DEA方法介绍

第一节 渔业生产效率概述

一、技术效率、配置效率和经济效率

（一）效率的概念

从资源利用的角度来讲，效率可以分为资源配置效率和生产技术效率。资源

配置效率是指在价格己知的条件下，为获得最大产出或最低成本，各种资源能够

达到最佳比例的能力。技术效率是指在一定的投入要素组合下，获得最大产出的

能力或者在一定的产出组合下，取得最少要素投入的能力。技术效率与配置效率

相组合就得到总的经济效率。而技术效率水平的高低，不仅反映技术推广的有效

程度，而且反映技术进步以及经济增长的质量。因此技术效率问题日益受到人们

的关注。

（二）投入角度经济效率的分解

法瑞尔（M.J.Farrell ）在1957年发表的《生产效率度量》一文中从投入角度

对技术效率下了定义：“所谓技术效率，就是在生产技术不变、市场价格不变的

条件下，按照既定的要素投入比例。生产一定量产品所需的最小成本CL ，占实

际生产成本CS 的百分比”。用TE 1表示从投入角度定义的技术效率，即：

%1001⨯=CS

CL TE 投入角度经济效率的分解的假设条件：

①一生产部门具有固定规模报酬；

②两种投入要素x 1和x 2；

③生产一种产品y 且产出y 不变；

④在两种生产要素的配合下，单位产出要素投入量组合在P 点，单位产 出等产量线为SS ′，等成本线为AA ′，两线相切于Q ′点(如图7.1）

图7.1 投入角度效率度量

（1）若该生产部门的要素投入量在P 点，则该生产部门的生产效率是比较低

的，因为所有要素的投入量按比例减少到Q 点，不会使产出水平减少，我们可

以用QP 来表示该生产部门的非技术效率量。所以该生产部门的投入角度的技术

效率（TE 1）为

OP

OQ TE =1 (0≤ TE 1≤1) TE 1的取值在0与1之间，当投入要素组合点在Q 点时，TE 1为1，称完全

技术效率。

（2）如果投入要素的价格比已知，我们可以得到等成本线AA'，等成本线

AA'与等产量线SS'相切于Q'，那么Q'点是生产最佳点，如果该生产部门在Q'生

产，成本可以减少RQ 量，所以Q 点是技术有效点，但不是配置有效点，其投

入角度的配置效率（AE 1）为：

OQ OR AE =1 (0≤AE 1≤1)。 （3）总的经济效率是由技术效率和配置效率综合的结果，则该生产部门的总

的投入角度的经济效率为：

111AE TE OQ

OR OP OQ OP OR EE ⨯=⨯== (0≤EE 1≤1) 从以上效率的计算方法与图示可以看到，投入角度的技术效率、配置效率及

经济效率的度量都是沿着从原点到被观测生产点的方向测量的，所以我们称其为

基于投入的径向效率，径向效率的特点是各个投入之间的相对比例保持不变。

（三） 产出角度经济效率的分解

勒宾森（Leibenstein ，1966）从产出角度给出了技术效率的定义：“技术效

率是实际产出水平YS 占在相同的投入规模、投入结构及市场价格条件下，所能

达到的最大产出YH 的百分比”，用TE 0表示从产出角度定义的技术效率，即：

YH

YS TE =0×100% 产出角度经济效率的分解的假设条件：

①一生产部门具有固定规模报酬

②一种投入要素x

③生产两种产品y 1和y 2

④单位投入的生产可能性曲线为ZZ'，等收益曲线为DD'，两线相切于B'(如

图7.2）

图7.2 产出角度效率度量

（1）假设某生产不部门的产出组合点在A 点，则该生产部门的生产效率是比较

低的，因为在不额外增加投入的情况下，可以提高其产出水到达B 点，则AB 表

示该生产部门的非技术效率量，所以该生产部门的产出角度的技术效率为：

OB

OA TE =0 (0≤TE 0≤1) （2）如果产出的价格比已知，我们可以得到等收益曲线DD'，等收益曲线DD'

与生产可能性曲线ZZ'相切于B'点，那么B'点是收益最大点，如果该生产部门在

B'点生产，收益可以增加BC 量，所以B 点是技术有效点，但不是配置有效点，

其产出角度的配置效率为：

OC

OB AE =0 (0≤AE 0≤1) （3）同理，该生产部门的产出角度的经济效率为：

000AE TE OC

OB OB OA OC OA EE ⨯=⨯== (0≤EE 0≤1) 从以上分析可以看到，产出角度的技术效率、配置效率及经济效率的测量也

是沿着从原点到被观测生产点的方向测量的，所以我们称其为基于产出的径向效

率，其特点是各个产出之间的相对比例保持不变。

（四）经济效率与技术效率的关系

实现生产技术有效，即充分地利用现有的技术和投入，是实现利润最大化的

基础。但技术有效率并不能保证一定实现利润最大化。因为利润是出售产品得到

的收入（收益）与购买投入要素的支出（成本）之间的差额，决定成本的不仅有

所购买的投入要素的数量，还有投入要素的价格。利润最大化就是要在技术效率

的基础上实现经济效率，经济效率是成本与收益之间的关系，只有当成本既定收

益最大，或收益既定成本最小时，才实现了经济效率。所以衡量一个生产部门实

现资源有效配置的标准是技术效率和经济效率两个方面，两者缺一不可。

由以上的分析可以看出，度量技术效率、资源配置和经济效率的关键问题是

确定生产前沿面。在法瑞尔1957年提出技术效率后，许多研究者不断探索前沿

面的确定，即从样本群中找到具有相对完全效率的样本，并将利用这些样本构成

生产前沿函数。目前估计生产前沿面的方法归纳起来有两大类：一类是以经济计

量学方法为主的参数方法（parametric estimation method)，另一类则是以数学规

划为主的非参数方法（non-parametric estimation method)。

二、前沿生产函数

设Y （s ，t ）表示s 个生产单位在第t 年的产出水平，并假设Y （s ，t ）与投

入向量X （s ，t ）所代表的实际生产函数关系为：

Y （s ，t ）＝ F （X （s ，t ），s ，t ）

式中X （s ，t ）＝（x 1（s ，t ），…，x n （s ，t ））为投入要素向量。若以Y —（s ，

t ）代表前沿生产水平，即所有单位在t 年中技术效率都达到了在样本观察期内某

些年份技术效率最佳的那些生产单位的水平时应具备的产出水平，用数学表达式

为：

),),,((),(t s t s X F t s Y =

根据前沿的定义，有下面的不等式：Y （s ，t ）≤Y —（s ，t ）

技术效率定义为实际生产水平与前沿生产水平的比值：

)

