...2010-2011学年第一学期期末高三数学(理科)试题及答案

2010—2011学年第一学期统一检测题

高三数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则

A．    B．    C．    D． 

2．复数的值是

A．-1          B．0           C．1             D．i

3．设a，b是两条直线，是两个平面，则ab的一个充分条件是

A．a，b//，            B．a，b，//

C．a，b//，            D．a，b，//

4．若实数x，y满足则的最小值是

A．4      B．3      C．2       D．1 

5．图1是一个几何体的三视图，根据图中数据，

可得该几何体的表面积是

A. 9            B. 10

C. 11           D. 12

6．设函数，则

A．有最大值       B．有最小值      C．是增函数       D．是减函数

7．设等差数列的前n项和为，若，则

A．12              B．18            C．24               D．30

8．设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为

A.     B.     C.      D. 

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. 

（一）必做题（9～13题）

9．定义新运算为ab=，则2（34）的值是__▲__.

10．阅读右边程序框图，该程序输出的结果是__▲__.

11．若平面向量与向量的夹角是180，

且，则__▲__.

12．在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，

已知，则角A等于__▲__.

13．对a，bR，记，函数

（xR）的最小值是__▲__.

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14.（几何证明选讲选做题）如图2，PC、DA为⊙O的切线，A、C为切点，AB为⊙O的直径，若 DA=2，CDDP=12，则AB=__▲__.

15.（坐标系与参数方程选做题）若直线（t为参数）

与直线垂直，则常数k=__▲__.

三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 

16.（本小题满分12分）

已知向量，，且.

（1）求tanA的值；

（2）求函数的值域.

17.（本小题满分12分）

对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：

（3）在上述追踪调查的电子元件中任取2个，设ξ为其中寿命在400500小时的电子元件个数，求ξ的分布列.

18. （本题满分14分）

如图3，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，BAD=90，PA底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M，N分别为PC、PB的中点.

（1）求证：PBDM；

（2）求BD与平面ADMN所成角的大小；

（3）求二面角B—PC—D的大小. 

19.（本小题满分14分）

设函数，已知和为的极值点.

（1）求a和b的值；

（2）设，试比较与的大小.

20. （本小题满分14分）

将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：

记表中的第一列数，，，，构成的数列为，，为数列的前n项和，且满足.

（1）求证数列成等差数列，并求数列的通项公式；

（2）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当时，求上表中第行所有项的和.

21．（本小题满分14分）

已知，直线l：和圆C：.

（1）求直线l斜率的取值范围；

（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？请说明理由.

2010—2011学年第一学期统一检测题

高三数学（理科）参及评分标准

一、选择题

9. 3；        10. 120；        11．（-3，6）；        12．；

13．；     14．；      15. -6

三、解答题

16.（本小题满分12分）

解：（1）由题意得，                   （2分）

因为，所以.                                （4分）

（2）由（1）知得

.     （6分）

因为，所以.                                （7分）

当时,有最大值；                             （9分）

当时，有最小值-3；                           （11分）

故所求函数的值域是.                             （12分）

17．（本小题满分12分）

解：（1）完成频率分布表如下：                               （4分）

（3）由题意，得追踪调查的电子元件总数为200个，其中寿命在400500小时的有40个，ξ的可能取值为0，1，2.                                  （9分）

，

，

，

所以ξ的分布列为

18.（本小题满分14分）

解：建立如图3所示的空间直角坐标系，依题意，得

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），

P（0，0，2）.              （2分）

（1）因为M为PC的中点，所以M（1，，1）.

，.                 （3分）

因为，所以PBDM.      （5分）

（2），.

因为，所以PBAD.

又由（1）知PBDM，且ADDM=D，所以PB平面ADMN，

即为平面ADMN的法向量.                             （6分）

因此的余角等于BD与平面ADMN所成的角.       （7分）

因为，所以，    （8分）

所以BD与平面ADMN所成的角.                         （9分）

（3），，设平面PBC的法向量为，则

由得解得

令，得.                                   （10分）

，，设平面PCD的法向量为，则

由得解得

令，得.                                （11分）

因为，                       （12分）

所以，依题意可得二面角B—PC—D的大小为.          （14分）

19．（本小题满分14分）

解：（1），（2分）

由和为的极值点，得                  （4分）

即                                             （5分）

解得                                                 （7分）

（2）由（1）得，

故.            （8分）

令，则.                              （9分）

令，得.                                          （10分）

、随x的变化情况如下表：                            （12分）

又，所以，故对任意，恒有.（14分）

20．（本小题满分14分）

解：（1）由已知，当时，，又，        （1分）

所以.                                         （2分）

即，所以，                             （4分）

又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列.    （5分）

所以，即.                         （7分）

所以，当时， ，        （8分）

因此                                        （9分）

（2）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q>0.

因为，所以表中第1行至第12行共含有数列的前7，故在表中第13行第三列.                                   （11分）

所以，，                                        （12分）

又，所以.                                      （13分）

记表中第行所有项的和为S，

则.          （14分）

21．（本小题满分14分）

解：（1）直线l的方程可化为，              （1分）

于是直线l的斜率.                                  （2分）

因为，                                        （4分）

所以，当且仅当时等号成立.               （5分）

所以，直线l的斜率k的取值范围是.                    （6分）

（2）不能.                                                 （8分）

由（1）知直线l的方程为：，其中.           （9分）

圆C的方程可化为，

所以圆C的圆心为C（4，-2），半径r=2.                      （10分）

于是圆心C到直线l的距离.                       （11分）

由，得，即.                          （12分）

所以若直线l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.（13分）

故直线l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧.           （14分）