数学破题36计(17-20)

●计名释义

整数乘法有口诀：2×3=6，5×7=35.这就是整数乘法的法则.分数乘法无口诀，那么分数在怎样作乘法呢？，原来是在进行“转化”，变成了分子分母上的整数乘法. 

化归思想，连小学生都在用，有一老师问学生：前100个偶数的和为多少？一学生回答：10100. 

老师问怎么来的？学生回答：由前100个自然数的和来的： 

2+4+…+200=2×（1+2+…+100）=2×5050=10100. 

这就是数学解题中的“化归法”，复杂向简单化归，陌生向熟悉化归，未知向已知化归。

●典例示范(来源http://url.cn/0AShZy)

【例1】   已知数列{an}中，a1=1，an+1 =2an+1.求数列的通项公式及前n项和Sn. 

【分析】   这个数列既不是等差数列也不是等比数列，但又看到其中既含等差数列又含等比数列：比如把递推式中的常数1去掉，则变成等比数列，把系数2换成1则变成等差数列.为此，破题工作在化归上寻找入口：向等比（等差）数列转换. 

【解答】   在递推式an+1=2an+1两边加1，化为(an+1+1)=2(an+1)，数列{an+1}为等比数列，公比q=2. 所以an+1=2n-1 (a1+1)，即an=2n-1，且Sn=2n-n-1. 

【插语】   本数列的一般形式为：an+1=kan+b(k≠0、1，b≠0)，有人称其为“等差比数列”.等差、等比数列都是它的特例，分别是k=1，或b=0时的特殊情况.用换元法化归为等比数列的“常数匹配”可用待定系数法求得： 

设an+1+c=k(an+c)=kan+kcan+1=kan+kc-ckc-c=b，c=

对于上题，b=1，k=2，因此解得c=1. 

【点评】   化归开门体现在本题中：把我们不熟悉的“等差比数列”化归到我们熟悉的等比数列来解.化归采用的办法是换元，实际上是an+1+c=bn+1=kbn. 

说来也很滑稽，对中学生来讲，不向“等比（等差）”化归，还有什么别的出路呢？  

【例2】   已知三条抛物线y=x2+4ax-4a+3，y=x2+(a-1)x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一条抛物线与x轴有交点，求实数a的取值范围. 

【解答】   解答本题如果从正面入手，将要分有一条抛物线、两条抛物线、三条抛物线与x轴有交点的三类七种情况加以讨论，过程十分繁琐.但是如果转化为从反面思考，即考虑三条抛物线都不与x轴相交，则只要解下列不等式组：

所以使得原命题成立的实数a的取值范围是a≤

【点评】   很多的数学问题,如果直接从正面入手求解,难度较大,致使解题思路受阻,但如果转化为考虑问题的反面，则往往可以将问题轻松解决.数学解题中的反证法、补集法等体现的就是这种思想.  

【例3】   已知a，b，c均为正整数，且a2+b2+c2+48<4a+6b+12c，求的值.【解答】   因为原不等式两边均为正整数，所以不等式a2+b2+c2+48<4a+6b+12c与不等式a2+b2+c2+48+1≤4a+6b+12c等价，这个等价不等式又可化为 (a-2)2+(b-3)2+(c-6)2+(c-6)2≤0, 故

【点评】   将等式与不等式对应转化，是转化数学问题常用的、有效的手段.  

●对应训练 

1.空间两条异面直线a，b所成的角为，过不在a,b上的任意一点P作一条直线c，使直线c与直线a,b成相等的角θ，则θ的取值范围为                            (      ) 

 A.θ∈Φ                            B.θ∈{} 

 C.θ∈［，]                      D.θ∈［，］ 

2.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则等于                                             （      ） 

 A.2a            B.               C.4a              D. 

3.函数f (x)满足:对任意实数x,y都有f (x)+f (y)=，且当x<0时，都有f (x)>0.

