考研数学模拟试卷(数学二)(附答案,详解)

一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）

1.设在内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（  ）. 

（A）（B）（C）（D）

2.设 则是的（  ）. 

（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点

3.若函数与在内可导，且，则必有（  ）.

（A） （B）

（C） （D）

4.设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（  ）.

（A）连续的奇函数 （B）连续的偶函数

（C）在间断的奇函数 （D）在间断的偶函数.

5.函数不可导点有（  ）.

（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个.

6.若，在内，，则在内 有（  ）.

（A）， （B），

（C）， （D），

7. 设为4阶实对称矩阵，且.若的秩为3，则相似于（  ）.

(A)  (B) (C) (D) 

8.设3阶方阵的特征值是，它们所对应的特征向量依次为，令，则（  ）.

（A）（B）（C）（D）

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）

9. 设二阶可导，，则     .

10.微分方程的通解为     . 

11.曲线的水平渐近线为     .

12. 设是连续函数，且，则          .

13.若，则     ，     .

14.设为阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组的通解为     .

三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. （本题满分10分）求极限.

16. （本题满分10分）设在上连续，且.求.

17. （本题满分10分）设，证明：.

18. （本题满分10分）求微分方程的通解.

19. （本题满分10分）设区域，计算二重积分.

20. （本题满分11分）

设，计算.

21.（本题满分11分）

求由曲线和直线所围成平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积.

22. （本题满分11分）

已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解.

（1）证明：方程组系数矩阵的秩；

（2）求的值以及方程组的通解.

23. （本题满分11分）

设为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且．

(I) 求的特征值与特征向量；

(II) 求矩阵．

数学基础阶段测试答案解析（数学二）

一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）

1.设在内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（  ）. 

（A）（B）（C）（D）

解析：选择（B）. 与都为奇函数，则为偶函数，由积分的性质可得为奇函数.举例可得（A）为偶函数，（C）为偶函数，（D）为偶函数.故（A）（C）（D）错误.

2.设 则是的（  ）. 

（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点

解析：选择（B）. ，.因此是的跳跃间断点.

3.若函数与在内可导，且，则必有（  ）.

（A） （B）

（C） （D）

解析：选择（C）. 函数与在内可导，则函数与在内连续，因此，，而，故.

4.设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（  ）.

（A）连续的奇函数 （B）连续的偶函数

（C）在间断的奇函数 （D）在间断的偶函数

解析：选择（B）. 只有有限个第一类间断点，因此可积，由变上限积分函数的性质可知，若可积，则连续. 是奇函数可得是偶函数.因此是连续的偶函数.

5.函数不可导点有（  ）.

（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个.

解析：选择（B）.由按照定义求导法则可知，在不可导，在一阶可导.因此，的不可导点，关键在于因子分解并考察的点，.于是可知，在处不可导，而在处是可导的.故不可导点的个数是2. 故选（B）.

6.若（），在内，，则在内有（  ）.

（A）， （B），

（C）， （D），

解析：选择（C）. 由得在上为偶函数，则为奇函数，为偶函数.根据奇偶函数的性质可得（C）正确.

7. 设为4阶实对称矩阵，且.若的秩为3，则相似于（  ）.

(A) (B)  (C) (D) 

解析：选择（D）.由可得矩阵的特征值满足，从而或.由为4阶实对称矩阵，得可以相似对角化， 的秩为3得有三个非零特征值，即的特征值为,,,.

8.设3阶方阵的特征值是，它们所对应的特征向量依次为，令，则（  ）.

（A）（B）（C）（D）

解析：选择（B）.由题意可得

.于是.

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）

9. 设二阶可导，，则     .

解析：应填1..

解析：应填.此方程为一阶线性非齐次微分方程.于是得

  .

11.曲线的水平渐近线为       .

解析：应填.，故曲线的水平渐近线为.

12. 设是连续函数，且，则          .

解析：应填.设.在两边积分得，即，得.于是.

13.若，则     ，     .

解析：应填1，-4.，分子趋于零得分母也趋于零，于是可知.

，得.

14.设为阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组的通解为     .

解析： 应填.由的伴随矩阵的元素全为1得，的秩为1，可得的秩为，于是的基础解系中只有一个向量. 由的秩为可得，，于是.可得的每一列即为方程组的解，因此方程组有非零解，故的通解为.

三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. （本题满分10分）求极限.

解：原式.

令，则原式.

16. （本题满分10分）设在上连续，且.求.

解：设，则.于是

.等式两边对求导可得，.即为

.

17. （本题满分10分）设，证明：.

证明：设，.，即在上为偶函数，因此只需要证明在时，.

.

当时，，，因此有，得.

得当时，单调递增.

因此当时，，即

.

18. （本题满分10分）求微分方程的通解.

解：对应齐次方程的特征方程为,解得特征根,所以对应齐次方程的通解为．

设原方程的一个特解为,则

,,

代入原方程,解得,故特解为．

故方程的通解为．

19. （本题满分10分）设区域，计算二重积分.

解：积分区域对称于轴，为的奇函数，从而知

所以 .

20. （本题满分11分）

设，计算.

解：累次积分交换积分次序

.

21.（本题满分11分）

求由曲线和直线所围成平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积.

解：

22. （本题满分11分）

已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解.

（1）证明：方程组系数矩阵的秩；

（2）求的值以及方程组的通解.

解：（1）系数矩阵未知量的个数为，且又有三个线性无关解，设是方程组的3个线性无关的解, 则是的两个线性无关的解. 因为线性无关又是齐次方程的解，于是的基础解系中解的个数不少于2, 得, 从而.

又因为的行向量是两两线性无关的, 所以. 所以.

（2）由（1）得，因此中所有三阶子式全为零，可得，，分别计算出，.

所以作初等行变换后化为，它的同解方程组                                  

令求出的一个特解；

的同解方程组是，取代入得；取 代入得. 所以的基础解系为，.

所以方程组的通解为：，为任意常数.

23. （本题满分11分）

设为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且．

(I) 求的特征值与特征向量；

(II) 求矩阵．

解：(I) 由于，设，则

，即，而，知的特征值为，对应的特征向量分别为，．

由于，故，所以．

由于是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设对应的特征向量为，则即解此方程组，得，故对应的特征向量为．

(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：

．

令，则，

 ．