考虑塑性变形的岩石损伤本构模型初步研究

岩石力学与工程学报 Vol.24 Supp.2

2005年11月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Nov .，2005

收稿日期：2004–08–05；修回日期：2005–01–17

基金项目：国家重点基础研究发展规划(973)项目(2002CB412707，2002CB412704)；国家自然科学基金资助项目(503740，50334060，501208) 作者简介：韦立德(1973–)，男，2003年于河海大学岩土工程专业获博士学位，现为中国科学院武汉岩土力学研究所在站博士后，主要从事岩土力学方面的研究工作。E-mail ：weilide@tom.com 。

考虑塑性变形的岩石损伤本构模型初步研究

韦立德1，徐卫亚2，杨春和1

(1. 中国科学院 岩土力学重点实验室，湖北 武汉 430071；2. 河海大学 岩土工程研究所，南京 210098)

摘要：利用细观力学的Eshelby 等效夹杂方法建立了考虑损伤和无损岩石塑性变形的Helmholtz 自由比能函数，并用连续损伤介质力学方法推导出了考虑损伤和无损岩石塑性变形耦合的岩石弹塑性损伤本构关系，给出了损伤演化方程和塑性应变发展方程，该模型还反映了岩石损伤部分不能承受拉应力等力学特性。 关键词：岩石力学；岩石；损伤；塑性；本构模型

中图分类号：TU 45 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2005)增2–5598–06

STUDY ON DAMAGE CONSTITUTIVE MODEL

OF ROCK WITH PLASTIC STAIN

WEI Li-de 1

，XU Wei-ya 2，YANG Chun-he 1

(1. Key Laboratory of Rock and Soil Mechanics ，Institute of Rock and Soil Mechanics ，Chinese Academy of Sciences ， Wuhan 430071，China ；2. Institute of Geotechnical Engineering ，Hohai University ，Nanjing 210098，China )

Abstract ：Using the Eshelby equivalent inclusion method ，a Helmholtz free energy function for damage rock with plastic strain is set up ，and a constitutive relationship is derived based on CDM ，and the corresponding evolvement equations for damage and plastic strain are presented. The model can reflect the mechanical properties of failed rock. Key words ：rock mechanics ；rock ；damage ；plasticity ；constitutive model

1 引 言

固体材料的损伤和破坏是指它在外载作用下，由于内部大量微损伤(微裂纹或孔洞)的萌生、扩展和连接，导致材料宏观力学性能的劣化乃至最终失效。近年来，损伤力学已迅速发展成为固体力学和工程技术界的一个研究热点，而采用Eshelby 相变理论建立固体材料本构模型是一种主要的研究方法。文[1，2]从细观力学出发采用Eshelby 相变理论和连续介质力学方法建立了固体材料的弹塑性本构模型，文[3]等采用各向异性介质中的Eshelby 相变问题的解建立了脆弹性固体材料的各向异性损伤统计本构模型。采用Eshelby 相变理论建立弹塑性损

伤本构模型的相关文献目前还极少。本文探讨考虑无损岩石塑性变形的岩石损伤本构模型的建模问题。

2 微观和宏观变量关系

这里以已经破坏岩石微元占微元总体的比例为损伤变量[4

，5]

。对于某一很小的具有代表性的损伤

为D 的岩石样品，其体积为1，则已经破坏部分(缺陷相)体积大小为D ，未破坏部分(没有损伤的岩石相)体积大小为D −1，假设无损岩石发生弹塑性变形，其平均应力和应变分别为σM 和e M ，e eM 和e pM 分别是弹性应变和塑性应变部分，为了简化假设已破坏岩石部分只发生弹性变形，其平均应力和应变

第24卷 增2 韦立德等. 考虑塑性变形的岩石损伤本构模型初步研究 • 5599 •

分别为σF 和e F ，假设此岩石样品的宏观应变[1

，2]

为 ⎪⎭⎪

⎬⎫

−=+−=+−=+=pM

p F eM e F

M

p

e

)1()1()1(e e e e e e e e e e D D D D D (1)

岩石中缺陷相对岩石力学性质的影响极度复杂，现在还不能很好地解决。没有损伤岩石的割线

体积模量和割线剪切模量分别记为M S K ，M

S G ，在

此假设缺陷相剪切模量为0，弹性体积模量为

M

S

V F

K k K = (2)