求证：

●参 

1.解析   若在三维空间考虑该问题，

就显得千头万绪. 如右图所示，

过直线b上任意一点A作直线

a′∥a，a′与b确定平面a，

把点P移动到A点，问题便转化

为过A点作一条直线c′与直线a′，b

所成的角均为θ，求θ的取值范围. 

易知当直线c′在平面a内时，                           第1题解图

直线c′与a′，b所成的角最小为，当c′⊥a时，直线c′与a′，b所成的角最大为，故选 D . 

2.解析   一般解法是先求出焦点F坐标为（0，)，然后由直线PQ的方程与抛物线的方程联立，求出p，q的值,运算过程繁杂，容易出错. 

若把一般性的PQ的直线方程转化为特殊性的方程，即取PQ与x轴平行的方程y=，很快就能选出正确答案C.应当看到相当多的一类选择题与填空题,或者可赋予变量的特殊值,或者可从符合一般条件的特殊点中求得正确的答案,这种从一般到特殊的转化常常能收到事半功倍的效果. 

3.证明   易证f (x)为奇函数,且当x>0时都有f (x)<0.先从 入手，向题设条件转化: 

由于 

故有=

再整体处理不等式左端数列的和有 

依题意，恒有，则

故原不等式成立. 

点评   本题融函数、数列、不等式为一体，正确解答本题的关键是注意整体和式与局部数列的通项的转化.  

第18计  转换开门 亦必亦充 

●计名释义

转换是化归的实施.化归重在理念，转换重在操作. 

转换是寻找“替身”，由彼及此，“彼”得对“此”全盘负责.因此，转换前面经常冠以“等价”二字，即“等价转换”. 

从“条件”的角度看问题，转换是在寻找解决问题的充要条件，而化归有时在寻找解决问题的充分条件，甚至是探究中的必要条件.  

●典例示范

【例1】   设01.【分析】   n=1时，结果显然.在由k到k+1时，关键在如何利用递推式. 

【解答】   （i)n=1时，a1=1+a>1，命题真; 

(ii)假设n=k时，命题真，即ak>1. 对n=k+1，欲使ak+1>1，只须ak+1= 

【插语】   因为ak>1，所以<1，由递推式ak+1=+a推不出ak+1>1来，因此，问题向何处转化，得另寻对象. 

递推式中，ak出现在分母上，要得到ak+1成立必须找ak的取值范围. 

【续解】   欲使ak+1=+a>1,必须且只须对一切n∈N+, 都有ak< 

【插语】   以下问题转化为用数学归纳法证明1【续解】   （i)n=1,显然有1对于n=k+1，ak+1=+a>(1-a)+a=1.               又ak>1<1+a<0+a. 

因为1-a2<1(1+a)(1-a)<11+a<    所以+a<1+a<，即ak+1<

由（i)(ii)可知，对一切n∈N+，都有1【点评】   证完了吗？证完了.不用证原来的不等式了，因为已经证明原不等式的“等价替身”.  

【例2】   在复平面内，复数对应的点位于            （      ） 

 A.第一           B.第二象限           C.第三象限            D.第四象限 

【解答】   =.这里都是负数，故复数对应的点位于第三象限，选 C . 

【点评】  本解实施由复数向实数的转换.  

【例3】  设f (x)=log3(x+6)的反函数为f -1(x)，若［f -1(m)+6］［f -1(n)+6］=27，  则f(m+n)=               . 

【解答】   由f (x)=log3(x+6)f -1(x)=3x-6. ∴［f -1(m)+6］［f -1(n)+6］=273m·3n=33m+n=3.∴f(m+n)=log3(3+6)=2. 

【点评】  本解实施函数与其反函数之间的互相转换.  