,(),(),(t s Y t s Y t s TE =

说明：

（1）当样本中的观察点落在前沿生产函数代表的边界上时，表明该观察点对应

的生产单位在那年生产要素是按照样本期内的最佳水平组织生产的。

（2）当样本观察点在前沿线以下时，表明那年生产要素的实际使用没有达到该

在最佳年份的要素使用水平。前沿和实际生产水平之差是由于技术效率未达到

最佳而引起的

三、生产效率评价的非参数方法－DEA 概述

（一）DEA 方法的原理

数据包络分析 DEA （Data Envelopment Analysis ）最初由Farrel(1957）提出，

随后由著名的运筹学家A.charenes 和W.W.Cooper 等人（1978）以相对效率概念

为基础研究并发展起来的一种针对多投入多产出生产单位的效率分析与评价方

法。该方法是从线性规划方法衍生出来的，是使用数学规划模型比较决策单元间

的相对效率，对决策单元做出评价的方法，是运筹学、管理科学和数理经济学交

叉的一个新领域。目前DEA 已被越来越多的学者采用，成为一种与传统计量经

济学方法并驾齐驱的投入产出效率研究方法。

对于单投入单产出的生产单位，效率的度量通常是以产出与投入的比值来计

算的。即：

效率=投入

产出 但是对于多投入多产出的生产单位，就无法用上述公式计算了，必须采用相

对效率的方法进行测度，相对效率可以用产出与投入的加权和的比值来计算，即：

效率=

投入的加权和产出的加权和 即可以采用如下公式计算：

......

22112211++++=j j j j j x w x w y q y q E （0≤E j ≤1）

式中：E j 为生产单位j 的效率；q i 为分配给产出i 的权重；y ij 为生产单位j

的产出i 的数量；w i 为分配给投入i 的权重；x ij 为生产单位j 的投入i 的数量。

这种效率的测度要求所有的单位采用相同的权重，但实际上每个生产单位的

生产组织方法不同，不同产出的的重要程度也不同，所以，生产单位对各个投入

和产出的重要程度评价不同，所要求的权重也是不同的。这样，所有的单位都采

用相同权重的方法就不太理想了。Charnes ，Cooper 和Rhodes 等人认识到不同的

单位对投入要素和产出的重要性评价不同，就应该采取不同的权重，所以通过求

解一个共同的权重数集来确定相对效率的方法就不太合适了，每个一生产单位应

该以生产组织方式最相近的其他生产单位为参照，采取最适宜的权重，从最有

利于被评价单元的角度进行评价，从而建立了数据包络分析方法DEA(Data

Envelopment Analysis)

（二）DEA 方法的特点

DEA 方法是对具有相同投入要素、相同产出的具有相同功能的实体的相对

效率进行评价的一种方法，被评价的实体成为决策单元DMU （Decision Making

与传统的统计计量方法相比，DEA方法有很多优点，主要的有以下几种：第一，不需要一个预先已知的生产函数。这一特点尤其适合于多投入多产出且数量关系复杂的系统，因为这些系统的投入产出各量之间的具体函数形式的估计是十分困难的。第二，不必事先确定各指标的权重。DEA方法把各投入、产出指标的权重作为变量，通过求解线性规划问题确定最适宜的权重，从而从最有利于评价单元的角度进行评价，避免了在人为确定权重时评价者的主观意愿对评价结果的影响。第三，不受投入、产出指标量刚性的影响。DEA方法对效率的测度是由原点到生产组合点的径向效率，各投入要素之间的相对比例保持不变，这就避免了传统方法中计算综合投入量与综合产出量时各指标量刚性不一致所带来的困难。

（三）DEA方法的“自由度”要求

在DEA方法的使用过程中要满足“自由度”的要求，即必须有足够多的决策单元DMU，一般要求决策单元的个数K与投入指标数M及产出指标数N之间，应满足关系：2（M+N）≤K，否则评价结果可信度就会降低。因此，在使用DEA方法时，投入或产出变量不易选择过多，对相关性较强的变量应进行合并，从而减少研究问题的维数，以便更好地进行分析。

第二节渔业生产效率非参数估计

一、不变规模报酬模型 CRS

（一）CRS模型的建立及求解

1978年由A.Chames，W.W.Cooper和E.Rhodes提出的DEA模型是基于投入的，并假设规模报酬不变CRS（Constant Returns to Scale），又称CCR模型或C2R 模型。

模型假设：

（1）有K个决策单元DMU

（2）每个决策单元有M种投入要素，生产N种产品

那么：第j个决策单元的投入和产出向量分别为：

投入向量：Xj=(x1j，x2j，…，x Mj)T＞0 ( j = 1, …, K )

产出向量：Yj=(y1j，y2j，…，y Nj)T＞0 ( j = 1, …, K ) DEA方法是为了构造一个非参数包络前沿，所有观测点都在该生产前沿上或在其下。出于各种投入和产出的作用不同，在对不同决策单元进行评价时，应对它的投入和产出进行标准综合处理，即把它们看作只有一个总体输入和一个总体输出的生产过程，这样就需要赋予每个输入、输出一定的权重。设投入和产出的权重向量分别为：

投入权重向量：W＝（w1，w2，…，w m）T

产出权重向量：Q＝（q1，q2，…，q N）T

最佳的权重向量可以通过数学规划得到，即：

∑∑==M i ij i N m

mj m x

w y q

MAX 11

s.t. ()

