对数与对数知识点

（1）对数的定义

①若

(0,1)x a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N

的对数,记作

log a x N

=,其中a 叫做底

数,N 叫做真数．

②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x

N a N a a N =⇔=>≠>．

2几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1a a =,log b a a b =．

3常用对数与自然对数：常用对数：lg N ,即10log N ；自然对数：ln N ,即log e N 其中 2.71828e =…．

4对数的运算性质 如果0,1,0,0a

a M N >≠>>,那么

①加法：log log log ()a

a a M N MN +=

②减法：log log log a a a M

M N N

-=

③数乘：log log ()n a

a n M M n R =∈

④

log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n

M M b n R b

=

≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N

N b b a

=

>≠且

对数函数及其性质

5对数函数

过定点 图象过定点(1,0),即当1x =时,

0y =．

奇偶性 非奇非偶

单调性

在(0,)+∞上是增函数

在(0,)+∞上是减函数

函数值的 变化情况

log 0(1)

log 0(1)log 0(01)

a a a x x x x x x >>==<<<

log 0(1)

log 0(1)log 0(01)

a a a x x x x x x <>==><<

a 变化对 图

象的影响

在第一象限内,a 越大图象越靠低,越靠近x 轴 在第四象限内,a 越大图象越靠高,越靠近y 轴

在第一象限内,a 越小图象越靠低,越靠近x 轴 在第四象限内,a 越小图象越靠高,越靠近y 轴

基础练习：

1.将下列指数式与对数式互化：

12－

2＝错误!； 2102＝100； 3e a ＝16； 4－错误!＝错误!； 2. 若log 3x ＝3,则x ＝_________ 3.计算：2

lg 25lg 2lg 50(lg 2)++= ;

4.1 错误!＝________．

5. 设a ＝log 310,b ＝log 37,则3a －

b ＝_________.

6.若某对数函数的图象过点4,2,则该对数函数的解析式为______________.

7.1如图2－2－1是对数函数y ＝log a x 的图象,已知a 值取错误!,错误!,错误!,错误!,则图象C 1,C 2,C 3,C 4相应的a 值依次是______________

2函数y ＝lg x ＋1的图象大致是

4. 求下列各式中的x 的值：

1log 8x ＝－错误!；2log x 27＝错误!；

8.已知函数fx ＝1＋log 2x ,则f 错误!的值为__________. 9. 在同一坐标系中,函数y ＝log 3x 与y ＝lg 错误!x 的图象之间的关系是_______________ 10. 已知函数fx ＝错误!那么ff 错误!的值为___________. 例题精析：

例1.求下列各式中的x 值：

1log 3x ＝3； 2log x 4＝2； 3log 28＝x ； 4lgln x ＝0.

求下列各式中的x的值：

1log8x＝－错误!；2log x27＝错误!；3log2log5x＝0；4log3lg x＝1.

例2.计算下列各式的值：

12log510＋log50.25; 2错误!lg 错误!－错误!lg 错误!＋lg 错误!3lg 25＋错误!lg 8＋lg 5×lg 20＋lg 22.

变式突破：

计算下列各式的值：

13错误!log错误!4；232＋log35；371－log75；44错误! log29－log25．

例3.求下列函数的定义域：

1y＝错误!；2y＝错误!；3y＝log2x－1－4x＋8．

变式突破：

求下列函数的定义域：

1y＝错误!;

例4.比较下列各组中两个值的大小：

1ln 0.3,ln 2；2log a3.1,log a5.2a>0,且a≠1；

3log30.2,log40.2；4log3π,logπ3.

变式突破：

若a＝log0.20.3,b＝log26,c＝log0.24,则a,b,c的大小关系为________．2设y1＝40.9,y2＝80.48,y3＝错误!－1.5,则

A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3D．y1>y3>y2

3．已知0A．x>y>z B．z>y>x C．y>x>z D．z>x>y

4．下列四个数ln22,lnln2,ln错误!,ln2中最大的为________．

5．已知log m76．函数y＝log错误!－x2＋4x＋12的单调递减区间是________．

7．若log a2<1,则实数a的取值范围是

A．1,2B．0,1∪2,＋∞ C．0,1∪1,2 D．0,错误!

8．下列不等式成立的是

A．log32C．log23例5.解对数不等式

1解不等式log2x＋1＞log21－x；2若log a错误!＜1,求实数a的取值范围．

变式突破：

解不等式：1log32x＋1>log33－x．2若log a2>1,求实数a的取值范围．

课后作业：

1. 已知log x16＝2,则x等于___________.

2. 方程2log3x＝错误!的解是__________.

3. 有以下四个结论：①lglg 10＝0；②lnln e＝0；③若10＝lg x,则x＝10；④若e＝ln x,则x＝e2.其中正确的是_____________.

4.函数y＝log a x＋2＋1的图象过定点___________.

5. 设a＝log310,b＝log37,则3a－b＝

6. 若log错误!a＝－2,log b9＝2,c＝log327,则a＋b＋c等于___________.

7.. 设3x＝4y＝36,则错误!＋错误!=___________.