【例4】   定义在R上的函数f (x)的图象关于点（，0）对称，且满足f (x)= -f (x+)，f (1)=1，f (0)=-2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2006)的值为（      ） 

 A.1               B.2                C.3                D.4 

【解答】   由f (x)= -f (x+)f (x+3)= f［(x+）+］=-f (x+)=f (x)知f (x)是最小正周期T=3的周期函数；由f (x)的图象关于点（，0）对称，知（x,y）的对称点是（--x，-y）.也就是若y=f (x)，则必-y=f (--x)，或y=-f (--x). 而已知f (x)=-f (x+)，故f (--x)= f (x+),今以x代x+，得f (-x)= f (x)，故知f (x)又是R上的偶函数.于是有：f (1)=f (-1)=1；f (2)= f (2-3)=f (-1)=1；f (3)= f (0+3)= f (0)=-2;

∴f (1)+f (2)+f (3)=0，以下，这个数列每3项之和为0.   而2006=3×668+2，于是f (2006)=0×668+f (1)+f (2)=2，故选 A . 

【点评】   本解实施的是由繁向简的转换.  

【例5】   对于函数f (x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：①f (x1+x2)= f (x1)·f (x2)；②f (x1· x2) =f (x1)+f (x2)；③>0；④<，当f (x)=lgx时，以上结论中正确结论的序号是                 . 

【解答】   取x1=10，x2=100，  那么lg(10+100)=lg110，而lg10×lg100=2，知①不成立；lg(10×100)=lg1000=3，而lg10+lg100=1+2=3，知②成立；>0显然成立，③正确；lg=lg55=lg，，则④不成立. 

综上，只有②③成立. 

【点评】   本解实施的是虚实转换.使用特殊值使这种转换更为简洁直观.  

●对应训练 

1.函数y=(x≠kπ；k∈Z)的值域是                          (      ) 

 A.［2，+∞）      B.（1，2］      C.（0，4］    D.      ［4，＋∞） 

2.若{an}是等差数列，首项a1>0，a2003+a2004>0，a2003·a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是                                                        (      ) 

 A.4005               B.4006               C.4007               D.4008  

3.设复数z满足=i，则|1+z|=                                        (      ) 

 A.0               B.1               C.               D.2  

4.在棱长为１的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去８个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是                                      (      ) 

 A.               B.               C.               D.  

5.若双曲线2x2-y2=k(k>0)的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k=          (      ) 

 A.1               B.4               C.6               D.8   

●参 

1. D    令u=sin2x，则02. B    ∵a1>0，a2003+a2004>0，a2003·a2004<0，且{an}为等差数列. 

∴{an}表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2003是绝对值最小的正数，a2004 是绝对值最大的负数（第一个负数），且|a2003|>|a2004|, 

∵在等差数列{an}中，a2003+a2004=a1+a4006>0，S4006=>0. 

∴使Sn>0成立的最大自然数n是4006. 

3. C    利用合分比性质，由，解得z=-i，     ∴|1+z|=|1-i|=. 

4. B    设每个三棱锥的体积为V′，则剩下的凸多面体的体积是 

V=1-8，V′=               ∴V=1-8V′=1-×8=

5. C    双曲线为，a2=，b2=k，∴c2=a2+b2=，由条件：c-=2，即=2.  ∴b2=2c，得：k=2·  ∴k2=6k，k>0，∴k=6

第19计  模式开门  请君入瓮 

●计名释义

数码时代就是非数学问题数学化，非数字问题数字化，非函数问题函数化，非方程问题方程化，如此等等. 

如何“化”法呢？这就是数学建模.数学建模是一种能力，把实际问题加工为数学问题的能力. 

数学建模是一种思维形式，对中学生来讲，有以下三种形式. 

第一，现成的模式直接拿来应用；第二，实际问题理想化，从复杂的问题中抓住主要矛盾，使之符合某种现有的模式；第三，对原始问题进行重新建构，“重新”的意思包含：①对原有模型重新组合；②对新问题创建新模式.