式中：V k 是一个范围小于1的非负实常数，当有一个以上主拉应力时取0，其他情况下可通过试验曲线用间接方法(如最优化方法)取值。以下文中“M ”代表没有损伤的岩石，“F ”代表缺陷相，“S ”代表割线模量。为了方便处理把F K 也看成损伤的切线模量。

假设无损伤岩石不发生体积塑性应变，塑性应变增量为

M

PM

d d ij

ij g

e σλ

∂∂= (3) 式中：g = g (M

ij σ，H )为无损岩石的塑性势面函数，

H 为硬化参数。无损岩石的塑性变形是无损岩石的晶体滑移和不能恢复的特性，在此假设无损岩石发生塑性变形过程中化学自由比能和表面能发生的变化非常小可以忽略不计。

3 自由比能函数的确定

3.1 无损岩石和损伤的应力和应变确定

把岩石看成由无损岩石和损伤两相组成[6]

，假设缺陷均匀分布于岩石中，并且缺陷形状呈球形。设给定的岩石材料在其边界上受到远场均匀的应变

e 作用，损伤为D ，无损岩石的割线材料常数张量为M S L ，无损岩石中的平均应力为

)~(~M S

M e e +=+=L σσσ (4) 式中：e M S L =σ，e ~为损伤间相互作用产生的扰动应变。

球型缺陷内的平均应力为F σ：

=++==++=)~(~pt F F F pt F e e e e L L σσ

σσ )~(*pt M

S

e e e

e −++L (5) 式中：F e 为损伤的弹性常数张量，*e 为球型缺陷的等效本征应变张量，pt σ与pt e 分别为由于单个缺陷

的存在引起的扰动应力张量与应变张量。沿用

Eshelby 等效夹杂理论的推导[7，

8]有

)(*0pt e S e = (6)

式中：0S 为四阶Eshelby 张量，它与基体性质及夹杂的形状有关，设缺陷相与没有损伤的岩石相是各向同性材料且没有损伤的岩石相的泊松比M ν在整个过程中不变，对球形夹杂体[7]有

)

1(15)54(2)

1(31)

(M M 0M M

0000ννβνναβα−−=

−+=

=，S

由e e e e e

e =+−+++)~)(1()~(pt D D ，可得 )(~*0

pt e S e e D D −=−= (7) 代入式(5)解得

1

)1)(1()1(0V V *

+−−−=

αD K e K e kk

kk (8)

1

)1(''0*+−−=

βD e e ij

ij (9)

再由式(4)和(5)可求得

V 0V M )1)(1(1])1(1[ααD K e K e kk

kk −−−−−=

(10)

ij ij e D e '1

)1(1

'00M

+−−+−=

ββ (11)

V F )1)(1(1αD K e e kk

kk −−−=

(12)

ij ij e D e '1

)1(1

'0F +−−=

β (13)

0V M 0V M )1)(1(13])1(1[αασ

D K e K K kk kk

−−−−−= (14) ij ij e G D '21

)1(1'M

S 00M

+−−+−=

ββσ (15)

V M V F )1)(1(13ασ

D K e K K kk

kk

−−−= (16) 0'F =ij σ (17)

3.2 弹性形变比能的确定

无损岩石的力学参数用割线模量表示，因而对应该状态可采用弹性理论，假定在无损岩石中和在损伤中应力和应变不随着空间坐标变化，且等于它们的相应平均值，则按照文[8]岩石的弹性形变比能可确定为

• 5600 • 岩石力学与工程学报 2005年

=−+=

∫∫−D ij ij ij D ij ij v e e v e w *

F F 1 M M d )(21d 21σσ +

⎪⎩

⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−−−2

0V 0V M M 2

0V V )1)(1(1])1(1[)1(21)1)(1(121αααD K e K K D K D K e K D kk kk

⎪⎭

⎪⎬⎫′′⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−+−ij ij

e e G D M

S 2

0021)1(1ββ (18) 3.3 化学自由比能和表面能

在单位体积的岩石中当有D 体积由无损岩石变为损伤时所发生的化学能变化量[1，

2]为

D G D G G G )()]()([)(M F F M chem θθθθ→Δ=−=Δ (19)

