基本不等式-高考文科数学专题练习

一、填空题

1．已知0解析：∵0∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3[]2＝，

此时x＝1－x，∴x＝.

答案：

2．已知x，y为正数，则＋的最大值为________．

解析：依题意，得

＋＝

＝

＝＋

＝＋·

＝＋·≤＋×

＝＋＝，

当且仅当x＝y时取等号．

答案：

3．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是________．

解析：＋＋2≥2＋2≥4，

当且仅当a＝b＝1时取“＝”．

答案：4

4．不等式4x＋a·2x＋1≥0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是________．

解析：由题可得a≥－－2x恒成立，由基本不等式可知－－2x≤－2，所以a≥－2.

答案：[－2，＋∞)

5．当x2－2x<8时，函数y＝的最小值是________．

解析：由x2－2x<8，得－2y＝＝＝t＋－5

≥2－5＝－3.当且仅当t＝1时取“＝”．

答案：－3

6．x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，的最小值是________．

解析：由x－2y＋3z＝0，得y＝，将其代入，得≥＝3，

当且仅当x＝3z时取“＝”．

答案：3

7．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于________．

解析：由＋＋≥0得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.

答案：－4

8．已知m、n、s、t∈R＋，m＋n＝2，＋＝9，其中m、n是常数，且s＋t的最小值是，满足条件的点(m，n)是圆(x－2)2＋(y－2)2＝4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为________．

解析：因(s＋t)(＋)＝m＋n＋＋≥m＋n＋2，

所以m＋n＋2＝4，

从而mn＝1，得m＝n＝1，即点( 1,1)，

而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为－1，

从而此弦的方程为x＋y－2＝0.

答案：x＋y－2＝0

9．从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．

解析：设两个正方形边长分别为a，b，则由题意可得a＋b＝1，且≤a，b≤，S＝a2＋b2≥2×()2＝，当且仅当a＝b＝时取等号．

答案：

二、解答题

10．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)．

(1)求xy的最小值；

(2)求x＋y的最小值．

解析：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，得

(1)∵x>0，y>0，

∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，∴3xy－2－1≥0，

即3()2－2－1≥0，

∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1，

当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.

(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·()2，

∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，

∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，

当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.

11．在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(2sin (A＋C)，)，n＝(cos 2B，2cos2－1)，且向量m、n共线．

(1)求角B的大小；

(2)如果b＝1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．

解析：(1)∵m∥n，

∴2sin (A＋C)(2cos2－1)－cos 2B＝0.

又∵A＋C＝π－B，

∴2sin Bcos B＝cos 2B，即sin 2B＝cos 2B.

∴tan 2B＝，又∵△ABC是锐角三角形，∴0∴0＜2B＜π，∴2B＝，故B＝.

(2)由(1)知：B＝，且b＝1，由余弦定理得

b2＝a2＋c2－2accos B，即a2＋c2－ac＝1.

∴1＋ac＝a2＋c2≥2ac，即(2－)ac≤1，

∴ac≤＝2＋，当且仅当a＝c＝时，等号成立．

∴S△ABC＝acsin B＝ac≤.

∴△ABC的面积最大值为.

12．为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①保护罩的容积大于0.5立方米，罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体的费用为1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．

(1)求博物馆支付的总费用y(单位：千元)与保护罩的容积V(单位：立方米)之间的函数关系式；

(2)求博物馆支付的总费用y(单位：千元)的最小值；

(3)如果要求保护罩为正四棱柱形状，且保护罩的底面(不计厚度)正方形的边长不得少于1. 1米，高规定为2米．

当博物馆需支付的总费用不超过8千元时，求保护罩的底面积的最小值(可能用到的数据：≈2.87，结果保留一位小数)．

解析：(1)依据题意，当保护罩的容积等于V时，需支付的保险费用为(其中k为比例系数，k>0)，

且当V＝2时，＝8，所以k＝16，

所以y＝1·(V－0.5)＋＝V＋－0.5(V>0.5)．

(2)y＝V＋－0.5≥7.5，

并且仅当V＝，即V＝4时等号成立，

所以，博物馆支付的总费用的最小值为7.5千元．

(3)设S(单位：平方米)为底面正方形的面积，由题意得不等式：V＋－0.5≤8，V＝2S，

代入整理得4S2－17S＋16≤0，

解得1.41≈≤S≤≈2.84.

又底面正方形的面积最小不得少于1.1×1.1＝1.21，所以，保护罩的底面积的最小值是1.4平方米．