一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（共60分）
1．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（ ）
A． B． C． D．﹣
2．（5分）用二分法研究函数f（x）=x3﹣2x﹣1的理念时，若零点所在的初始区间为（1，2），则下一个有解区间为（ ）
A．（1，2） B．（1.75，2） C．（1.5，2） D．（1，1.5）
3．（5分）已知x0是函数f（x）=lnx﹣6+2x的零点，则下列四个数中最小的是（ ）
A．lnx0 B． C．ln（lnx0） D．
4．（5分）函数的零点为1，则实数a的值为（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
5．（5分）集合{α|kπ+≤α≤kπ+，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
7．（5分）若sinα＞0且tanα＜0，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第一象限或第三象限 D．第三象限或第四象限
8．（5分）若函数y=ax﹣x﹣a有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（0，1） C．（0，+∞） D．∅
9．（5分）若，化简=（ ）
A．sinθ﹣cosθ B．sinθ+cosθ C．cosθ+sinθ D．cosθ﹣sinθ
10．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ）
A．f（cosα）＞f（cosβ） B．f（sinα）＞f（sinβ） C．f（sinα）＜f（cosβ） D．f（sinα）＞f（cosβ）
12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，2） B．（2，+∞） C．（2，4） D．（4，+∞）
二、填空题：本小题共4题，每小题5分（共20分）
13．（5分）工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．高一某班级想用布料制作一 面如图所示的扇面参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为60°，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm． 则制作这样一面扇面需要的布料为 cm2．
14．（5分）已知函数f（x）与g（x）的图象在R上连续不断，由下表知方程f（x）=g（x）有实数解的区间是 ．
| x | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f（x） | ﹣0.677 | 3.011 | 5.432 | 5.980 | 7.651 |
| g（x） | ﹣0.530 | 3.451 | 4.0 | 5.241 | 6.2 |
16．（5分）f（x）=有零点，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）计算：sin+tan（）
18．（12分）已知α为第三象限角，且f（α）=．
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）=，求tan（3π﹣α）的值．
19．（12分）计算：已知角α终边上的一点P（7m，﹣3m）（m≠0）．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求2+sinαcosα﹣cos2α的值．
20．（12分）共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数h（x），其中x是新样式单车的月产量（单位：件），利润=总收益﹣总成本．
（1）试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a（a≤0）．
（1）若a=﹣1，求函数的零点；
（2）若函数在区间（0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．
22．（12分）已知函数为奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）设，证明函数y=h（x）在（2，+∞）上是减函数；
（3）若函数g（x）=f（x）+2x+m，且g（x）在区间[3，4]上没有零点，求实数m的取值范围．
2017-2018学年辽宁省丹东市高一（上）期末数学试卷
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（共60分）
1．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（ ）
A． B． C． D．﹣
【解答】解：∵tan60°=m，
则cos120゜====，
故选：B．
2．（5分）用二分法研究函数f（x）=x3﹣2x﹣1的理念时，若零点所在的初始区间为（1，2），则下一个有解区间为（ ）
A．（1，2） B．（1.75，2） C．（1.5，2） D．（1，1.5）
【解答】解：设函数f（x）=x3﹣2x﹣1，
∵f（1）=﹣2＜0，f（2）=3＞0，f（1.5）=﹣＜0，
∴下一个有根区间是（1.5，2），
故选：C．
3．（5分）已知x0是函数f（x）=lnx﹣6+2x的零点，则下列四个数中最小的是（ ）
A．lnx0 B． C．ln（lnx0） D．
【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴x0是f（x）的唯一零点，
∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（e）=﹣5+2e＞0，
∴2＜x0＜e．
∴lnx0＞ln＞ln=ln2＞0，
∵lnx0＜lne=1，
∴ln（lnx0）＜0，
又（lnx0）2＞0，
∴ln（lnx0）最小．
故选：C．
4．（5分）函数的零点为1，则实数a的值为（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
【解答】解：∵函数的零点为1，即
解得a=﹣，
故选B．
5．（5分）集合{α|kπ+≤α≤kπ+，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：当k取偶数时，比如k=0时，+≤α≤+，故角的终边在第一象限．
当k取奇数时，比如k=1时，+≤α≤+，故角的终边在第三象限．
综上，角的终边在第一、或第三象限，故选 C．
6．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【解答】解：∵函数，
∴f（﹣1）=2，
∴f[f（﹣1）]===1，
解得：a=﹣2，
故选：B
7．（5分）若sinα＞0且tanα＜0，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第一象限或第三象限 D．第三象限或第四象限
【解答】解；∵sinα＞0且tanα＜0，
∴α位于第二象限．
∴+2kπ＜α＜2kπ+π，k∈Z，
则+kπ＜＜kπ+ k∈Z
当k为奇数时它是第三象限，当k为偶数时它是第一象限的角
∴角的终边在第一象限或第三象限，
故选：C．
8．（5分）若函数y=ax﹣x﹣a有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（0，1） C．（0，+∞） D．∅
【解答】解：①当0＜a＜1时，
易知函数y=ax﹣x﹣a是减函数，
故最多有一个零点，故不成立；
②当a＞1时，y′=lna•ax﹣1，
故当ax＜时，y′＜0；
当ax＞时，y′＞0；
故y=ax﹣x﹣a在R上先减后增，
且当x→﹣∞时，y→+∞，当x→+∞时，y→+∞，
且当x=0时，y=1﹣0﹣a＜0；
故函数y=ax﹣x﹣a有两个零点；
故成立；
故选A．
9．（5分）若，化简=（ ）
A．sinθ﹣cosθ B．sinθ+cosθ C．cosθ+sinθ D．cosθ﹣sinθ