●典例示范

【例1】   实数x，y满足x2+(y-1)2=1，则使不等式x+y+c≥0恒成立的实数c的取值范围是                                                         （      ） 

 A .［-1， -1］                 B .［-1，+∞) 

 C .( +1， -1)                   D .(-∞， -1) 

【分析】   容易看出：x2+(y-1)2=1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，而x+y+c≥0表示直线y=-x-c即其上半平面，因而构造解析几何模型，原题转化为：当点（x，y）既在直线y=-x-c上方，又在圆x2+(y-1)2=1上运动时，实数c应满足什么条件？ 

【解答】   如图，斜率为-1的直线

y=-x-c切圆x2+(y-1)2=1于A，B，

交y轴于M，N.连AB，

则AB过圆心C（1，0）.

等腰直角三角形MCB中，∣CB∣=1，

∴∣CM∣=，设M（0，-c），

必-c=1-，得M（0，1-）.

当且仅当-c≤1-时，圆x2+(y-1)2=1                  例1题解图

上的点在直线y=-x-c上或其上方.于是c≥-1，选 B .  

【例2】   正数x，y，z满足方程组，则xy+2yz+3xz的值是      .

【分析】   从题目的条件看，方程组的左边具有余弦定理或勾股定理的形式，而右边正好是一个直角三角形三边之长的平方值.因此考虑构造直角三角形. 

【解答】   将原方程组改写如下： ，

构造如图的直角三角形ABC，使AB=5，

AC=4，BC=3.又在△ABC内取一点P，

使∠APB=150°，∠APC=120°，

∠BPC=90°.显然符合题设条件.

∵S△APB+S△BPC+S△CPA=S△ABC，

而S△APB=x·y·sin150=xy，

S△APC=xz·sin120°=xz，                           例2题解图

S△BPC =z·y=yz，S△ABC=6. ∴xy+xz+yz=6，

∴xy+2yz+3xz=24.  

【例3】   某城市为了改善交通状况，需进行路网改造，已知原有道路a个标段，（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口，n与x满足关系n=ax+b，其中b为常数，设新建一个标段道路的平均造价为k万元；新建一个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ,它与β的关系为μ=. 

(Ⅰ)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式； 

（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5％～10%之间，而新增道路标段为原有道路的标段的

25％，求新建的x个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比p的取值范围. 

(Ⅲ)当b=4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比p最高时，问原有道路标段为多少个？ 

【解答】   （Ⅰ）新建x个标段，则应建n=ax+b个道口，建x个标段需kx万元，建（ax+b）个道口需

y=kβ(ax+b)(万元). 

(Ⅱ)∵μ∈［5%,10%］,

∴0.05≤≤0.1，5≤1+β≤10，即β∈［4,9］, 

又p==. 

∵p>0,β>0，∴>0，当β∈［4,9］时，∈［，］，所求p的范围是： 

. 

(Ⅲ)路网最畅通，则μ最小，即β最大， 

故β=9，又b=4. 

∴p=，当且仅当a=.  a>0，即a=4时，造价比p=为最高. 

∴满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个. 

【点评】   本例属城市规划型应用题，牵涉到的数学知识虽然不变，可是题目牵涉到的新概念如“标段”、“堵塞率”、还有新定义的字母n、β、μ等都会成为解题的拦路虎，所以解这类应用题的基本办法是反复阅读，务求读懂题，读懂一部，做一步，在做中加深理解，从而创造再做的条件，如此反复，必可导致问题的完全解决.  

【例4】   你正受聘向一家公司的生产经理提供合理方案，生产工序的一部分是从一块小半圆的扇形钢板上切割出一块矩形钢板，问你该如何安排切割方案才能使损耗最小? 

【思考】   此题条件太抽象，完全靠自主建立模型，在建立几何模型时要考虑全面半圆扇形分锐角、直角、钝角三种情况，恰当的引入参数角θ将所求量用其表示出来. 

【解答】   设扇形OAB的半径为R，中心角为2α. 

 (1)当中心角小于直角时,如图(1)所示，设∠BOD=θ，

则S□CDEF ＝DE·EF=Rsinθ··［cos2(α-θ)-cos2α］  

当2(α-θ)=0，即θ=α时，S□CDEF有最大值tanα. 

