初三数学解直角三角形考点梳理

考点1 锐角三角函数的定义

锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。

正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.

例题1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（）

A ．B．m•cosαC．m•sinαD．m•tanα

变式1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin ∠BCD的（）

（第一题图）（第二题图）（第三题图）

A ．

B ．

C ．

D ．

变式2如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sin A 的式子为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

变式3如图，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（）

A．a•（cosα﹣cosβ）B ．C．a cos αD．a•cosα﹣a sinα•a•tanβ考点2 网格中的锐角三角函数值计算解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.

例题2如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

变式4如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是．

变式5如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为．

变式6如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为．考点3 锐角三角函数的增减性

解决此类问题的关键在于掌握锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

例题3sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（）

A．cos28°＜cos58°＜sin58°B．sin58°＜cos28°＜cos58°

C．cos58°＜sin58°＜cos28°D．sin58°＜cos58°＜cos28°

变式7比较大小：

（1）cos35°cos45°，tan50°tan60°；

（2）若sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，则αβ．

变式8比较大小：sin81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．

变式9如图所示的网格是正方形网格，∠AOB∠COD．（填“＞“，“＝”或“＜“）

考点4 同角三角函数的关系

解决此类问题的关键在于掌握同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦与

正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA或sinA＝tanA•cosA．

例题4如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα，则tanα＝（）A．B．C．D．

变式10若∠a为锐角，且tan a是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则sinα等于（）

A．1B．C．D．

变式11在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子正确的是（）

A．sin A+cos A＜1 B．sin A+cos A＝1C．sin A+cos A＞1D．sin A+cos A≥1

变式12已知sinαcosα，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（）

A．B．C．D．±

考点5 互余两角三角函数的关系

解决此类问题的关键在于掌握互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα,

cos(90°-α)=sinα,

例题5如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sin B；②sinβ＝sin C；③sin B＝cos C；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有．

变式13已知α为锐角，sinα+cos（90°﹣α），则α＝．

变式14若a＜60°，且sin（60°﹣a），则cos（30°+a）＝．

变式15化简：．考点6 特殊角的三角函数值的计算

解决此类问题的关键在于熟记特殊角三角函数值：

计算：

（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）tan260°变式16计算：3tan30°cos45°

变式17计算：变式18计算

（1）3tan60°﹣tan245°﹣2cos30°．（2）．

考点7 特殊角的三角函数值中的新定义问题

例题6嘉琪在某次作业中得到如下结果：

sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝

（）2+（）2＝1．

据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．

（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．变式19阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三

角形中的边角关系：

sin αcos αtan α

一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：

sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ

例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°

根据上述材料内容，解决下列问题：

（1）计算：sin75°＝；sin15°＝；

（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，请你求出AC和BC的长．

考点8 解直角三角形

解决此类问题的关键在于解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）

①三边之间的关系：a 2+b2=c2；②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；③边角之间的关系；正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.；④解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边．例题7如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B．

（1）求线段CD的长度；

（2）求cos∠C的值．

变式20如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD，求∠B，a，c的值．变式21如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分别是BC边的中线和高，若cos B，BC＝10．

（1）求AB的长；（2）求AE的长；（3）求sin∠ADB的值．

变式22如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cos A，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．

求：（1）线段CD的长；（2）cos∠ABE的值．考点9 解斜三角形

解决此类问题的关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解.

例题8如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（）

A．6B．2C．2D．9变式23已知．在△ABC中，BC AC，∠BCA＝135°，求tan A的值．

如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B，AC＝6，求AB的长．

变式24如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6．求△ABC的面积．

考点10 解直角三角形的应用（坡度坡脚问题）

解决此类问题的关键在于掌握坡度坡脚问题：

（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．

（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．

（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．

例题9水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC 的坡角β为60°，坝高3m ，（ 1.73）求：

（1）坝底AB的长（精确到0.1）；

（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面

DE的坡度i为1：，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．变式25如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i 为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：

（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；

（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（结果保留根号）．考点11 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）

解决此类问题的关键在于掌握俯角仰角问题：

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

例题10如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A 处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：

（1）坡顶A到地面水平线PO的距离；

（2）古塔BC的高度．（结果用非特殊角三角函数和根号表示即可）考点12 解直角三角形的应用（方位角问题）

解决此类问题的关键在于掌握方位角问题：

（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．

（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．

变式26如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．

（1）直接写出∠C的度数；

（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）