式中：)(M θG 和)(F θG 分别为无损岩石和损伤化学自由比能，它们和温度θ有关系。假定在此相变过程中表面能能量变化量[1，

2]为

D A A r sur = (20)

式中：r A 为单位体积由无损岩石变为损伤时所发生表面能能量变化量。 3.4 相变过程中的耗散能

岩石由无损岩石变为损伤过程和发生塑性变形过程中，因发生不一样大小的应变而产生摩擦热量，弹性波转变为热量，还有其他的一些方式，这些方式就是损伤耗散能发生的形式。损伤耗散能发生的过程是很复杂的过程，和塑性变形过程也有关系，在此假设损伤耗散能总量可以用发生损伤过程中相变总体积数表示：

)(d

D Q W = (21)

具体形式用试验或者微观力学分析计算确定。 3.5 自由比能函数的确定

给定的岩石材料在其边界上受到远场均匀的应变e 作用，损伤为D ，无损岩石的割线材料常数张量为M S L ，岩石的初始密度为0ρ，在不考虑温度变化时对应小应变情况Helmholtz 自由比能函数为

+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−−−+⎪⎭

⎪⎬⎫′′⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−+−+

⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−−=

Δ++=M 2

0V V M S 2

002

0V 0V M chem sur pM 0)1)(1(12121)1(1)1)(1(1])1(1[)1(21)(K D K e K D e e G D D K e K K D G A W D f kk ij ij kk αββααθρe e ，，

D G D A )(M F r θ→Δ+ (22)

4 弹塑性损伤本构关系的确定

按照热力学理论，弹塑性损伤本构方程[9]可确定如下：

+⎪⎭

⎪⎬⎫′⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−+−+⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−−=

∂∂=

ij ij kk ij

ij e G D e D K K K D e D f M S

2

002

0V 0

V M e pM 021)1(1)1)(1(1)1(1)1()

(ββδααθρσe e ，，

ij kk e K D K K D δαM 2

0V V )1)(1(1⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−−− (23) 令Y 和D ，R 和pM e 为共轭的内变量对，按照热力学理论可确定为

[][]/

)1()1)(1(1)1)(1(1311)1(/21)1(1)1()1)(1(1)1(}])1(1{[)1(21)1(1)1)((])1(1[21)

(0V M 2

0V V M 2

0V V 00M

S 2

003

0V 0

V M 20V M

S 2

0020M

V M S M S

0V M pM 0αααββββαααββααθρK K D K e K D K D K e K D e e G D D D K K K e K D e e G D D K K K K e K K D

D f Y kk kk

ij ij

kk ij ij

kk −⎥⎦⎤⎢⎣

⎡−−−+

⎦⎤⎢⎣⎡−−−−+−−′′⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+−−+−−+

−−−−−−⋅−+⎪⎭

⎪⎬⎫′′⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−+−+⎪⎩

⎪⎨⎧⎦⎤⎢⎣⎡

−−−−−=∂∂−

=e e ，，

[])()1)(1(1M F r 0V θα→Δ−−−−−G A D K (24)

=∂∂−='

)

(pM

pM 0ij ij D f R εθρe e ，， '1)1(1)1(pM

M

S

2

00ij kl kl G e e D D εββ∂∂′′⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+−−+−−− (25) 由无损伤岩石的弹塑性本构关系，可得

[]−′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+−−′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+−=

D e G G D e G

G D e

ij ij ij

&&&0M M

S 200M M

S

00pM

11)1(111)1(1βββββ

ij

e G G D ′+−−+−M

M

S

001)1(1&ββ (26)

第24卷 增2 韦立德等. 考虑塑性变形的岩石损伤本构模型初步研究 • 5601 •

由此式(26)可求得 []⎥⎥⎦

⎤′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−

+−−+−−⎢⎣

⎡′⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝⎛−+−−+−=D e G

G D e G G D e

ij ij ij

&&&0

M

M

S 200M

M

S

00pM 11)1(1

11)1(1βββββ

=⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡′∂∂+−−+−+ij ij e G e G D M pM

