河北省张家口市2021届高三高考一模考试数学试题 含答案

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知都是R的子集，且，则（    ）

A．A    B．B    C．    D．R

2．（    ）

A．    B．    C．    D．2

3．小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（    ）

A．261种    B．360种    C．369种    D．372种

4．溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的值的范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

5．已知两条不同的直线和不重合的两个平面，且，有下面四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中真命题的序号是（    ）

A．①②    B．②③    C．②③④    D．①④

6．某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互，则该同学一个社团都不能进入的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若的平分线分别交x轴于点，且，则椭圆C的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．设是R上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集是（    ）

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．如果平面向量，那么下列结论中正确的是（    ）

A．    B．    C．与的夹角为    D．在方向上的投影为

10．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（    ）

A．    B．    C．X的期望    D．X的方差

11．已知，且，则（    ）

A．    B．    C．    D．

12．已知函数，其导函数为，设，则（    ）

A．的图象关于原点对称    B．在R上单调递增

C．是的一个周期    D．在上的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若为抛物线上一点，抛物线C的焦点为F，则________．

14．写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列__________．

15．已知函数图象的一条对称轴为，则___________，函数在区间上的值域为___________．

16．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知公比小于1的等比数列中，其前n项和为．

（1）求；

（2）求证：．

18．（12分）

在中，．

（1）求B；

（2）若，的面积为，求的周长．

19．（12分）

如图，四边形是正方形，平面，且．

（1）求证：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）

某电器企业统计了近10年的年利润额y（千万元）与投入的年广告费用x（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令，得到相关数据如表所示：

（1）从①；②；③三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；

（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程；

（3）预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）

参考数据：

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

21．（12分）

已知双曲线上一动点P，左、右焦点分别为，且，定直线，点M在直线上，且满足．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若直线的斜率，且过双曲线右焦点与双曲线右支交于两点，求的外接圆方程．

22．（12分）

已知函数．

（1）讨论函数在区间上的最小值；

（2）当时，求证：对任意，恒有成立．

2021届河北省张家口市高三年级一模考试数学

参及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．D  【解析】由图，易知．故选D．

2．A  【解析】．故选A．

3．C  【解析】从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（种）．故选C．

4．D  【解析】依题意，，因此，正常人体血液的值的范围是．故选D．

5．A  【解析】对于①，由，可得，故①正确；

对于②，若，可得，故②正确；

对于③，若，则有可能，故③错误；

对于④，当时，则有可能，故④错误．

综上，真命题的序号是①②．故选A．

6．D  【解析】由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，则，所以，所以，所以该同学一个社团都不进入的概率．故选D．

7．C  【解析】如下图所示：

因为，所以由余弦定理得，又，所以．因为分别为的平分线，所以，所以．由题意可知，点，则．

由，可得，即，在等式的两边同时除以，可得，因为，解得．故选C．

8．B  【解析】因为是R上的奇函数，且在上是减函数，所以在上是减函数，又因为，所以，则函数的大致图象如下图所示：

由得，即，

则或则或解得或，

故的解集是．故选B．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．AB  【解析】因为，所以．

在A中，因为，所以，故A正确；

在B中，因为，所以，故B正确；

在C中，因为，所以与的夹角为，故C错误；

在D中，在方向上的投影为，故D错误．故选AB．

10．ACD  【解析】由于每次取球互不影响，故所有结果有4类：

①4次全是白球，，记其概率为；

②4次只有1次是黑球，，记其概率为；

③4次只有2次是黑球，，记其概率为；

④4次只有3次是黑球，，记其概率为；

⑤4次全是黑球，，记其概率为．

故，故A正确，B错误；

因为，所以X的期望，故C正确；

因为，所以X的方差，故D正确．故选ACD．

11．ABC  【解析】对于A，因为，且，所以，所以，所以，故A正确；

对于B，，所以，当且仅当，即时取等号，故，故B正确；

对于C，，当且仅当，即时取等号，故，得，故C正确；

对于D，已知，且，所以，即，则，当且仅当，即时取等号，故D错误．故选ABC．

12．AC  【解析】的定义域是，其关于坐标原点对称，且，所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A项正确；

由，得，则．

恒成立，所以在上单调递增，并不是在R上单调递增，故B项错误；

由，得函数的定义域是，故C项正确；

设，当时，，此时，故D项错误，故选AC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．5

【解析】由为抛物线上一点，得，可得，则．

14．（答案不唯一）

【解析】要满足“前3项之和小于第3项”，则，则不妨设，则．

15．  （第一空2分，第二空3分）

【解析】为函数的对称轴为，

由辅助角公式可得，

所以，即，即，两端平方，

可得．所以．由，得，所以，所以，故函数在区间上的值域为．

16．

【解析】由图，知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设其半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，则，得，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是，所以，即，解得．所以该正二十面体的外接球表面积为，而该正二十面体的表面积是，所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明、证眀过程或演算步骤．

17．（10分）

（1）解：设等比数列的公比为q．

由得    17分

解得或（舍去），    4分

所以．    6分

（2）证明：由（1）得，

所以．    8分

因为在R上为减函数，且恒成立，

所以当，即时，，    9分

所以．    10分

18．（12分）

解：（1）由，得，

即，

，    2分

．    3分

由正弦定理，得，    4分

因为，

所以，所以．    5分

因为，所以．    6分

（2）因为的面积为，

所以，

解得，    8分

所以．    9分

由余弦定理，可得，

解得．    11分

所以的周长为．    12分

19．（12分）

（1）证明：因为四边形是正方形，所以．    1分

又平面平面，

所以平面．    2分

因为，    3分

同理，可证平面，    4分

又，所以平面平面，    5分

又因为平面，所以平面．    6分

（2）

解：分别以为轴建立如下图所示的空间直角坐标系．

因为，所以，

则，    7分

则．    8分

设平面的法向量为，则由

得

令，得平面的一个法向量为．    10分

设直线与平面所成角为，则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．    12分

20.（12分）

解：（1）由散点图知，年广告费用x和年利润额y的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，所以选择回归类型更好．    3分

（2）对两边取对数，得，即，    4分

由表中数据得，，    6分

所以，所以，    7分

所以年广告费用x和年利润额y的回归方程为．    8分

（3）由（2），知，

令，得，得，    10分

所以，    11分

所以（十万元）（万元）．

故下一年应至少投入498万元广告费用．    12分

21．（12分）

解：（1）由题意，可知，设点，

则，    2分

得，

得

得，    4分

即双曲线的标准方程为．    5分

（2）由题意，可知直线，设，

则可得，    6分

则中点为外接圆圆心在的垂直平分线上，设为，

故方程为，

又由焦点弦长公式，可知．    8分

设圆心满足

故    10分

所以半径，

所以外接圆方程为．    12分

22．（12分）

（1）解：函数的定义域是，

．    1分

①当时，，则，

则函数在上单调递减，即函数在区间上单调递减，

故函数在区间上的最小值为．    3分

②当时，令，得；令，得；

故函数在上单调递减，在上单调递增．

（i）当，即时，函数在区间上单调递增，故函数在区间上的最小值为；    4分

（ii）当，即时，函数在区间上单调递减，故函数在区间上的最小值为；    5分

（iii）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为．    6分

综上，当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为．    7分

（2）证明：当时，，

要证，即证，

因为，所以两边同时乘x，得，

即证．    8分

当时，，而，

所以成立，即成立．

当时，令，

则．    9分

设，，则因为．

因为，所以，

所以当时，单调递增，    10分

所以，即，

所以在上单调递增，

所以，即成立．    11分

综上，对任意，恒有成立．    12分