()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥≤∑∑==M i w N j q x w y q i

i M i ij i mj

N

m

m ,...,2,10,...,2,10111

这是一个分式规划问题，令：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧===gQ gW X W g T βα1

则有： ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥=≤==0

0110000βαααββX X w Y q X Y WX Y Q Y T j T j T T j T T T T 于是，可以转化为下面的线性规划模型： max βT Y 0

S.t. ⎪⎩⎪⎨⎧=≥-1

00X Y X T j T j T αβα 上式的对偶规划为：min θc

S.t. ()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎪⎨⎧=≥≥+-≥-∑∑==K i y Y x X i K j j j K j i j C ,...,2,1000

1010λλλθ

式中：λ为常数向量；θc 为一个标量，所得到的θc 决策单元的效率值，其取

值范围在0~1之间，由于是在CRS 模型中求得的效率，故一下标C 表示，若θc

为1，则说明该决策单元在前沿面上。经过K 次线性规划求解就可以得到每个决

策单元的θc 值。

（二）松驰量的存在及处理

DEA 非参数前沿是采取分线段的形式测量效率的，由于部分前沿线段与坐

标轴平行，会产生投入松驰量和产出松驰量。

图7.3 效率度量与投入松弛

以两种投入，一种产出的DEA 模型为例，投入松弛量的产生原因如图7.3

所示，折线SCDS'是前沿面，SC 与纵轴平行，DS'与横轴平行，C 和D 是有效率

的决策单元，而A 和B 是效率较低的决策单元。

根据Farrell 的定义，A 和B 的效率分别为：

OA A O E A '= OB

B O E B '= B'点是有效率的决策单元，但A'不是有效率的，因为在投入x 1的情况下，

x 2的投入减少量CA'×y 的量，产出仍然保持不变，CA'就是投入松弛（Input Slack ）。

图7.4 效率度量与产出松弛

同理，对于多投入多产出的情况，也会出现产出松弛(Output Slack)，以两种

产出的DEA 模型为例，产出松弛量的产生原因如图7.4所示，折线ZABCZ'是前

沿面，CZ'与纵轴平行，ZA 与横轴平行，A 、B 和C 是有效率的决策单元，而P

和Q 是效率较低的决策单元。对于效率较低的决策单元，可以通过该决策单元

在生产前沿上的径向投影点来计算产出的径向扩充两。如P 点进行生产时，其在

前沿面上的径向投影点为P'，P'在前沿面上，但并不是有效率的店，因为在不增

加任何投入的情况下，产出y 1可以增加AP'的量，所以，在产出y 1存在AP'的松

弛量。

为了解决这一问题，A.I,ALli 和L.M.Seiford 等人提出了两阶段线性规划。

第二阶段线性问题可以定义：

[]IS W OS Q T T C IS OS •+•--θλ,,min

S.t. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-∑∑==K j c j j K

j j j X IS x y OS y 1

010θλλ 式中：X 0、Y 0为被评价决策单元DMU 0的投入和产出向量，IS=(IS 1，IS 2...IS M )T

是决策单元DMU 0投入松弛量，OS=(OS 1，OS 2，...OS M )T 是决策单元DMU 0的产

出松弛量。在第二阶段线性规划中，θc 不是变量，它的值是由第一阶段线性规划

得到的。

因此，由以上的线性规划模型可以综合写成：

()[]

OS e IS e T T c 21ˆˆmin +-εθ

S.t. ()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥=≥=-=+∑∑==0

,0...,2,1,001

1

OS IS K j Y OS y X IS x j K j j j K

j C j j λλθλ 二、可变规模报酬模型 VRS

不变规模报酬的DEA 模型仅仅适用于决策单元处于规模报酬不变阶段的情

况，在不完全竞争市场中，由于受资金等要素的，决策单元的生产往往不能

处于规模报酬不变阶段，如果不是所有的决策单元都处于规模报酬不变状态，使

用CRS 度量的技术效率就不准确，因为在这种技术效率中还存在着规模效率。

Banker,Charnes 和Cooper 在1984年可变规模报酬的DEA 模型（VRS ），这种模

型计算技术效率时可以排除规模效率的影响。为了与CRS 模型相区别，我们以

下标v 表示，VRS 的线性规划模型为：

()[]

OS e IS e T T v 21ˆˆmin +-εθ

S.t. ()

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥=≥==-=+∑∑∑===0

,0...,2,1011101

OS IS K j Y OS y X IS x j K j j K

j j j K

j v j j λλλθλ 三、规模效率的计算

决策单元生产效率的大小取决于两个因素：一是生产技术的潜力是否得到充

分发挥，二是生产要素的投入规模是否合适。 在规模报酬不变DEA 模型（CRS ）

所测得的效率值，实际上包含了规模效率和技术效率两部分的内容，我们称其为

综合效率,而可变规模报酬的DEA 模型（VRS ）所测算的效率是决策单元的纯技

术效率。综合效率、纯技术效率与规模效率的关系可以用图7.5（一种投入x 很

热一种产出y)解释：

图7.5 不变规模报酬、可变规模报酬及非递增规模报酬生产前沿

OR 代表规模报酬不变（CRS ）假设下的生产技术前沿，G 、C 、D 、F 、H

代表可变规模报酬（VRS ）假设下的生产技术前沿，G 、C 、D 、F 、H 代表不同

决策单元的投入产出组合。

在规模报酬不变的假设下，仅有D 单元为技术有效，其综合效率TE crs 为1，

而在规模报酬可变的假设下，G 、C 、D 、F 、H 单元均为技术有效，其纯技术效

率TE vrs 为1.

