高考数学培优资料--第10讲 柱锥台球的表面积和体积

¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题.

¤知识要点：

【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.

解：设圆台的母线长为，则

圆台的上底面面积为，

圆台的上底面面积为，

所以圆台的底面面积为.

又圆台的侧面积，

于是，即为所求.

【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.

解：由三视图知正三棱柱的高为2mm.

    由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为.

    设底面边长为a，则， ∴.

    ∴正三棱柱的表面积为

.

【例3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到0.01 m2） 

解：上部分圆锥体的母线长为， 

其侧面积为.

下部分圆柱体的侧面积为.

所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为

（m2）.

点评：正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算，还是体积计算.

【例4】有一根长为10 cm，底面半径是0.5 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01 cm）

解：如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD.

由题意知，BC=10 cm, , 点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度. 

∴.

    所以，铁丝的最短长度约为27.05 cm. 

点评：此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.

第5练  §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积

※基础达标

1．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（    ）.

    A. 8         B.          C.           D. 

2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ）.  

    A. 7            B. 6            C. 5              D. 3

3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（    ）.

    A.        B.        C.            D. 

4．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，棱柱的对角线长分别是9cm和15cm，高是5cm，则这个直棱柱的侧面积是（     ）.

    A.  160 cm2     B. 320 cm2    C. cm2     D. cm2

5．（04年湖北卷.文6）四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是（      ）.

    A．       B．    C．    D． 

6．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，分别是两底面的直径，是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是        （结果保留根式）． 

7．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为          . 

※能力提高

8．六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是8 cm和18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为13 cm，求它的表面积. 

9．一个圆锥的底面半径为R，高为H，在这个圆锥内部有一个高为x的内接圆柱. 当x为何值时，圆柱的表面积最大？最大值是多少？

※探究创新

10. 现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm，底面的长是25cm，宽是20cm．设水箱里盛有深为cm的水，若往水箱里放入棱长为10cm的立方体铁块，试求水深.

第6讲  §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积

¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.

¤知识要点：1. 体积公式：

  .

¤例题精讲：

【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是    .

解：设长方体的长宽高分别为，则，

三式相乘得.

所以，长方体的体积为6.

【例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域. 

解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为.

在中，,  

所以, 于是.

依题意函数的定义域为.

【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为　 　　.

解：容器中水的体积为.

流出水的体积为，如图，.

设圆柱的母线与水平面所成的角为α，则，解得.

所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60°.

点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱. 从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角.

【例4】在边长为a的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积. 

     解：剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的. 设扇形半径为x，圆半径为r，则

        ， ∴ x=4r ，.

又 AB=，  ∴，解得.

圆锥的高，

∴.

点评：求已知的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关量间的关系. 搞清平面图形上的哪些量在旋转体中不变，哪些发生了变化. 

第6练  §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积

※基础达标

1．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为和，则（    ）.

    A.    B.    C.    D. 

2．三棱锥V—ABC的底面ABC的面积为12，顶点V到底面ABC的距离为3，侧面VAB的面积为9，则点C到侧面VAB的距离为（    ）.

    A. 3    B.  4   C. 5    D. 6

3．若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（    ）.

    A.    B.        C.        D. 

4．矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边a、b旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为（    ）. 

    A.      B.      C.     D. 

5．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（    ）.

    A．       B .     C.       D . 

6．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_____.

7．（04年广东卷.15）由图(1)有面积关系:

则由(2) 有体积关系: 

※能力提高

8．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L，假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm，求它的深度为多少cm？ 

9．用上口直径为34cm、底面直径为24cm、深为35cm的水桶盛得的雨水正好为桶深的，问此次降雨量为多少？（精确到0.1mm）（注：降雨量指单位面积的水平面上降下雨水的深度）

※探究创新

10．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m. 养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐. 现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m（高不变）；二是高度增加4 m (底面直径不变).

（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；

（3）哪个方案更经济些？

第7讲  §1.3.2球的体积和表面积

¤学习目标：了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.

¤知识要点：

1. 表面积：  （R：球的半径）.    2. 体积：.

¤例题精讲：

【例1】有一种空心钢球，质量为，测得外径等于，求它的内径（钢的密度为，精确到）．

解：设空心球内径(直径)为，则钢球质量为

，

∴， ∴，

∴直径，即空心钢球的内径约为.

【例2】表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积.

解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，，，

又∵，∴，∴，∴，

∴.

【例3】（04年辽宁卷.10）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（   ）.

A．    B．    C．    D． 

【解】由已知可得，A、B、C、D在球的一个小圆上.

∵ AB=BC=CD=DA=3，   ∴ 四边形为正方形.  ∴ 小圆半径. 

 由得，解得.

∴ 球的体积.  所以选A.

点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质，体积和表面积公式.

【例4】推导球的表面积公式.

解：设球的半径为，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积.

以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径近似地等于小棱锥的高.

因此，第个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积为：

，

又∵，且， ∴可得.

又 ∵，∴，  ∴即为球的表面积公式

点评：我们也可以类似以上极限分割，利用球的表面积公式推导球的体积公式. 若把半球中垂直于底面的半径作等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”，这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积. 由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积，从而把半球的体积化归为无限个圆柱的体积之和. 探究的关键都是先极限分割，然后求和.

