＝3，

∴P（3，2）；

②Q（3，1）、Q（﹣3，1）、Q（﹣3，2）时B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等．

B①∵四边形AGNM成为菱形，

MN＝AM，

∴＝

∴m＝，

∴P（，）；

②Q（﹣，）、Q（，3﹣）、Q（﹣，3﹣）时B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等．