肇庆市中小学教学质量评估2010-2011学年第一学期期末高二数学(理科)试题及答案

2010—2011学年第一学期统一检测题

高二数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．对命题p：，命题q：，下列说法正确的是

A．p且q为真    B．p或q为假    C．非p为真    D．非q为真

2．已知条件甲：；条件乙：，且，则

A．甲是乙的充分但不必要条件     B．甲是乙的必要但不充分条件

C．甲是乙的充要条件             D．甲是乙的既不充分又不必要条件

3．若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是

A．内的所有直线与a异面        B．内存在唯一的直线与a平行

C．内的所有直线与a相交        D．内不存在与a平行的直线

4．已知两个平面垂直，下列命题

一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线

一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面

过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

其中正确命题的个数是

A．0            B．1            C．2            D．3

5．与直线关于x轴对称的直线的方程是

A．                  B． 

C．                  D． 

6．经过点P（4，-2）的抛物线的标准方程为

A．   B．  C．或   D．或

7．若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率是

A．     　     B．            C．             D． 

8．如图1，ABC为正三角形，AA1//BB1//CC1，CC1平面ABC，且，则多面体ABC—A1B1C1的正视图是

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 

9．命题“”的否定是  ▲  .

10．已知点P（2，-4），Q（0，8），则线段PQ的垂直平分线方程为  ▲  .

11．已知，，且，则=  ▲  .

12．若双曲线的左右焦点分别为F1，F2，A是双曲线左支上的一点，且，那么  ▲  .

13．用长为4、宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，

则此圆柱轴截面面积为  ▲  .

14．如图2，已知，

AC=1，的面积S是  ▲  .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

15．（本小题满分12分）

已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.

16．（本小题满分12分）

如图3，已知AB平面BCD，BCCD. 

请指出图中所有互相垂直的平面，并说明理由. 

17．（本小题满分14分）

已知直线l1：，l2：.

（1）当l1// l2时，求a的值；

（2）当l1 l2时，求a的值.

18．（本小题满分14分）

如图4，正方体的棱长为a，

E为DD1的中点.

（1）求证：BD1//平面EAC；

（2）求点D1到平面EAC的距离．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆E的方程为，过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A、B两点.

（1）求椭圆E的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标；

（2）求ABO（O为原点）的面积的最大值.

20．（本小题满分14分）

如图5，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，

AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．

（1）求证：AB平面PCB；

（2）求异面直线AP与BC所成角的大小； 

（3）求二面角C—PA—B的大小的余弦值．

2010—2011学年第一学期统一检测题

高二数学（理科）参及评分标准

一、选择题

9．       10．            11． 

12．11                      13．                      14． 

三、解答题

15．（本小题满分12分）

解：设点M的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0）.          （1分）

由于点B的坐标是（4，3），且点M是线段AB的中点，所以

，，                                     （5分）

于是有，.                              （6分）

因为点A在圆上运动，所以点A的坐标满足方程，

即.                                        （8分）

把代入，得，                   （10分）

整理，得.                              （11分）

所以，点M的轨迹方程为.                （12分）

16．（本小题满分12分）

解：平面ABC平面BCD.              （1分）

因为AB平面BCD，AB平面ABC，    （2分）

所以平面ABC平面BCD.              （3分）

平面ABD平面BCD.                  （4分）

因为AB平面BCD，AB平面ABD，    （5分）

所以平面ABD平面BCD.              （6分）

平面ABC平面ACD.                  （7分）

因为AB平面BCD，CD平面BCD，所以ABCD；    （9分）

又BCCD，且ABBC=B，所以CD平面ABC.         （11分）

又CD平面ACD，所以平面ABC平面ACD.           （12分）

17．（本小题满分14分）

解：（1）当时，

l1的方程为，l2的方程为，显然l1// l2；                    （3分）

当时，

直线l1的斜率，直线l2的斜率，                  （5分）

由，得，解得.                           （7分）

当时，l1的方程为，l2的方程为，l1// l2.  （8分）

综上，当，或时，l1// l2.                                （9分）

（2）由（1）得，当时，l1不垂直于 l2；                      （10分）

当时，由，得，解得.    （13分）

故当时，l1 l2.                                        （14分）

18．（本小题满分14分）

（1）证明：如图4，连接BD交AC于F，连EF.  （1分）

因为F为正方形ABCD对角线的交点，

所长F为AC、BD的中点.                      （3分）

在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，

所以EF//D1B.                                （5分）

又EF平面EAC，所以BD1//平面EAC.           （7分）

（2）解：设D1到平面EAC的距离为d.

在EAC中，EFAC，且，，

所以，

于是.                    （9分）

因为，  （11分）

又，即，             （13分）

解得，故D1到平面EAC的距离为.    （14分）

19．（本小题满分14分）

解：（1）将椭圆E的方程化为标准方程：，          （1分）

于是，，，

因此，椭圆E的长轴长为，短轴长为，离心率，两个焦点坐标分别是F1（0，-1）、F2（0，1），四个顶点的坐标分别是，，和.                                                 （6分）

（2）依题意，不妨设直线l过F2（0，1）与椭圆E的交点，

则.              （8分）

根据题意，直线l的方程可设为，

将代入，得.   

由韦达定理得：，             （10分）

所以（当且仅当，即时等号成立）.                    （13分）

故ABO的面积的最大值为.                             （14分）

20．（本小题满分14分）

解：（1）因为PC平面ABC，AB平面ABC，

所以PCAB．                         （1分）

因为CD平面PAB，AB平面PAB，

所以CDAB．                         （2分）

又PCCD=C，所以AB平面PCB．      （4分）

（2）由（1）AB平面PCB，所以ABBC.

又PC=AC=2，AB=BC，所以．

以B为原点，建立如图5所示的直角坐标系．   （5分）

则A（0，，0），B（0，0，0），C（，0，0），P（，0，2）． （6分）

于是，，．    （7分）

所以，     （8分）

故异面直线AP与BC所成的角为．                      （9分）

（3）设平面PAB的法向量为．

由，， 

得解得

不妨令,  得．                        （11分）

设平面PAC的法向量为．

由，， 

得解得

不妨令，得．                               （13分）

于是，

故二面角C-PA-B大小的余弦值为．                      （14分）