湘教版九年级上册数学期中考试试卷含答案详解

一、选择题。（每小题只有一个正确答案）

1．下列方程是一元二次方程的是（    ）

A．           B．（a，b，c是常数）

C．              D．

2．使分式的值等于零的的值是 （     ）

A．6    B．或6    C．    D．

3．一元二次方程的根的情况是（ ）

A．有两个相等的实数根            B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根                    D．只有一个实数根

4．如果反比例函数的图象经过（﹣1，﹣2），则m的值为（  ）

A．﹣3             B．﹣2          C．3          D．2

5．如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（  ）

A．        B．         C．         D．

6．下列各点中，在函数y=-图象上的是（　　）

A．        B．         C．        D．

7．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为（   ）

A．1∶2    B．1∶4    C．1∶5    D．1∶16

8．已知△ABC中，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC的值是（  ）

A．4.5    B．5.5    C．6.5    D．7.5

9．如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（　　）

A．（3，2）    B．（4，1）    C．（3，1）    D．（4，2）

10．如图，将△ABC的高AD三等分，过每个分点作底边的平行线，把△ABC的面积分成三部分S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（  ）

A．1：2：3    B．1：4：9    C．1：3：5    D．1：9：25

二、填空题

11．设，是方程的两个根，则=_______．

12．如果关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，那么m=_____．

13．已知ABC∽DEF，AB=3，DE=4，BC=6，则EF=_____．

14．设，则=_______．

15．反比例函数的图象过点（﹣2，﹣3），则此函数的解析式是_______．

16．已知函数的图象是双曲线，则m=_______．

17．设1是关于x的一元二次方程的根，则a+b=_______．

18．如图，AB∥CD∥EF，AC=2，EC=3，BD=3，则BF=_________．

19．设A是函数y=  图象上一点，过A点作AB⊥x轴，垂足是B，如图，则S△AOB=________．

20．已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2015个三角形周长是___．

三、解答题

21．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

22．某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，问平均每年藏书增长的百分率是多少？

23．已知一次函数与反比例函数的图象交于P（2，a）和Q（﹣1，﹣4），求这两个函数的解析式．

24．△ABC为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，BC=30，AD=20．求这个正方形的边长．

25．平行四边形ABCD中，过A作AE⊥BC，垂足为E，连DE、F为线段DE上一点，且∠1=∠B．求证：△ADF∽△DEC．

26．如图∠1=∠2，∠C=∠D，求证：AB•AD=AC•AE．

27．已知反比例函数（m为常数）的图象经过点A（﹣1，6）．

（1）求m的值；

（2）如图，过点A作直线AC与函数的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点C的坐标．

参

1．C

【详解】

试题分析：A．由原方程得到：2x﹣4=0，该方程中不含有二次项，则它不是一元二次方程，故本选项错误；

B．方程二次项系数可能为0，故本选项错误；

C．由原方程得到：，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；

D．不是整式方程，故本选项错误．

故选C．

考点：一元二次方程的定义．

2．A

【分析】

根据分式的值为零的条件可以求出x的值．分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0．

【详解】

依题意得：且

解得x=6．

【点睛】

本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

3．B

【详解】

解：△=1﹣4×1×（﹣4）=17＞0，

所以方程有两个不相等的两个实数根．

故选：B．

考点：根的判别式．

4．D．

【解析】

试题分析：由题意得m=﹣1×（﹣2）=2．故选D．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征．

5．B．

【解析】

试题分析：由图象可知：函数是反比例函数，且k＞0，答案B的k=4＞0，符合条件，故选B．

考点：1．反比例函数的图象；2．正比例函数的图象；3．二次函数的图象．

6．C

【分析】

把各点代入解析式即可判断.

【详解】

A.∵(－2)×(－4)＝8≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

B．∵2×3＝6≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

C．∵(－1)×6＝－6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；

D．∵×3＝－≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．

故选C.

【点睛】

此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是将各点代入解析式.

7．A

【解析】

试题分析：根据相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，利用面积之比是1:4，求出相似比，然后再根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可求出它们的相似比.

∵两个相似三角形的面积之比是1:4，

∴两个相似三角形的相似比是1:2.

∴两个相似三角形的周长之比是1:2.

故选择A.

考点：相似三角形的性质.

