2014年高考数学试题湖南卷(理科)及答案详解word版

数学(理工农医类)

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时间120分钟,满分150分.

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.满足为虚数单位)的复数(    )

A．       B．      C．      D．

2.对一个容量为的总体抽取容量为的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是则(    )

A．  B．   C．   D．

3.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则(    )

A．－3     B．－1           C．1         D．3

4.的展开式中的系数是(    )

A．－20     B．－5         C．5        D．20

5.已知命题若,则,命题若,则.在命题:①②

③④中,真命题是(    )

A．①③            B．①④

C．②③            D．②④

6.执行如图右所示的程序框图,如果输入的,则输出的属于(    )

A.          B．

C．          D．

7.一块石材表示的几何体的三视图如图右所示,将该石材切削、

打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于(    )

A．1                B．2

C．3                D．4

8.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为,第二年的增长率为,则该市这两

年生产总值的年平均增长率为(    )

A．    B．    C．   D． 

9.已知函数且,则函数的图象的一条对称轴是(    )

A．      B．      C．     D．

10.已知函数与的图象上存在关于轴对称

的点,则的取值范围是(    )

A．   B．     C．    D．

二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.

(一)选做题(请考生在第11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)

11.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线与曲线为参数)交于

两点,且,以坐标原点为极点,

轴正半轴为极轴建立极坐标系,则

直线 的极坐标方程是         .

12.如图右,已知是的两条弦,,

则的半径等于         .

13.若关于的不等式的解集为,则         .

(二)必做题(14-16题)

14.若变量满足约束条件,且的最小值为－6,

则         .

15.如图右,正方形和正方形的边长分别为,

原点为的中点,抛物线经过两点,

则         .

16.在平面直角坐标系中,为原点,,动点满足,则

的最大值是         .

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲、乙两组的研发相互.

(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;

(Ⅱ)若新产品研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品研发成功,预计企业可获

利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.

18.(本小题满分12分)

如图右,在平面四边形中,.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若求的长.

19.(本小题满分12分)

如图,四棱柱的所有棱长都相等,

四边形和四边形

均为矩形.

(Ⅰ)证明:底面;

(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.

20.(本小题满分13分)

已知数列满足

(Ⅰ)若是递增数列,且成等差数列,求的值;

(Ⅱ)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式.

21.(本小题满分13分)

如图右,为坐标原点,椭圆

的左、右焦点分别为,离心率为;

双曲线的左、右焦点分别为,

离心率为.已知

且

(Ⅰ)求的方程;

(Ⅱ)过作的不垂直于轴的弦为

的中点.当直线与交于两点时,

求四边形面积的最小值.

22.(本小题满分13分)

已知常数,函数

(Ⅰ)讨论在区间上的单调性;

(Ⅱ)若存在两个极值点且求的取值范围.

参

一.选择题

1【解】选B.由,即选B.

2【解】选D. 根据随机抽样的原理可得简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即,故选D.

3【解】选C.由函数奇偶性,联想转

化:.

4【解】选A.二项式的通项为,

令时,,故选A. 

5【解】选C.显然真假,所以可知复合命题①、③正确,选C.

6【解】选D. 由程序框图可知

①当时,运行程序如下,;

②当时,则;

综上①②可知,故选D.

7【解】选B.由三视图可得该几何体为三棱柱(倒置:长为12、

宽为6的矩形侧面与地面接触).易知不存在球与该三棱

柱的上、下底面及三个侧面同时相切,故最大的球是与其

三个侧面同时相切,所以最大球的半径为上(下)底面直角

三角形内切圆的半径,则,故选B.

8【解】选D.设两年的年平均增长率为,

则有,故选D.

9【解】选A.由得,,即,

  可化为,即,可得,

  也所以,经检验可知A选项符合.

10【解】选B.依题意在曲线取一点,则在曲线上存在一点与之对应(关于轴对称),所以在上有解,

  即,也即在上

有解,由于分别为上增函数、

减函数,于是结合图象易知,方程在上

有解的充要条件为,即,选B.

二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.