而对于P 单元来说，在规模报酬不变DEA 模型中，点P 的投影点是B ，其

技术效率（我们称为综合效率）为：

AP

AB TE CRS = 而在规模报酬可变DEA 模型中，点P 的射影点为C ，其技术效率（我们称

为纯技术效率）为：

AP

AC TE VRS =

两个模型中，综合效率与纯技术效率的差别是由规模效率引起的。在图7.5

中，规模效率表示为：

AC

AB SE = 由以上三个式子，我们可以得到这样一个结果，综合效率为纯技术效率与规

模效率的乘积，即： SE TE TE VRS CRS ⨯=

如果某决策单元的规模效率SE 为1，我们称其为规模有效，说明决策单元

的生产处于规模报酬不变阶段。如果SE 小于1，则决策单元为规模无效，但是

我们仅由规模效率的大小无法说明其规模无效是由于处于规模报酬递增阶段造

成的，还是由于处于规模报酬递减阶段造成的，这样，我们必须计算非递增阶段

规模报酬的技术效率，通过它我们可以判断决策单元所处的规模报酬阶段。非递

增规模报酬的DEA 模型的线性模型为：

()[]

OS e IS e T T 21ˆˆmin +-εθ S.t. ()

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥=≥==-=+∑∑∑===0

,0...,2,1011101

OS IS K j Y OS y X IS x j K j j K

j j j K

j j j λλλθλ 如图7.5所示，OBDFH 代表非递增规模报酬假设条件下的生产技术前沿，

其在D 点一下部分与CRS 生产技术前沿重合，在D 点以上部分与VRS 生产技

术前沿重合。在非递增规模报酬下的技术效率极为TE NIRS ，三种规模报酬下的技

术效率满足如下关系：

TE VRS ≥TE NIRS ≥TE CRS

通常我们采用如下判别方法：当规模效率SE 小于时，如果TE NIRS =TE CRS ，

则决策单元处于规模报酬递增阶段；如果TE NIRS >TE CRS ，则决策单元处于规模

报酬递减阶段。

四、基于产出角度的效率的估计

（一）基于投入与基于产出的技术效率的关系

基于投入的技术效率测量解决了这样的一个问题，在保持现有产出不变的前

提下，各投入要素的数量可以同比例缩减多少，从而实现既定产出下的最小投入。

那么，从另一个方面来说，在不改变现有的要素投入数量的前提下，各产出的数

量还可以同比例扩大多少，从而实现既定投入投入下的最大产出。基于产出的技

术效率测量就可以解决这个问题。

我们可以通过一个简单的例子来说明基于投入的效率与基于产出的效率之

间的区别与联系。假设只有一种投入和一种产出，在规模报酬不变的情况下，生

产函数曲线为一条由原点出发向右上方倾斜的一条直线，如图7.6所示。

图7.6 不变规模报酬情况下基于投入和基于产出的技术效率

基于投入的技术效率和基于产出的技术效率分别是：

GP GH TE =1 CD

CP TE =0 由于三角形OGH 与三角戏DPH 是相似三角形，所以，

CD

CP OD OH GP GH == 可见，在规模报酬不变的情况下，基于投入的技术效率和基于产出的技术效

率是相等的。

在规模报酬递减的情况下，生产函数曲线为一条由原点出发的曲线，如图

7.7所示，同理，基于投入的技术效率为GH/GP ，基于产出的技术效率为CP/CD ，

所不同的是，在规模报酬递减的情况下，基于投入的技术效率与基于产出的技术

效率是不相等的。与此类似，当规模报酬递增时，基于投入的技术效率与基于产

出的技术效率也是不相等的。

图7.7 递减规模报酬情况下基于投入与基于产出的技术效率

在实际的应用过程中，选择基于投入的效率度量方法还是基于产出的技术效

率度量方法，主要取决于决策人是能控制产出还是能控制投入，大部分的生产单

位是根据订单进行生产，这样产出是固定的，决策人主要控制投入，以最少的投

入完成既定的生产任务，这时选择基于投入的效率度量方法是最合适的。而对于

生产受资源的生产单位，所面临的是在既定的资源数量约束下，尽可能生产

更多的产出，这里选择基于产出的效率度量方法是最合适的。

（二）基于产出的DEA 模型

基于产出的不变规模报酬的DEA 模型为：

()[]

OS e IS e T T c 21ˆˆmax +-εϕ S.t. ()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥=≥=-=+∑∑==0

,0...,2,1,00101

OS IS K j Y OS y X IS x j K j c j j K

j j j λϕλλ

式中，1≤φc ≤∞，而(φc)-1就是决策单元DMU 0的基于产出的综合效率。

基于产出的可变规模报仇的DEA 模型为：

()[]

OS e IS e T T v 21ˆˆmax +-εϕ S.t. ()

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥=≥==-=+∑∑∑===0

,0...,2,1011101

OS IS K j Y OS y X IS x j K j j K

j v j j K

j j j λλϕλλ 式中，1≤φv ≤∞，而(φv )-1就是决策单元DMU 0的局域产出的纯技术效率。 五、配置效率与经济效率度量的DEA 模型

如果一个决策单元拥有价格信息，并且追求最小成本或最大收益，就可以同时度量技术效率、配置效率及经济效率。

（一）基于投入的配置效率与经济效率度量模型

如果在产出一定的情况下，追求成本最小化的目标，即为测算基于投入的可变规模报酬条件下的成本最小化问题，此时我们相应地把经济效率称为成本效率。可以先利用VRS 所表示的DEA 模型测算出技术效率TE 1，然后再求解下面的成本最小的DEA 模型。

*

'*j j x X W j ,min λ

S.t. ()

⎪

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥≤∑∑∑===*

K j Y y X j K

j j K

j j j K j ...,2,101110

10λλλ

式中：W j 为第j 个单元面临的投入要素价格向量；*j X 为第j 个决策单元在既定的产出Y j 和投入要素价格W j 下，使成本最小的最有的投入量。那么第j 个决策单元的经济效率（即成本效率）为最小成本与实际成本的比率，用公式表示

即为： j

j j

j X W X W EE ''=*1

根据经济效率的公式则可计算出基于投入的配置效率AE 1为经济效率（成本效率）EE 1与技术效率TE 1的比值，即：

1

1

1TE EE AE =

（二）基于产出的配置效率与经济效率度量模型 如果在投入一定的情况下，追求收益最大化的目标，即为测算基于产出的可变规模报酬条件下的收益最大化问题，此时我们相应地把经济效率称为收益效率。可以先利用VRS 所表示的DEA 模型测算出技术效率TE 0，然后再求解下面的收益最大的DEA 模型。