（2)当中心角等于直角时，如图(2)所示，因EF＝OE＝Rcosθ，

则S□CDEO=DE· EF=Rsinθ·Rcosθ=sin2θ，当2θ=即θ==α，S□CDEO有最大值. 

(3)当中心角大于直角时，如图(3)所示，CDEF为扇形的内接矩形，取的中点M，连结OM，则∠BOM=α,∠DEO=π-α，令∠DOM=θ，则矩形面积S=CD·DE=2R·sinθ［cos (2θ-α)-cosα］，当cos(2θ-α)=1. 

即θ=时，Smax= . 

此时，只需将扇形弧四等分，以第一和第三分点的线段为一边作内接矩形CDEF，再沿其周界切开即可.  

                                   例4题解图

●对应训练 

1.已知a2.已知a，b，c，d为实数，求证： 

3.设n是大于1的自然数，求证： 

4.若a，b≠0，且a2+b2=1，求证： 

5.α,β,γ均为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=2，求证：tanαtanβtanγ≤ 

6.某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为5000元，但每生产1台时又需可变成本（即另增加投入）25元，市场对此商品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x- (万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（百台）. 

(1)把利润l表示为产量x的函数L (x); 

(2)年产量为多少时，企业所得利润得大？ 

（3）年产量为多少时，企业才不会亏本？ 

7.在边长为5cm，6cm，7cm的三角形铁皮中，能否剪下一个面积不小于8cm2的圆形铁片?请做出准确回答并证明你的结论  

●参

1．原题即证：a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2<0或a2(b-c)+a(c2-b2)+bc(b-c)<0. 

设f (a)=a2(b-c)+a (c2-b2)+bc (b-c) (a这里b-c<0，且Δ=(b+c)2(b-c)2-4bc(b-c)2=(b-c)4>0.  

∴f (a)的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为x=，而>b>a，函数在上递增， ∴f (a)2 如图所示，在直角坐标系中,

设有A(a,b)，B(c,d)两点，

连接AO，OB，显然

|OA|+|OB|≥|AB|(当A、O、B

共线时等式成立). 

∴

若将点B的坐标改为 (-c,-d)，则有：

.                 第2题解图

3 设, 

即,        则. 

 两式相乘：A2>2n+1，∴A=2. 

即. 

4.在坐标平面内设有两点A(a，b), B，

则|AB|=

设过A的直线l：ax+by-1=0. 

∵a·a+b·b-1=a2+b2-1=0, 

∴点A(a，b)符合条件a2+b2=1. 

作BC⊥l于C，则|AB|≥|BC|

（当直线l⊥AB时等式成立）. 

∵|BC|=                    第4题解图

∴≥3.        即≥9. 

5 如图所示，设长方体的长、宽、高

分别为a，b，c，连接BD1，设∠BD1B1=α,

∠BD1A=β，∠BD1C=γ. 

∵BD1=，B1D1=, 

AD1=, 

CD1=，∴满足

cos2α+cos2β+cos2γ=2，且α,β,γ均为锐角.           第5题解图

于是 tanα·tanβ·tanγ=

 ≤

故 tanα·tanβ·tanγ≤

6.（1）年产量在500台以内（即0≤x≤5），可全部售出；年产量超过500台（即x>5）.只能售出500台，x(百台)的生产成本为C(x)=0.25x+0.5(万元). 

故利润函数L(x)=R(x)-C(x). 

当0≤x≤5时，L(x)=(5x-x2)-(0.25x+0.5)= -x2+4.75x-0.5. 

当x>5时，由于只能售出500台，∴L(x)=(5×5-×52)-(0.5+0.25x)=12-0.25x. 

于是. 

(2)为使利润最大，须求L(x)的最大值，显然x>5时不可取（会造成积压）. 

当0≤x≤5时，∵L′(x)=-x+4.75，命L′(x)=0，得x=4.75，L(x)的图像为开口向下的抛物线，∴当x=4.75时，［L(x)］max= =10.78125(万元)，即年产量为475台时，企业利润最大. 

(3)为使企业不亏本，必须L(x)≥0.显然，0≤x≤5时，应使-x2+4.75x-0.5≥0. 