M

S 001)1(11ββD e B e A ij ij &&′+′c c (27) 热力学第二定律要求：

pM *

0ij ij e R D Y &&+=σθρ≥0 (28)

式中：t e e ij

ij d d pM pM =&，t

D D

d d =&，*

σ为比熵产率。 另一方面由式(21)可得能量耗散率：

D D q D D

D Q w &&&)()(d =∂∂= (29) 比较式(28)和(29)，可得

D D q e R D

Y ij

ij &&&)(pM =+ (30) 将式(26)代入式(30)，可得

D D q D R e B R e A D Y ij ij ij ij &&&&)(c c =′+′+ (31)

从而求得

[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧

−′+′−=∂∂−∂∂∂∂−=)0()(/)0()(pM

c c pM ＞ij kl kl ij ij ij ij ij

e D q R e B Y R e A e D D q D Y e e Y D &&& (32)

)](/[c c c c pM

D q R e B Y R e A e B e

A e

ij ij kl kl ij ij ij

−′+′′−′=&&& (33) 于是得到如下损伤演化规律：

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨⎧⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛∂∂=−−′+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=−=∂∂−∂∂∂∂−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=−−=0d 00)](/['0d 00)(0d 00)0(0

t pM c c pM t t ＞，＞＞，，＜ij ij ij ij ij kl kl ij ij t ij ij ij ij ij e e Y Y Y e D q R e B Y R e A e e Y Y Y e D D q D Y e e Y

e e Y Y Y Y Y D &&&(34) 而塑性应变增长规律如下：

⎪⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎪

⎨⎧⎟⎟

⎠⎞⎜⎜⎝

⎛∂′′′∂=′′−′+′′−′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂′′∂=′′′′′=0d )(0)(')](/[0d )('0)(0)

0)('(0M M c c c c M M M pM

＞，，，＜，ij ij

ij ij kl kl ij ij ij ij ij e e k f k f D q R e B Y R e A e B e A e e k f k f k f e

σσσσσ&&&(35)

式中：0)('M =′′k f ，σ为无损岩石的屈服函数。

5 无损岩石变形参数的确定

无损岩石发生塑性变形以前的变形参数取为

)

21(3M M

M

μ−=E K

(36) )

1(2M M

M

μ+=E G (37)

无损岩石的弹塑性本构关系采用增量形式，采用应变强度和应力强度关系曲线符合单一曲线假设。按单一曲线假设取泊松比为很接近0.5的一个数(按单一曲线假设取为0.5，但为了计算方便这样取值)。进入塑性屈服后无损伤岩石的变形参数取为

M M

M S

i

i E εσ= (38)

)1(2M M S

M S

μ+=E G (39)

式中：M i ε和M i σ分别为无损岩石的应变强度和应力

强度。为了能够得到M

S G 的导数，在求导过程中M

i ε和M i σ关系在初始屈服后用一条直线近似表示(如图1所示)，该直线斜率为'M E ，经推导割线模量可表示为

'

''M M pM M M M S M M pM M M M

S M

S

E E E E E

E E E E i i i i −+

⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=εσεσ (40) 式中：pM i ε和M

S i σ分别为无损伤岩石的塑性应变强度

和对应初始屈服应力点的应力强度。

从而得到M

S G 的导数为

)1(2'')2('322'M

M M pM M M M

S eq pM

M

S pM M S μεσεδσ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−=∂∂E E E E e e G i i ij ij i

ij (41) ≤ ≤

• 5602 • 岩石力学与工程学报 2005年

图1 无损伤岩石单轴应力–应变关系

Fig.1 Stress-stain curve of uniaxial compressive experiment

of rock without damage

其中，

=eq ε

32

pM 232

pM 132

pM 122pM 33pM 222pM 33pM 112pM 22pM 11)(6)''()''()''(e e e e e e e e e +++−+−+−

对具有塑性应变pM e 无损伤岩石在没有发生塑性变形增加过程中，割线弹性模量取为

M M

pM

M

M

S )(i

i i

E

E ε

ε

ε

−=

(42)