第7练  §1.3.2球的体积和表面积

※基础达标

1．正方体的内切球和外接球的半径之比为（　  ）.

    A.         B.        C.        D. 

2．设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（    ）.

    A.        B.        C.          D. 

3．已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如下图所示，则（　　）.

    A. 以上四个图形都是正确的 　      B. 只有(2)(4)是正确的

    C. 只有(4)是错误的 　              D. 只有(1)(2)是正确的

4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（    ）.

    A.          B.          C.          D.  都不对

5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（    ）.

    A.            B.              C.           D. 

6．若三个球的表面积之比是，则它们的体积之比是       .

7． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则这个球的表面积为       ，体积为        . 

※能力提高

8．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积.

9．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积.

※探究创新

10．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的. 祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵. 利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体.

试用祖暅原理推导球的体积公式.

第8讲  第一章 空间几何体 复习

¤学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.

¤例题精讲：

【例1】（06年四川卷）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是

   A.      B.     C.       D. 

解：如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，

所以，解得R=2，

则球的表面积是，选D.

【例2】如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. 

解：由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成：

圆台下底面、侧面和一半球面. 

       S半球=8π ， S圆台侧=35π ，S圆台底=25π.

 故所求几何体的表面积为68π .

由，

.

所以，旋转体的体积为.

【例3】如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱= 8. 若水平放置时，液面恰好过的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为多少？

解：当水平放置时，纵截面中水液面积占，

所以水液体积与三棱柱体积比为. 

当底面ABC水平放置时，液面高度为.

点评：容器中水的体积不会减少，无论是竖着还是横着，正是由于这种等积思想，才能寻找到不用计算体积，而通过体积比进而化为高度比. 我们可以练习这样一个题：三棱锥V—ABC的底面ABC的面积为12，顶点V到底面ABC的距离为3，侧面VAB的面积为9，则点C到侧面VAB的距离为     .（答案：4）

【例4】如图是一个奖杯的三视图. 求这个奖杯的体积. （精确到0.01 cm3）

解：由三视图可以得到奖杯的结构，底座是一个正四棱台，杯身是一个长方体，顶部是球体.

由

     所以，这个奖杯的体积为.

点评：由三视图研究几何体的表面积和体积，需先发挥空间想象力，按正视图、侧视图、俯视图顺序，逐步构造出几何体形状，分析清楚组合体的结构特征，按相应表面积或体积公式进行计算.

第8练  第一章 空间几何体 复习

※基础达标

1．（06年福建卷）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（    ）.

        A.　　　　B.　　　　C.　　　　D..

2．（06年全国卷II）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（    ）.

        A.          B.           C.          D.  

3．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的表面积及体积为（    ）.

        A. 24πcm2，12πcm3          B. 15πcm2，12πcm3

        C. 24πcm2，36πcm3               D. 以上都不正确

4．（04年广东卷.7）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（    ）.

        A.        B.        C.       D. 

5．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（    ）. 

6． 一个边长为2cm的正三角形绕它的边旋转一周，所得旋转体的表面积为       ，体积为       . 

7．关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法：① 原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y’轴，长度变为原来的；② 画与直角坐标系xoy对应的x’o’y’时，∠x’o’y’必须是45°；③ 在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；④ 等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；⑤ 梯形的直观图仍然是梯形；⑥ 正三角形的直观图一定为等腰三角形.

其中说法正确的序号依次是             .

※能力提高

8．设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字） 

9．已知一个几何体的三视图如右，试求它的表面积和体积.（单位：cm）

※探究创新

10．（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），要求用其中一块剪拼成正三棱锥模型, 另一块剪拼成正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等. 请设计一个剪拼方法, 分别用虚线标示在图1、图2中, 并作简要说明；

（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；

（3） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3）, 要求剪拼成一个直三棱柱模型, 使它的全面积与给出的三角形的面积相等, 请设计一个剪拼方法, 用虚线标示在图3中, 并作简要说明.

1．【2008年宁夏理】 15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　．

2．【2008年宁夏文】  14．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．

三、计算题

1．【2008年宁夏文】  18．（本小题满分12分）

如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．

（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（Ⅲ）在所给直观图中连结，证明：面．

【试题解析】（Ⅰ）如图

（Ⅱ）所求多面体的体积

（Ⅲ）证明：如图，在长方体中，连接，则∥

因为Ｅ，Ｇ分别为中点，所以∥，从而∥，又

所以∥平面ＥＦＧ；

【高考考点】长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识

【易错点】：对三视图的相关知识掌握不到位，求不出有关数据。

【学科网备考提示】：三视图是新教材中的新内容，故应该是新高考的热点之一，要予以足够的重视。

2．【2007广东文】17．（本小题满分12分）

    已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

  （1）求该几何体的体积V；

  （2）求该几何体的侧面积S。

【解析】 本小题只要考查三视图、几何体体积、等腰三角形性质、三角形面积等基础知识，以及空间想象能力、运算求解能力

由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长为、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为8，高为的等腰三角形，如解答图1。

（1）几何体的体积为。

（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：。

左、右侧面的底边上的高为：。

故几何体的侧面面积为：．