即2x2-19x+2≤0，解得0.11≤x≤14，综合得：0.11≤x≤5.

x>5时，应使12-0.25x≥0，得5于是，为使企业不亏本，产量应在11台至4800台之间.

 7.可以办到.如图所示，证明如下： 

设△ABC内切圆半径为r，则

S△ABC= (5+6+7)r=9r      ① 

∵cosB= 

∴sinB=

∴S△ABC=·5·6·=6（cm2）      ②             第7题解图

比较①，②：9r=6得r=（cm），于是 S⊙O==8（cm）2.

第20计  讨论开门  防漏防重 

●计名释义 

为什么要讨论？因为对研究的对象不能作统一的结论.既然“统”不了，那就只有“分”. 分就是化整为零，以便各个击破.为什么“分”后易“破”呢？因为在“部分”中有了“个性”，这相当于增加了解题的条件. 

分类要注意“标准统一”，这将可避免“重”和“漏”，用集合的话说，就是，把全集合分成若干个子集之后，要使:

①两两子集之交为“空”；②所有子集之并为“全”. 

分是手段，合为目的，分类讨论完毕之后，要整合出对整个问题的答案.  

●典例示范

【例1】   已知a∈R，函数f (x)=x2|x-a|. 

(1)当a=2时，求使f (x)=x成立的x的集合； （2）求函数y=f (x)在区间［1，2］上的最小值. 

【分析】   (1)只需分两种情况讨论； （2）含参数的讨论问题，一定要把所有情况考虑出来，否则容易丢解. 

【解答】   (1)当a=2时，f (x)=x2|x-2|=

当f (x)=x时，即x2(x-2)=x   (x≥2)或x2(2-x)=x   (x<2) x3-2x2-x=0，x(x2-2x-1)=0, 

x1=0(舍去），x2=1- (舍去），x3=1+. 

当x2(2-x)=x时，∴x3-2x2+x=0，x(x2-2x+1)=0，x=0或x=1. 

综上所述：a=2时，f (x)=x成立的x的集合为{0，1，1+}. 

(2)f (x)=        若a≤1时，即a<1≤x≤2，f (x)=x3-ax2. 

∴f ′(x)=3x2-2ax=0，∴x1=0，x2=a               ∵1≤x≤2，∴a∴x=0或x=a都不在［1，2］内，而x∈［1，2］， 

f ′(x)>0，即f (x)在［1，2］内为增函数.         ∴f (1)=1-a，f (2)=8-4a.   ∴f (x)min=1-a.

若a∈(1，2)，即f (x)= 

当1≤x≤a时，f (x)=-3x2+2ax=0，x1=0，x2=a. 

若a<时，1≤x∴f (x)min=-a3+a3=0.

 当a≤x≤2时，f ′(x)=3x2-2ax=0，x1=0，x2=a.     当x∈［a，2］，f ′(x)>0. 

∴f (x)在［a，2］上为增函数.              ∴f (x)min=0. 

当a>2时，x∈［1，2］.                  f (x)=x2(a-x)= ax2-x3. 

∴f ′(x)=2ax-3x2=0.             ∴x1=0，x2=a 

若f (x)在［a，2］为减函数，f (2)=4a-8. 

∴f (x)min为a-1，4a-8中的较小数.               即2≤a≤3，f (x)min=a-1        a>3时，x∈［1，2］时，f ′(x)>0 ∴f (x)min=f (1)=a-1. 

综上所述，a≤1时，f (x)min=1-a, 

a∈(1，2)时，f(x)min=0,         a∈(2，)时，f (x)min= 4a-8; 

a∈［，3］时，f (x)min =a-1;            a∈(3，+∞)时，f （x）min=a-1. 

【点评】   本题是对分类讨论的思想考查得非常充分和深入的一道试题.第（1）问中要对x的取值进行讨论，第（2）问中对a的取值进行讨论，而且分了四种情况，可见分类讨论的考查无处不在.  

