整式的乘除主题单元设计__数学-陈东-专题三

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本单元所涉及的数学教学内容之间不仅具有密切的联系，且具有很强的逻辑关系。整式的乘法与除法是互为逆运算，乘法公 式是具有特殊形式的整式乘法问题，整式的乘法与因式分解是方向相反的恒等变形，在涉及的这些内容中，整式的乘法是引入后续内容教学的基础，学好一般整式乘 法的知识是进一步学习本章其他知识的前提。本章根据知识之间的这种逻辑关系，把教学重点放在整式乘法的教学上，符合逻辑、循序渐进地安排了单项式与单项式 相乘、多项式与单项式相乘、多项式与多项式相乘、乘法公式的教学内容。教科书注意渗透“转化”的思想方法。注意了代数与几何之间的联系，体现了数形结合的 重要数学思想和方法。从某些具体的数与式计算，归纳得到一般的式的运算法则，是一个由特殊到一般，从具体到抽象的归纳过程，使学生在这个过程中理解和掌握 性质和公式，并能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，运用它们熟练地进行运算。使学生在理解的基础上加以记忆，在运用、练习的过程中进一步加以巩固， 并加深理解。

其中，“分解因式”主题单元的学习内容以整式运算为基础，是整式的一种重要的恒等变形，它和整式乘法运算，尤其是多项式乘法运算有着密切的联系，分解因式时后续学习分式的化简与运算、解一元二次方程的重要基础。本单元主要研究分解因式的概念、分解因式的基本方法。

本单元的学习重点：整式乘法与分解因式的区别与联系及分解因式的两种基本方法，发展学生分析问题的能力和推理能力。

本单元的学习难点：如何理解、归纳分解因式变形的特点，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。

专题三共分为为三个专题，分别是分解因式的概念、分解因式的方法以及分解因式的回顾及应用，学生在学习完分解因式的概念时自然想到怎样分解因式呢？过渡到专题二的学习内容，学习完专题二后，就要对所学的内容进行反思及实践，加深对分解因式的掌握及理解，就是专题三的内容了。

本单元的学习方式主要采用小组合作、探究的学习方式，通过本单元的学习，掌握理解分解因式的概念方法的基础上，进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达能力。

  1、使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。

    2、使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。

    3、使学生学会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算。

    4、使学生理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。

过程与方法：

 1、经历用字母表示数量关系以及探索整式运算法则的过程，理解字母表示数的意义以及整式运算的算理。

   2、经历探索整式运算法则的过程，发展学生观察、归纳、类比、概括能力。

   3、经历探索整式运算法则的过程，发展学生有条理的思考及语言表达能力和符号感。

   4、经历探究多项式的因式分解过程，培养学生的逆向思维能力。

情感态度与价值观：

 1、从生活中取材，让学生从中体会数学的应用价值。

2、培养学生良好的思维习惯，了解数学，发展用数学的自信。

3、使学生初步理解“特殊—— 一般 —— 特殊”的认识规律和辩证唯物主义思想，体会数学思想方法，激发学生的探索创新精神。

2、理解整式的概念，能进行简单的整式乘法运算

3、能推导乘法公式(a+b)(a-b)= a2-b2，(a±b)2= a2±2ab+ b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。

4、了解分解因式的意义，经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体联系；能用提公因式法、公式法进行因式分解，通过乘法公式的逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。

2、积的乘方与幂的乘方的意义是什么？

3、指数可以是零和负整数吗？

4、单项式的乘法法则是什么？

5、多项式与多项式如何相乘？

6、乘法公式有哪些？什么特征的多项式相乘可用乘法公式？

7、什么是因式分解？因式分解有哪些方法？

8、你会不会用不同的方法对同一个整式进行因式分解？

专题二：整式的乘法                    （  5课时）

专题三：因式分解                      （  3课时）

其中，专题三作为研究性学习

1、能用文字语文和符号语言表述分解因式的意义。

2、会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式发分解因式;通过乘法公式的互逆变形运算，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达能力。

3、理解提公因式法法则，能熟练准确地进行有关运算。

过程与方法：

    1、经历探索分解因式方法的推导过程，体会从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法，发展学生的推理能力。