*'*j j y Y P j

,max λ

S.t. ()

⎪

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥≤∑∑∑==*

=K j Y y X j K

j j K

j j j K

j ...,2,101110

10λλλ

式中：P j 为第j 个决策单元产出品的价格向量；*j Y 为第j 个决策单元在既定的投入中X j 和产出品价格P j 下，使收益最大的最优的产出量。那么第j 个决策单元的经济效率为实际收益与最大收益的比率，用公式表示即为：

*''=j

j j

j Y P Y P EE 0

根据经济效率的公式则可计算出基于产出的配置效率AE 0为经济效率（收益效率）EE 0与技术效率TE 0的比值，即：

0TE EE AE =

六、DEA 方法在实践中的应用

随着经济发展的日益全球化，竞争日益加剧，企业家希望在现有的可利用资源的条件下，取得更好的效率，也不断追求更加高效的办公效率，这些都离不开效率的对比、评价和改进。这就使DEA 方法的应用范围日益扩展，已广泛应用于学校、医院、银行和等部门。

为了使DEA 应用更加方便，许多基于DEA 效率度量原理的计算机软件不断被开发和应用，如Deap 、Frontier 和OnFront 软件等，运用这些软件，可以省去求解线性规划的庞大而复杂的计算，只需将各个决策单元的投入要素和产出的数据录入，就可以判断其中有效率的决策单元和无效率的决策单元，并据此将各决策单元定级排队。同时还可以判断决策单元处于低效率状态的原因，并给出其投入或产出的调整方向和数量。根据效率值可以得到投入或产出增加或缩减的倍数，同时根据松弛量，还可以确定决策单元结构调整的方向和程度。

在具体的应用过程中，决策者首先根据其所能控制的是投入量还是产出量，选择基于投入的还是基于产出的效率度量方法没然后很据决策单元所处的规模报酬类型选择CRS 的DEA 模型还是VRS 的DEA 模型，软件会自动算出各决策单元的技术效率值个相应的投入或产出松弛，计算出的结果存在以下几种情况。

（1）技术效率值为1，且无投入松弛或产出松弛，即θv （或θc ）为1，IS 与OS 为0，说明该决策单元处于技术有效状态，该单元有效生产点处于生产函数的前沿上，在不减少产出的情况下，不能等比例地减少各种投入，也不能个别地减少某种投入。该决策单元处于技术有效率状态。

（2）技术效率值为1，但存在投入松弛或产出松弛，即θv （或θc ）为1，IS 与OS 不为0，则该决策单元处于弱技术有效率状态，说明其某些投入量已处于最小状态，所有投入不能按同一比例减少，但仍有可能对投入或产出进行结构性调整，在弱技术有效率状态下，决策单元的生产规模是适当的，仅存在投入结构或产出结构不合理的问题。在不减少产出（或不增加投入）的情况下，某些投入量（或产出）已达到最小（大）状态，不能再缩减（或增加），但有些投入量过大（或产出量过小），可以根据IS （或OS ）松弛量减少（或增加），但有些投入量过大（或产出量过小），可以根据IS （或OS ）松弛量减少（或增加）相应的数量。比如投入松弛量IS 为20，则此项投入应减少20个单位。

（3）技术效率小于1，不存在投入松弛或产出松弛，即θv （或θc ）小于1，IS 与OS 不为0，表明决策单元处于技术无效率状态，在产出不变的情况下，可以把各种投入同时缩小θv （或θc ）倍。比如θv 为0.75，则各个投入量可以缩减为原投入量的75%，而产出保持不变。

（4）技术效率小于1，且存在投入松弛或产出松弛，即θv （或θc ）小于1，IS 与OS 不为0，说明决策单元处于技术无效率状态，且存在投入结构或产出结构不合理的问题。在产出不变的情况下，可以吧各种投入同时缩小θv （或θc ）倍。比如θv 为0.75，则各个投入量可以缩减为原投入量的75%，而产出保持不变。在此基础上，还有些投入量过大（或产出量过小），可以根据IS （或OS ）松弛量减少（或增加）相应的数量。比如投入松弛量IS 为25个单位，则此项投入再减

少25个单位。

第三节 生产效率非参数度量运用实例

一、基于投入的技术效率估计

1、CRS 技术效率估计

例：假设有5家渔业养殖户，其投入为x 1和x 2，产出为y ，5家养殖户各自的投入产出数据如表7.1所示：

表7.1 基于投入的CRS 数据包络分析示例数据

用DEA 方法对5个养殖户的渔业生产进行效率评价，每个养殖户作为一个决策单元，需要求解5个线性规划问题，每个决策单元一次，以决策单元A 为例，度量其效率的线性规划问题可写成：

()[]

OS e IS e T T c 21ˆˆmax +-εθ

S.t. ⎪⎩⎪⎨⎧=-++++=+++++=+++++1554433221

121252542432322212111

1515414313212111y

OS y y y y y x IS x x x x x x IS x x x x x λλλλλθλλλλλθλλλλλ

式中：x 12为第二个决策单元B 对要素1的投入量，在本例中为2，将各决

策单元数据代人，即得决策单元A 的线性规划问题为：

()[]

OS e IS e T T c 21ˆˆmax +-εθ

S.t. ⎪⎩⎪

⎨⎧=-++++•=+++++•=+++++1

2132152252

6362254321

254321154321OS IS IS λλλλλθλλλλλθλλλλλ

求解5个线性规划问题得到每个决策单元的θ（技术效率）以及相应的λ值

如表7.2所示。决策单元B 和E 的技术效率为1，说明其技术效率达到100%，为有效率的决策单元，处于生产前沿上，这些有效率的决策单元通常成为其他决策单元提高效率的参照点。A 、C 和D 决策单元的技术效率为小于1，分别为50%、83.3%和71.4%，为无效率的决策单元。