【例2】   设f (x)=g(x)-h(x)，其中g(x)=2x3++5，h(x)=(3a+3)x2-12a(1-a)x+. 

(1)若x>0，试运用导数的定义求g′(x); 

(2)若a>0，试求定义在区间［0，6］上的函数f (x)的单调递增区间与单调递减区间. 

【解答】（1）g′(x)=                =

=. 

(2)由f (x)=g(x)-h (x)=2x3-(3a+3)x2+12a(1-a)x+5得f′(x)=6x2-(6a+6)x+12a(1-a)=6(x-2a)(x-1+a),令f′(x)=0得x=2a或x=1-a. 

①当0②当≤a<1时，0<1-a≤2a<6，于是函数f (x)在［0，1-a］上单调递增，在［1-a，2a］上单调递减，在［2a，6］上单调递增； 

③当1≤a<3时，1-a≤0<2a<6，于是函数f (x)在［0，2a］上单调递减，在［2a，6］上单调递增； 

④当a≥3时，1-a<0<6≤2a，于是函数f (x)在［0，6］上单调递减. 

【点评】   本题中对a的划分是关键，最主要的是找出它的分界点.只要有了正确的分类，再进行讨论就不成问题了.  

●对应训练 

1.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定:当且仅当A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是 

 A 27              B 26                C 9                 D 8  

2.若数列{an}的通项公式为an=，n∈N+，则等于                                             （      ） 

 A             B             C             D 

3. 如图，已知一条线段AB，

它的两个端点分别在直

二面角α-l-β的两个面内转动，

若AB和平面α、β所成的角分别

为θ1、θ2，试讨论θ1+θ2的范围.  

                                                        第3题图

●参 

1. A    由于A={a1，a2，a3}=A1∪A2，以A1为标准分类. 

A1是，则A2={a1，a2，a3}，这种分拆仅一种，即 C·C=1; 

如A1为单元素集，有C种可能,对其中每一种，例如A1={a1}，由于必有a1，a3∈A2，且a1∈A2或a1A2都符合条件.  这种分拆有 C·C=6种. 

如A1为双元素集，有C种可能,对其中每一种，不妨设A1={a1，a2}，则必a3∈A2，此外对a1，a2可以不选，选1个或全选，有22=4种选法，这种分拆共有 C·4=12种. 

若A1为三元素集，则A2可以是{a1，a2，a3}的任何一个子集，故这种分拆有23种.  于是共有1+6+12+8=27种不同的分拆. 

2.分析：直接赋值，无法求解，观察题设及欲求式，需对n分奇数、偶数两种情况进行讨论.

解析：根据题意，得an=

∴{a2n-1}是首项为，公比为的等比数列，{a2n}是首项为，公比为的等比数列. 

∴

=                      故选 C . 

点悟：解分类讨论问题的一般步骤为： 

（1）确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论； 

（2）对所讨论的对象进行合理的分类（分类时要做到不重复、不遗漏，标准要统一、分层不越级）； 

（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； 

（4）归纳总结：将各类情况总结归纳. 

3.分析：由于AB于l的位置关系不定，故需分类讨论. 

解：（1）当AB⊥l时，显然θ1+θ2=90° . 

（2）当AB与l不垂直时，在平面α内作AC⊥l，垂足为C，连结BC. 

∵平面α⊥平面β，∴AC⊥平面β.    ∴∠ABC是AB与平面β成的角，即∠ABC=θ2.

在平面β内作BD⊥l，垂足为D，连结AD.          同理可得∠BAD=θ1. 

在Rt△BDA和Rt△ACB中，∵BD∵θ1与∠BAC均为锐角，∴θ1<∠BAC.  而∠BAC+θ2=90°，∴0°<θ1+θ2<90°. 

（3）若线段AB在直线l上，则θ1+θ2=0°.  综上，可得0°≤θ1+θ2≤90°. 

点悟：由于几何问题中各元素的位置关系不定，对于所有可能的情况，必须分开一一进行研究.