2、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与分解因式互逆运算）。  

情感态度与价值观：

通过小组合作学习，培养主动参与，使学生初步理解“特殊—— 一般 —— 特殊”的认识规律和辩证唯物主义思想，体会数学思想方法，激发学生的探索创新精神。

2、分解因式有哪些方法同底数幂的除法如何计算？

3、分解因式与整式乘法的关系？        

信息化资源：PPT课件                教学支撑环境：班班通教学设备

活动一：相信自己：993-99能被100整除吗？与同伴交流。

经历分解因数，引导学生体会：把数式化成几个数的积的形式时解决这类问题的关键，从而为引出分解因式的概念奠定基础。

活动二：尝试给分解因式下定义。

   1、根据给出的几个整式乘法的式子计算，然后根据给出的乘法式子填空，通过计算体会两种变形是什么运算，有什么不同？

2、尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式。

3、根据以上运算学生尝试给分解因式下定义，教师给出正确的定义。

   小组交流，班内交流。

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式

第二课时：因式分解的方法

（一）、知识链接：

创设情景，引出课题，学生观察节前语，教师提出问题：还记得“分解质因数”吗？

1、把列各数分解质因数：

（1）15=            （2）18=         

（3）65=            （4）81=         

2、把下列各分数约成最简：

 （1）=        （2）=         

 （3）=       （4）=        

（二）、合作学习，建立模型，要求各学习小组合作探究

把一个多项化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，它与整式的乘法正好互为逆运算。

1、计算下列各式：             2、把下列各式分解因式：

(1)  m(a+b+c)=             (1)  ma+mb+mc=         

(2)  5a(b+1)=               (2)  5ab+5a=         

(3)  5a(a+1)=               (3)  5a2+5a=        

(4)  -5a(a-5)=               (4)  -5a2+25a=        

(5)  (a+b)(a-b)=             (5)  a2-b2=         

(6)  (x+1)(x-1)=             (6)  x2-1=       

(7)  (x+3)(x-3)=             (7)  x2-9=        

(8)  (a-b)2=                 (8)  a2-2ab+b2=       

(9)  (a+b)2=                (9)  a2+2ab+b2=      

(10)  (x+2)2=               (10)  x2+4x+4=       

(11)  (x-3)2=                (11)  x2-6x+9=        

(12)  (2x-3y)2=              (12)  4x2-12xy+9y2=      

(13)  (x+1)(x-4)=            (13)  x2-3x-4=         

103×102＝                 

a3×a4＝                 

（三）、启发学生探求规律，讨论一下法则应怎样“猜”比较“快而且准”？

 （分小组讨论）形成法则：

你能把下列各式分解因式吗？          

(4)  x3-2x2+x=              (5)  x2-16=                (6)  9-y2=      

(7) 25x2-4=                 (8)  x2y2-1=                (9) x2+2x+1=             

(10) x2-10x+25=             (11) x2-4xy+4y2=            (12)  x2+3x+2=

(13) x2+5x+6=              (14)  x2-5x+6=          

（四）、应用新知，体验成功

1、试一试求：①78×73   ②（-2）8×（-2）7   ③x3·x5   ④（a-b）2·（a-b）⑤102×105×107

2、做一做：①3×33     ②105×105    ③（-3）2×（-3）3      ④am·an·at  ⑤a·a3    ⑥a＋a＋a

3、下面计算否正确？如果不对，应怎样改正？

①a3·a3＝a6     ②a3+a3＝２a3      ③b.b6=b7        ④ (-7)8.73=711  ⑤(-5)7.(-5)4= -511

2、引导学生剖析法则，（分小组讨论）提升法则

（1）等号左边是什么运算？

（2）等号两边的底数有什么关系？

（3）等号两边的指数有什么关系？

（4）公式中的底数a可以表示什么？

（5）当三个以上同底数幂相除时，上述法则成立吗？

（五）、方法：提公因式法（适合各项有公因式的式子）

 图形描述：

 + +      

 = ( + + )

例1、xm-ym+zm=(              )·   

例2、3x4y-6x2y2+9x2y3

 -      +      

=   ·    -    ·    +    ·   

     =   ·(     -     +     )

例3、2m2-4m

=   ·    -    ·    

=   ·(     -     )

例4、2(a+b)2  - 4(a+b)

               _

=     ·      -      ·     

=     ·(       -       )

应用新知，体验成功：

（六）、把下列各式分解因式：

A组

(1)   6mn-18mp         

(2)  3a2-6ab+3a

(3) (m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)

B组

(1) 计算 872+87×13 

(2) 若x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m=     ,n=      

C组

填空:x2-8x+m=(x-4)(     ),且m=     

第三课时：分解因式的反思与应用

1、进一步了解分解因式的意义，掌握因式分解的几种方法

2、能利用分解因式解决实际问题。

多媒体教室、多媒体课件、教材等