11【解】填.依题意曲线的普通方程为,

设直线的方程为,因为弦长,所以圆心到直线的距离,

所以圆心在直线上,故.

12【解】填.设,易知,

中由勾股定理可得,连接,则有

 . 

13【解】填  -3  .由题可得,故填.

 (二)必做题(14-16题) 

14【解】填  -2  .如右图所示,,且可行域为三角形,

  故当目标函数过点时,有最小值,

  即,即.

15【解】填.由条件可知在抛物线

  上,代入点易得,又代入点得,,即,

  可化为,得,又因为,所以,即为所求.

16【解】填.由知,动点在上,

  设,则,

  其几何意义为上动点与定点间距离的平方,

  如右图所示,由平面几何知,.

三.解答题

17【解】(Ⅰ)记{甲组研发新产品成功},{乙组研发新产品成功}.由题设知

  相互,且,又记事件 “至少有一种新产品研发成功”为,

  则……………6分

(Ⅱ)记该企业可获利润为(万元),则的可能取值有0,100,120,220.

  ;

  故所求的分布列为(如右表所示):

  且.…………………12分

18【解】(Ⅰ)如图右,在中,由余弦定理,得

  ……………5分

(Ⅱ)设,则,

  因为,

  且,所以,

  同理,

  于是,

           ,………………………………………10分

  所以在中,由正弦定理有,

即为所求.………………12分

19【解】(Ⅰ)证明:如图右,因为四边形为矩形,所以

  ,同理,

  因为,所以,而,因此

  底面.

  由题设知,故底面;………………6分

(Ⅱ)解法1 如图右,由(Ⅰ)知底面,

  所以底面,于是.

  又由题设知四边形是菱形,所以,而,

故平面,于是过点作于,连结

则(三垂线定理),故是二面角的平面角.

不妨设,因为,所以,

在中,,而,于是,

  故中,有,

  即二面角的余弦值为.……………………………………………12分

解法2 由题设知四边形是菱形,所以,

  又(Ⅰ)已证底面,从而两

  两垂直,如图右,以为原点,所在直线分

  别分轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.

  不妨设,因为,所以,

  于是相关各点的坐标为,

  易知是平面的一个法向量.设是平面一个法向量,

  则,即 ,令,则,故,

  设二面角的大小为,由图可知为锐角,于是

  ,

  故二面角的余弦值为.……………………………………………12分

20【解】(Ⅰ)因为是递增数列,所以,而,

  因为,又成等差数列,

  所以,因而,解得或,

  当时,,这与是递增数列矛盾.故;………………………………6分

(Ⅱ)由于是递增数列,因而,于是,……①

  而,……②

  由①②知,,即,……③

  因为是递减数列,同理可得,故……④

  由③④即知,,

  所以

         ,

  又当时,也适合上式,故.………………………13分

21【解】(Ⅰ)因为所以,

  得,从而,

于是,即,

故的方程分别为.………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)易知,依题意设,,

  由,得,显然恒成立,

  所以,

  故,于是的中点,

  故直线的斜率为,即直线,即,

  由得,即,

  由双曲线的对称性易,

  由为的中点,显然到直线的距离相等,

  即,所以,

  又因为在直线的两侧,故,

  于是,

  又因为,即,

  故四边形的面积为,

  由,故当时,有最小值2,

综上所述,四边形面积的最小值为2.………………13分

22【解】(Ⅰ)由,()

①当时,;

②当时,由得,(舍去),

  且由于二次函数的图象是开口向上的抛物线,故易知:

  当时,,当时,,

综上所述,当时,在区间上单调递增;

  当时,在区间上递减,在区间上递增.……6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以

①当时,,此时不存在极值点.

②当时,的两根为,

  依题意是定义域上的两个极值点,故必有,

  解得,结合二次函数的图象可知,

  当时,分别是的极小值、极大值点.且.

  而,

  令,则,

  于是,即在上递减,所以

①当时,,与的题意矛盾,舍去;

②当时,,符合题意.

综上可知,要使则必须有,即为所求.……13分