人教版八年级数学上册第十一章三角形知识点 整理(完整版)

人教版八年级数学上册知识点整理（完整版）

第十一章  三角形

一、三角形的有关概念

（一）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

（二）基本元素

1、三个顶点：点A、点B、点C

2、三个内角：∠A、∠B、∠C

3、三条边

（1）表示方法

①线段AB、AC、BC

②a（∠A所对的边BC用a表示）、b、c

（2）三角形的三边关系（依据：两点之间线段最短）

①三角形两边之和大于第三边，数学语言：；

②三角形两边之差小于第三边，数学语言：

③判断三条线段能否组成三角形，只需判断“两条较短的线段之和大于第三条”即可。

4、三角形的表示方法：顶点是A、B、C的三角形，记作∆ABC，读作“三角形ABC”。

（三）三角形的稳定性：三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了。

二、三角形的分类

（一）按边分类

1、三边都不相等的三角形

2、等腰三角形

（1）概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

（2）等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。

（二）按角分类

1、锐角三角形：三个内角都是锐角。

2、直角三角形：有一个内角是直角的三角形。

3、钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。

三、与三角形有关的线段

（一）三角形的高

1、定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高。

2、三角形高的画法

从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，记作AD⊥BC于点D。

3、几何语言

（1）AD是三角形的边BC上的高。

（2）AD⊥BC于点D。

4、三角形三条高的位置

（1）锐角三角形：三条高及其交点都在三角形内部。

（2）直角三角形：有两条高与两条直角边重合，斜边上的高在三角形内部，三条高交于三角形的直角顶点。

（3）钝角三角形：有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部。三条高所在直线交于三角形外一点。

（二）三角形的中线

1、定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线。

2、三角形中线的画法

连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。

3、几何语言

（1）AD是△ABC的边BC上的中线。

（2）点D是边BC的中点。

（3）BD=CD=BC。

4、三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心一定在三角形内。

5、重要推论（AD是△ABC的边BC上的中线）

（1），三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）。

（2）三角形任意一边的中线把三角形分割成的两个小三角形周长的差。

（三）三角形的角平分线

1、定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

2、几何语言

（1）AD是△ABC的角平分线，

（2）AD平分∠BAC，交BC于点D，

（3）∠BAD=∠CAD=  ∠BAC.

2、三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点。

四、与三角形有关的角

（一）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。

（二）三角形内角和定理的证明：利用平行线的性质。

（二）三角形的外角

1、定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如∠CBD是△ABC的外角。

2、三角形的每个顶点处都有且只有2个外角，这两个外角互为对顶角，三角形共有6个外角。

3、三角形内角和定理的推论（三角形外角的性质）：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

4、三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和。

如图所示，∠FCA+∠DAB+∠EBC=360°

定理：三角形的外角和为360°。

5、三角形（多边形）的每一个顶点处都有且只有两个外角，这两个外角是对顶角，一个三角形共有六个外角。

（三）直角三角形的性质和判定

1、表示方法：直角三角形可以用符号"Rt△"表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。

2、判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。

3、性质：直角三角形的两个锐角互余。

五、多边形及其内角和

（一）多边形的相关概念

1、多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，如果一个多边形由n（n是不小于3的任意整数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。

2、正多边形∶各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

3、基本元素

（1）边：组成多边形的各条线段。

（2）顶点：相邻两条边的公共端点。

（3）内角：多边形相邻两边组成的角。

（4）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。

（5）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。

3、多边形的分类（本节只讨论凸多边形）

定义：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形. 反之，称为凹多边形，本节只讨论凸多边形。

凸多边形	凹多边形

4、多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n-2）×180°。

（1）推理过程：从n边形的一个顶点引出（n一3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为（n-2）×180°。

（2）推论

①n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°。

②任意多边形的内角和均为180°的整数倍。

5、多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°。

推理过程：多边形的每个内角与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加上外角和为n×180°，所以多边形的外角和等于n×180°-（n-2)×180°=360°。