表7.2 基于投入的不变规模报酬的DEA 分析结果

5个决策单元的生产前沿面如图7.8所示，横坐标为单位产出的x 1要素投入，纵坐标为单位产出的x 2要素投入。B 、E 处于生产函数前沿面上，是有效率的决策单元，A 、C 和D 处于生产函数前沿的右上方，是无效率的决策单元，应该选择有效率的单元作为参照进行改进。以决策单元D 为例，原点O 和D 的连线与生产前沿的交点为D 1，我们称D 1为D 点在生产前沿上的投影，D 1位于B 点和E 点之间，那么决策单元D 效率改进的参照点就是决策单元B 和E ，即决策单元D 是根据有效率的决策单元B 和E 评估并度量效率值的，D 1点是B 点和E 点的线性组合，其组合量就是表7.2中D 行的λ值，如下列公式所示，即D 1点在x 1和x 2的投入分别为2.144和1.428，产出D 点产出，那么D 1点在图7.8中的位置为（2.144,1.428）。同理，从图中可以看到，决策单元C 的参照点也为决策单元B 和E ，决策单元A 的参照点为决策单元B 。

()()⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+⨯==⨯+⨯=428.16286.02214.0144

.26286.02214.01

121D D x x

图7.8 基于投入的规模报酬变的DEA 模型分析示例生产函数前沿

由表7.2可以看到，D 点的技术效率为0.714，那么在保持其产出不变的条件下，把所有要素投入量减少到目前投入水平的71.4%，即0.714×（3，2）=（2.142，1.428），由于D 单元的产出为1，所以转换为单位产出的要素投入量仍为（2.142,1.428），即为图7.8中D 1点的投入要素使用量，而D 1点达到了当前技术的有效率水平，可见D 1点就是决策单元D 的改进目标。

同理决策单元C 的效率改进方法与D 相同。C 点技术效率为0.833，则在保持产出不变的条件下，把所有要素投入量减少到原来的83.3%，即0.833×（6，6）=（4.998,4.998），在转换为单位产出的要素投入量，由于C 单元的产出为3，则（4.998,4.998）/3=（1.666,1.666），即为图8中C 1点的投入要素使用量，C 1点就是决策单元C 的改进目标。

决策单元A 的效率改进方法则不同，因为从表2的度量测算结果可以看出，其x 2投入存在投入松弛0.5.从图7.8也可以看到，A 点在生茶前沿上的投影A 1处于B 上方，所以A 1不能代表一个有效率的点，因为我们可以减少0.5单位x 2的投入量（即在B 点生产）而保持同样的产出。所以决策单元A 的效率改进方

C 0.833 0 1.000 0 0 0.500 0 0 0

D 0.714 0 0.214 0 0 0.286 0 0 0

E 1.000 0 1.000 0

0 1.000 0

在效率度量过程中，我们还可以了解各决策单元作为效率改进参照单元的次数，从表4可以看到A、C、D是技术无效率的决策单元，不可能作为效率改进的参照单元，其次数均为零，而B和E为技术有效率的决策单元，其被作为参照单元的次数分别为3和2，如果某一决策单元作为参照单元的次数多，说明该决策单元的投入与产出比较具有一般性，容易进行推广，如果某一决策单元作为参照单元的次数少，说明该决策单元的投入产出具有某种特殊性，其决策单元难以效仿。此例中决策单元B比决策单元E更具有一般性。

表7.4 各决策单元作为参展单元的次数

利用DEA分析的可变规模报酬模型，可以度量纯技术效率TE VRS与规模效率SE，并且对于处于规模无效率的决策单元可以判断其所处的规模报酬阶段。

[例2] 选取例1中养殖户的投入产出数据，采用2.1版OnFont软件及2.1版DEAP软件度量各农户纯技术效率TE VRS与规模效率SE，结果见表7.5。

表7.5 纯技术效率、规模效率度量结果

从表7.5中可以看到，决策单元B与E的纯技术效率与规模规律均为1，则其综合效率也为1，处于有效率的状态；而决策单元A、C和D的纯技术效率均为1，但其规模效率小于1，所以其综合效率也小于1，处于无效率的状态，而其无效率的原因是由于规模效率较低导致的，为了进一步分析其规模效率低的原因，我们可以度量其非递增规模报酬的技术效率TE NIRS，从而判断其所处的规模报酬阶段，决策单元A和D的非递增规模报酬技术效率与综合效率相等，即TE NIRS=TE CRS，则处于规模报酬递增阶段，如果想提高规模效率与综合效率，应该进一步扩大生产规模；而决策单元D的非递增规模报酬技术效率大雨综合效率，即TE NIRS>TE CRS，则其处于规模报酬递减阶段，说明决策单元D的生产规模过大，已处于规模报酬递减阶段，应缩减生产规模，才能提高其规模效率与综合效率。

二、基于产出的技术效率度量

本例中采用（林东年等，<基于DEA的茂名市渔业生产技术效率评价>）1994 —2004 年茂名市渔业的年产量、养殖面积采用《广东省水产生产年报》中的数据，年产值（1990 年不变价）、中间物质消耗（1990 年不变价）、劳力采用《茂名市统计年鉴》中的数据，以每一年作为决策单元，其投入要素为中间物质和劳力，产出分别为捕捞产出和养殖产出，详见表7.6。

通过求解基于产出的规模报酬不变的DEA模型，可以得到每一年的技术效率如表7.7所示，可以看到1994、1995、2001、2002、2004年的生产在技术上是充分有效率的，其技术效率为1，而其他年份的技术效率小于1，是技术上的无效率的决策单元。