割线剪切模量按式(39)确定。

6 模型的三轴应力–应变曲线

对于受到三轴应力的岩样，周向应力为22σ，轴向应力为11σ。给无损岩石一系列应变强度增量M d i ε，用单轴应力–应变关系增量形式求出对无损

伤岩石对应任一M i ε的M

S E ，求得应力和应变，从而

得到应变增量，再由式(34)，(35)求得损伤增量和无损岩石的塑性应变增量。由式(10)～(13)和(23)联立方程组求得

+=2211σσ

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+−−+−⎥

⎦⎤⎢⎣⎡+−−+−1)1(11)1(13002

00M S M ββββεD D G i (43)

⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎪⎪⎬⎫

⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−−=++=

M

2

0V V 220V 0

V M 12

111223)1)(1(1)1)(1(1)1(13)1(2K D K K D X D K K K D X X X e kk ααασσ (44)

2

00M

S 11

2211

1)1(1622⎥⎦⎤⎢

⎣

⎡+−−+−+−=′ββσσD G e (45)

2

00M

S 11

2222

1)1(16⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡+−−+−−=′ββσσD G e (46)

在此算例中，产生塑性屈服后应变步差

1000.0d M i =ε，22σ=50 000 kPa ，00000010M =E kPa ，99990.499M =μ，kPa 0002V M =K K ，=r A

530 kPa ，kPa 650)(M F =Δ→θG ，−=2006)(D q )21exp(4.4D ，假设损伤和塑性应变同时发生。塑

性屈服函数取为

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎪⎬⎫

=−−−

+−=

∫'

'32)(000.0200sin 3cos 32sin 3sin 2'pM

pM pM

01

.0pM M 2M ij ij D

D kk c J f δεδεεεϕϕσϕϕ (47)

粘聚力c 取100 000 kPa ，内摩擦角ϕ取25°。计算结果如图2～4所示。图2为用弹塑性力学增量理论求得的不考虑损伤的单轴弹塑性应力–应变

应变

图2 单轴应力–应变曲线

Fig.2 Stress-stain curve of uniaxial experiment

应变

图3 三轴应力–应变曲线

Fig.3 Stress-stain curves under triaxial experiment without

damage

应力/M P a

应力/M P a

第24卷 增2 韦立德等. 考虑塑性变形的岩石损伤本构模型初步研究 • 5603 •

应变

图4 损伤演化曲线 Fig.4 Curve of damage evolution

曲线和用本文模型计算得到的不考虑损伤的单轴弹塑性应力–应变曲线，它们重合说明本文模型在不考虑损伤时和一般的弹塑性本构模型是一致的。 图3，4所示为以上围压的本文模型的三轴曲线。岩石材料有一定程度的硬化特性(曲线最高点以前附近)和软化特性(曲线最高点以后)，图4理论曲线能够反映岩石材料一定程度的硬化特性和软化特性。

7 自由比能函数的比较

在式(22)中令00=α，00=β，V K = 0，0r =A ，)(M F θ→ΔG = 0，并把S L 看成弹性常数，则本文建议

的自由比能函数和Ju 建议的自由比能函数是一致的，这相当于本文是多考虑了材料含有损伤的细观力学过程、损伤的自由比能、损伤和基质材料组成上的差异，因此本文的自由比能函数是Ju 建议的自由比能函数的深化。而本文的损伤屈服函数是孙庆平提出的塑性屈服函数的延伸，只是这里考虑到了损伤硬化过程材料变异引起的化学自由比能和表面能变化，相对于损伤过程引起的化学自由比能和表面能变化太小而忽略不计，这里还包含着塑性硬化发生的能量损耗可以采用损伤变量表达的假设[10]

。

Ju 建议的自由比能函数如下：

)1)((1e 0D f f −=ηε， (48)

式中：1η为塑性硬化的内变量。

8 结 论

本文的主要工作是，在连续介质损伤力学框架内利用细观力学的非线性Eshelby 等效夹杂方法建立了考虑损伤和无损岩石塑性变形的Helmholtz 自由比能函数，并用连续损伤介质力学方法推导出了

考虑损伤和无损岩石塑性变形耦合的岩石弹塑性损伤本构关系，给出了损伤演化方程和塑性应变发展

方程，该模型还能够反映岩石损伤部分不能承受拉应力等力学特性。图线表明该模型能够反映岩石材

料一定程度的硬化力学特性和软化力学特性。 参考文献(References)：

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D