【解答】解：∵，∴sinθ＜cosθ．
∴===cosθ﹣sinθ．
故选：D．
10．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：f（x）=x2•sin（x﹣π）=﹣x2•sinx，
∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2•sin（﹣x）=x2•sinx=﹣f（x），
∴f（x）奇函数，
∵当x=时，f（）=﹣＜0，
故选：D
11．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ）
A．f（cosα）＞f（cosβ） B．f（sinα）＞f（sinβ） C．f（sinα）＜f（cosβ） D．f（sinα）＞f（cosβ）
【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，
∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，
∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，
又α、β为锐角三角形的两内角，
∴α+β＞，
∴α＞﹣β，
∴sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，
∴f（sinα）＜f（cosβ）．
故选C．
12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，2） B．（2，+∞） C．（2，4） D．（4，+∞）
【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点
∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，
由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增，
要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，
即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，
可得2＜a＜4．
故选C．
二、填空题：本小题共4题，每小题5分（共20分）
13．（5分）工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．高一某班级想用布料制作一 面如图所示的扇面参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为60°，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm． 则制作这样一面扇面需要的布料为 450π cm2．
【解答】解：由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料为××60×60﹣××30×30=450π．
故答案为：450π．
14．（5分）已知函数f（x）与g（x）的图象在R上连续不断，由下表知方程f（x）=g（x）有实数解的区间是 （0，1） ．
| x | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f（x） | ﹣0.677 | 3.011 | 5.432 | 5.980 | 7.651 |
| g（x） | ﹣0.530 | 3.451 | 4.0 | 5.241 | 6.2 |
∵h（0）=f（0）﹣g（0）=﹣0.44＜0，h（1）=f（1）﹣g（1）=0.532＞0，
∴h（x）的零点在区间（0，1），
故答案为：（0，1）
15．（5分）= ﹣1 ．
【解答】解：=
==﹣1，
故答案为：﹣1．
16．（5分）f（x）=有零点，则实数m的取值范围是 （﹣1，1） ．
【解答】解：函数f（x）=有零点，
可得函数y==的图象和直线y=m有交点，如图所示：
数形结合可得﹣1＜m＜1，
∴实数m的取值范围是（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）计算：sin+tan（）
【解答】解：sin+tan（）
=
=．
18．（12分）已知α为第三象限角，且f（α）=．
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）=，求tan（3π﹣α）的值．
【解答】解：（1）f（α）==；
（2）由，得，
又α为第三象限角，∴，
∴．
19．（12分）计算：已知角α终边上的一点P（7m，﹣3m）（m≠0）．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求2+sinαcosα﹣cos2α的值．
【解答】解：依题意有；
（1）原式== （5分）
（2）原式=2+=2+=2﹣= （5分）
20．（12分）共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数h（x），其中x是新样式单车的月产量（单位：件），利润=总收益﹣总成本．
（1）试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）依题设，总成本为20000+100x，
则；
（2）当0≤x≤400时，，
则当x=300时，ymax=25000；
当x＞400时，y=60000﹣100x是减函数，
则y＜60000﹣100×400=20000，
∴当月产量x=300件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元．
21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a（a≤0）．
（1）若a=﹣1，求函数的零点；
（2）若函数在区间（0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）若a=﹣1，则f（x）=﹣x2+2x﹣1，
由f（x）=﹣x2+2x﹣1=0，得x2﹣2x+1=0，解得x=1，
∴当a=﹣1时，函数f（x）的零点是1．…（4分）
（2）已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a，且a≤0
①当a=0时，f（x）=2x﹣2，由2x﹣2=0，得x=1，且1∈（0，1]，
∴当a=0时，函数f（x）在区间（0，1]上恰有一个零点．…（6分）
②当a≠0时，由 f（x）=ax2+2x﹣2﹣a=0易得f（1）=0
∴f（x）=0必有一个零点 1∈（0，1]…（7分）
设另一个零点为x0，则
即…（8分）
∵函数f（x）在区间（0，1]上恰有一个零点．从而 x0≤0，或x0≥1
解得a≤﹣2或﹣1≤a＜0…（11分）
综合①②得，a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，0]． …（12分）
22．（12分）已知函数为奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）设，证明函数y=h（x）在（2，+∞）上是减函数；
（3）若函数g（x）=f（x）+2x+m，且g（x）在区间[3，4]上没有零点，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数
∴f（﹣x）=﹣f（x），
即=﹣，
∴4﹣k2x2=4﹣x2，整理得k2=1．
∴k=﹣1（k=1使f（x）无意义而舍去）．
（2）由（1）k=﹣1，故h（x）=，
设a＞b＞2，
∴h（a）﹣h（b）=﹣=
∵a＞b＞2时，b﹣a＜0，a﹣2＞0，b﹣2＞0，
∴h（a）﹣h（b）＜0，
∴h（x）在（2，+∞）递减，
（3）由（2）知，f（x）在（2，+∞）递增，
∴g（x）=f（x）+2x+m在[3，4]递增．
∵g（x）在区间[3，4]上没有零点，
∴g（3）＞0或g（4）＜0，
∴m＞log35+8或m＜﹣15．
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