茂名市水产养殖生产的技术效率逐年升高( 见表7.7)，从1994年的46. 9%直线上升到2004年的100%，说明了近年来茂名市推广全雄性罗非鱼制种及养殖、牡蛎吊养、南美白对虾人工繁殖与养殖、名优品种繁殖与养殖和立体生态养殖等技术有效地提高了水产养殖技术水平，推动茂名市水产养殖产量实现大幅度 增长，从而保证了十年来茂名市水产品总量呈现良好的增长态势。以海水与淡水各自养殖面积为投入条件，由DEA 产出模型计算表明：1994—2004 年茂名市水产养殖整体技术效率较高，其中海水养殖产量随着养殖面积增加而增加，但其技术效率提高有限，归因于海水养殖水域遭到了污染，以及相关的技术支持投入较少看，导致海水养殖技术效率得不到提高。这说明目前海水养殖科技力度太小，与海水养殖现状极不相称。因此，为适应浅海养殖资源开发的需要，必须把科研重点放在攻关海水鱼贝繁殖培育技术、海水鱼类养殖技术、水东湾生态环境容量等重大课题上，努力提高海水养殖业科技水平，以促进茂名市海水养殖迅速发展。另一方面，茂名市淡水养殖生产的技术效率逐年升高，从1994年的45. 3%增长到2004年的100%，说明了近年来茂名市加大淡水养殖科技力度，推广全雄性罗非鱼制种及养殖等技术效果显著。

从表7.7中还可以看到，1994 —2004年茂名市渔业生产整体技术效率较高。其中1996年整体经济出现较大落差，这主要是因为海洋渔业资源遭到了破坏，海洋渔业生产效率降低了，但随着茂名市增加渔业科研的投入等一系列措施的实施，不断地提高了养殖产量，茂名市渔业经济才稳步上升，重新进入正常加速发展的轨道，整体技术效率较高。这也说明了渔业产量的增加，经济效益的提高，渔业经济增长方式的转变，渔业科技研究成果的不断增加，使茂名的渔业经济增长方式由以前的粗放规模型向集约效益型转变。

第四节 莫氏生产率指数

一、全要素生产率指数

（一）全要素生产率

全要素生产率TFP(Total Factor Productivity)是对生产系统的总体销量的度量，即生产系统的总产出与总投入之比。用X 、Y 分别表示生产系统的总投入和总产出，则全要素生产率TFP 为：

X

Y

TFP =

（二）全要素生产率指数

全要素生产率指数（即TFP 指数），也可称为TFP 增长率，是指两个时期产出与投入的比例之商，即：

s s t t s

t

x y x y TFP TFP st TFP ==

式中：TFP st 为全要素生产率指数，TFP t 为t 时期的全要素生产率，TFP s 为s 期

的全要素生产率，y t 、x t 分别为t 期的产出与投入，y s 、x s 分别为s 期的产出与投入。

（三）TFP 指数的度量方法

TFP 指数的度量方法很多，最常用的主要有索洛余值法、随机前沿生产函数法和非参数莫氏生产率指数法。

索洛余值法通常是先估算出总量生产函数后，采用产出增长率扣除各项投入要素增产率的余值来估算TFP 增长率，即：

TFP 增长率=总产出增长率—总投入增长率

随机前沿生产函数是一种残顺方法，通常是先假设一个生产函数，根据生产函数中误差项的分布假设的不同，采用不同的技术方法来估计生产函数中的参数，进而求得TFP 增长率。

非参数莫氏生产率指数法通常是直接利用线性规划的方法给出每个决策单元的边界生产函数的估算，从而对效率变化和技术变化进行度量。莫氏生产率指数变动值即为TFP 变动值。 二、莫氏指数及其度量

（一）莫氏指数

莫氏指数是由瑞典经济学家和统计学家Sten Malmquist 于1953年提出的，用于分析不同时期的消费变化。Caves 、Chrisrensen 和Diewert 于1982年首次提出莫氏生产率指数(Malmquist Productivity Index)，1994年Rolf Fare 、Grosskopf 、Norris 等人研究得出了该指数的非参数线性规划算法，建立了以考察全要素生产率增长的莫氏生产率指数（Malmquist 指数），进而Shephard 距离函数将全要素增长率分解为技术变动与效率变化，从而使莫氏生产率指数得到广泛应用。目前莫氏指数在现代生产率问题研究中的应用日益广泛，不断地被应用于哦农业、金融、医疗、公共管理、铁路等各种部门的生产率分析，以及生产率的国际比较研究。

莫氏生产率指数是基于DEA 方法的利用时序-截面数据（Panel Data ）计算的全要素生产率指数，是建立在距离函数的基础上的。距离函数可以从投入和产出两个不同的角度给出，面向投入的投入距离函数是在产出一定的情况下，投入向量能够向生产前沿面缩减的程度，以此来衡量生产技术的有效性。面向产出的产出距离函数则是在投入一定的情况下，考察产出向量的最大扩张程度。 （二）莫氏指数的含义

基于t 时期和基于产出的莫氏指数为：

()()

t t t

O t t t O t t t t t O

y x D y x D y x y x M ,)

,(,,1111++++= 式中：()()11,,++t t t t y x y x 和分别是t 时期和（t+1）时期的投入和产出向量；

()t t t

O

y x D ,为以t 时期技术为参照的t 时期投入产出向量的产出距离函数，()11,++t t t

O

y x D 为以t 时期技术为参照的（t+1）时期投入产出向量的产出距离函数。

图7.9 基于产出的莫氏生产率指数

若以F t 、F t+1分别表示t 时期和t+1时期的生产可能集，假设从t 时期和t+1时期发生技术进步，如图7.9所示，A(x t ，y t )点是t 时期技术可行点，而E(x t+1，

y t+1)是t+1时期技术可行点，但不是t 时期技术可行点。()t t t O y x D ,与()

11,++t t t

O y x D 都是以t 时期的技术为参考的，则其计算应以F t 生产可能集为参照，即：

()t t t O y x D ,ob oa =； ()11,++t t t

O y x D od

oe =

所以，基于t 时期的才产出角度的由A 点到E 点的Malmquist 指数为：

()()ob oa od

oe y x D y x D y x y x M t t t

O

t t t O t t t t t

O

==++++,),(,,1111 同理，若以t+1时期技术为参照，则距离函数的计算以F t+1生产可能集为

()()oa of

oe y x D y x D y x y x M

t t t O t t t O t t t t t O

==+++++++,),(,,1

111111 为了避免技术参照时期选择不同所导致莫氏生产率指数不同的现象，R.Fare

等人仿照Fisher 理想指数的构造方法，以t 时期和t+1时期技术为参照的莫氏生产率指数的几何平均数作为莫氏生产率指数，则基于产出的莫氏指数为：

()()()