8．D．

【解析】

试题分析：∵DE∥BC，∴，∴，解得：EC=4.5，故AC=AE+EC=4.5+3=7.5．故选D．

考点：平行线分线段成比例．

9．A

【解析】

试题分析：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（3，2）．故选A．

考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质．

10．C．

【解析】

试题分析：如图，两平行线分别为GH、PQ，与AD交于E、F两点，∵GH∥PQ∥BC，∴△AGH∽△APQ∽△ABC，∵E、F把AD三等分，∴，，∴，，解得S2=3S1，S3=5S1，∴S1：S2：S3=1：3：5，故选C．

考点：相似三角形的判定与性质．

11．﹣3．

【详解】

试题分析：由题意得=﹣3．故答案为﹣3．

考点：根与系数的关系．

12．9

【解析】

试题分析：因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以△=b2﹣4ac=0，根据判别式列出方程求解即可．

解：∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=0，

即（﹣6）2﹣4×1×m=0，

解得m=9

故答案为9

考点：根的判别式．

13．8．

【解析】

试题分析：∵△ABC∽△DEF，∴AB：DE=BC：EF，∵AB=3，DE=4，BC=6，∴EF=8．故答案为8．

考点：相似三角形的性质．

14．10．

【解析】

试题分析：设，得：，．∴==10，故答案为10．

考点：比例的性质．

15．．

【解析】

试题分析：设反比例函数解析式（k为常数，k≠0），∵反比例函数的图象过点（﹣2，﹣3），∴﹣3=，解得k=6，∴反比例函数解析式y=．故答案为．

考点：待定系数法求反比例函数解析式．

16．﹣1．

【解析】

试题分析：由函数的图象是双曲线，得：，解得m=﹣1，m=1（不符合题意的要舍去），故答案为﹣1．

考点：反比例函数的定义．

17．﹣1．

【详解】

试题分析：把x=1代入关于x的一元二次方程，得：1+a+b=0，解得 a+b=﹣1．故答案为﹣1．

考点：一元二次方程的解．

18．7.5．

【解析】

试题分析：∵AB∥CD∥EF，∴，∵AC=2，EC=3，BD=3，∴，∴DF=4.5，∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5，故答案为7.5．

考点：相似三角形的判定与性质．

19．1．

【详解】

试题分析：由题意得S△AOB==1．故答案为1．

考点：反比例函数系数k的几何意义．

20．．

【解析】

试题分析：∵△ABC的周长是1，∴第二个三角形的周长=，第三个三角形的周长=×=，…，第2015个三角形周长=．故答案为．

考点：1．三角形中位线定理；2．规律型．

21．m＞﹣1且m≠0．

【分析】

由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＞0，即4﹣4m•（﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．

【详解】

∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴m≠0且△＞0，即4﹣4m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，

∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0，

∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根．

22．20%．

【详解】

试题分析：利用平均增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均每年增长的百分率为x，由“某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册”，即可得出方程．

试题解析：解：设平均每年增长的百分率为x；

依题意，可列方程：．

解得：x=0.2=20%或x=﹣2.2（舍去）．

答：平均增长率为20%．

考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．

23．，．

【解析】

试题分析：把Q的坐标代入反比例函数的解析式即可求得m的值，然后求得P的坐标，利用待定系数法求得一次函数的解析式．

试题解析：解：把Q（﹣1，﹣4）代入，则﹣4=﹣m，则m=4，则反比例函数的解析式是：；在中令x=2，则y=2，则P的坐标是（2，2）．

由题意得：，解得：，则一次函数的解析式是：．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

24．12．

【解析】

试题分析：由正方形的性质可知HG∥BC，利用平行线分线段成比例可得，设正方形的边长为x，则AK=20﹣x，HG=x，代入求出x即可．

试题解析：解：∵四边形EFGH为正方形，∴HG∥BC，∴，设正方形的边长为x，则AK=20﹣x，HG=x，∴，解得x=12，即正方形EFGH的边长为12．

考点：相似三角形的判定与性质．

25．证明见试题解析．

【解析】

试题分析：先由平行线的性质得出∠ADF=∠DEC，∠C+∠B=180°，再由∠1=∠B，∠1+∠AFD=180°可得出∠C=∠AFD，由此可得出结论．

试题解析：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠DEC，∠C+∠B=180°．

∵∠1=∠B，∠1+∠AFD=180°，∴∠C=∠AFD，∴△ADF∽△DEC．

考点：1．相似三角形的判定；2．平行四边形的性质．

26．证明见试题解析．

【解析】

试题分析：由条件证明△ABC∽△AED，再利用相似三角形的性质可得出结论．

试题解析：证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，且∠C=∠D，∴△ABC∽△AED，∴，∴AB•AD=AC•AE．

考点：相似三角形的判定与性质．

27．（1）2；（2）C（﹣4，0）．

【解析】

试题分析：（1）将A点坐标代入反比例函数解析式即可得到一个关于m的一元一次方程，求出m的值；

（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点E、D，则△CBD∽△CAE，运用相似三角形知识求出CD的长即可求出点C的横坐标．

试题解析：解：（1）∵图象过点A（﹣1，6），∴，解得m=2．故m的值为2；

（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点E、D，由题意得，AE=6，OE=1，即A（﹣1，6），∵BD⊥x轴，AE⊥x轴，∴AE∥BD，∴△CBD∽△CAE，∴，∵AB=2BC，∴，∴，∴BD=2．即点B的纵坐标为2．当y=2时，x=﹣3，即B（﹣3，2），设直线AB解析式为：，把A和B代入得：，解得：，∴直线AB解析式为，令y=0，解得x=﹣4，∴C（﹣4，0）．

考点：反比例函数综合题．