()2

111111111,),(,,,,,⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡⨯=++++++++t t

t O t t t O t t t O t t t

O

t t t t O y x D y x D y x D y x D y x y x M

上式表示了t+1时期相对于t 时期的生产率。M O >1表明从t 时期到t+1时期的TFP 为正增长。R.Fare 等人同时证明了莫氏TFP 指数可以分解为技术效率变化和技术变化两部分，并可将技术效率变化进一步分解为纯技术效率变化和规模效率变化。莫氏生产率指数可以变形为：

()()()()()()()()()()()()()()2

12

12

11

1

11111112

11111111111112

11

1111111,),(,,,),(,),(,,,),(,,,),(,,,,,⎪

⎭⎫ ⎝

⎛⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⨯=+++++++++++++++++++++++++++++od of ob oc ob oa of oe oc oa ob oa of oe od oe ob oa of oe y x D y x D y x D y x D y x D y x D y x D y x D y x D y x D y x D y x D y x D y x D y x D y x D y x D y x D y x y x M t t t O t t t O t t t O t t t O t t t O t t t O t t t

O t t t

O t t t O t t t O t t t O t t t O t t t O t t t O t t t O t t t O t t t O t t t O t t t t O

式中右边第二部分表示技术进步，其中oc/ob 表示对于t 时期投入投入X ，

生产可能边界F t+1相对于F t 的产出变化，of/od 表示对于t+1时期投入X t+1，生产可能边界F t+1相对于F t 的产出变化，二者的几何平均数就表示技术水平的变化。第一部分表示效率的提高，其中oe/of 为E 点的技术效率，oa/ob 为A 点的技术效率，二者之比则表示技术效率的变化。技术效率的变化又可以进一步分解：

()()()()()()()t t t VRS t VRS t VRS t VRS t CRS t CRS t t t

O

t t t O SE SE TE TE SE TE SE TE TE TE y x D y x D 1

111111,),(+++++++⨯=⨯⨯== 所以，莫氏生产率指数的分解可以总结如下：

莫氏生产率变化指数M 0=技术变化×技术进步

=技术效率变化×规模效率变化×技术进步 莫氏生产率指数的分解表明，TFP 增长是技术进步与技术效率提高综合作用的结果，而技术效率的变化则是纯技术效率变化与规模效率变化的综合体现，规模效率的变化反应投入增长对全要素生生产率变化的影响，纯技术效率反映生产领域中技术更新速度的快慢和技术推广的有效程度。 （三）莫氏指数的计算

莫氏指数的计算，必须计算4个距离函数，这4个距离函数是用4个DEA 线性规划模型计算的。假设在CRS 技术状况下，利用基于产出的DEA 模型计算

()t t O y x D ,，增加时间下标，即：

()[]

ϕmax ,1

=-t t t

O

y x D

. S.t. ⎪⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪

⎪⎨⎧

≥-≥+-≥==∑∑01,,1

,,00

j N j t j j t i N

j t j j t i x x y y λλλϕ

其他3个距离函数的线性规划模型是：

()[]

ϕmax ,1

1

=-+t t t O

y x D

S.t. ⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪

⎪⎨⎧

≥-≥+-≥=++=++∑∑0111,1

1,1,00

j N j j j t i N j t j j t i x x y y λλλϕ

()[]

ϕmax ,1

11=-++t t t

O

y x D

S.t. ⎪⎪⎪⎪

⎩⎪

⎪⎪

⎪⎨⎧

≥-≥+-≥=+=+∑∑011,1

,1,00

j N j j j t i N j t j j t i x x y y λλλϕ

()[]

ϕmax ,,1

1

=-+t t t O

y t x D

S.t. ⎪⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪

⎪⎨⎧

≥-≥+-≥=+=+∑∑011,1

1,,00

j N j j j t i N

j t j j t i x x y y λλλϕ

三、莫氏指数估计实例

莫氏指数的计算需要采用时序-截面数据，即Panel Data 数据。下面以1999-—2007年份的我国渔业投入产出数据为例进行分析，计算其TFP 变化、技术进

本案例数据主要来源于《中国渔业年鉴》、《中国农业年鉴》、《中国农业统计资料》、《中国农村统计资料》、《中国价格及城镇居民收支调查》等统计资料。涉及的变量这要包括投入产出变量，包括渔业劳动、资本和总产出。产出变量产出变量采用渔业总产值，单位为万元。为了消除通货膨胀对研究结果的影响，采用1999年不变价。价格指数采用各年各地区的农产品生产价格指数。投入变量有两部分，首先是劳动投入，一般用人力资本存量来计量，本例用渔业劳动力人数作为人力资本存量投入。其次是资本投入，一部分是水域资源投入，包括内陆养殖面积和沿海地区海水养殖面积，单位为公顷；另一部分是渔业机械动力年末拥有量，单位为千瓦。

运用DEAP Version2.1 软件，对我国各地区渔业1999—2007 年的全要素生产率（TFP）、技术进步指数（MT）、技术效率变化指数（CRS下的技术效率变动MC）、纯技术效率指数（VRS下的技术效率变动MPC）、规模效率变动指数（MSC）进行了测算，结果见表7.8。

从表7.8可以看出，1999—2007年渔业平均TFP指数为1.037，说明全要素生产率为正增长，年增长率为3.7%，而全要素生产率增长的源泉是技术进步，技术变化指数为1.055，说明全国渔业生产技术平均每年提高5.5%，而全国渔业的技术效率反而下降了，效率变化为0.983，即全国渔业技术效率平均每年下降了1.7%，而技术下降的原因在于规模效率的下降。