自然边界条件

   上节中待求函数的边界值是已知的，本节放松边界值为可随意变动的情况。

这里的问题是： 在的区间内，决定一个函数y(x)使泛函

  取驻值

由上节的变分过程可知：

/  Euler方程仍必须成立，否则便能找到一个使大于（或等于）零。

在边界值中, 也可任意，故必须有（道理同前）：

在x=a及x=b处：    (﹡)

/ 边界条件（*）是根据取驻点的要求推导出来的，不是事先指定的。所以，这类条件为

自然边界条件。

（或）：在泛函的驻值寻找中，自变函数必须满足的条件（即在满足这些条件的函数中寻找泛函极值）称为基本/本质（Essential）边界条件；而事先不必考虑，变分的结果自然满足的边界条件称自然边界条件(Natural)。

/ 推广至更广泛的一些问题

在的区间内，决定一个函数y(x)使泛函

  取驻值，其中 P , Q为已知数值。

 求V的变分 设：

道理同前，还可得如下自然边界条件：

在        ，  

1.2.3.泛函的二阶变分

如函数的二阶微分用于判定函数驻值性质一样，泛函的二阶变分可用来判定泛函的驻值性质，的一阶小量部分称为的V一阶变分，记

的二阶小量部分称为的V二阶变分，记

（近似取）

Note:     

●极值性质结论：

                     V取极大值

                     V取极小值

             V取非极大的驻值（当为多元函数时）

             V取非极小的驻值

            V取非极值的驻值（不定或等于零）

1.2.4.  涉及高阶导数的驻值问题

先考虑下列泛函的驻值问题：

作法： / 求V的一阶变分，设：

/ 利用分步积分把上式第二项化成：

/ 连续用两次分步积分，把上式第三项化为：

代入式整理得：

/

由第一项可推出：

  Euler:  

  否则可找到一个，使的第一次大于（或小于）零。

分析中的第二项，若在边界上已知y，那么, =0于是第二项便恒等于0，反之，若可取任意值，那么应使：

否则，可找一个使的第二项大于（或小于）零。

分析中的第三项，如果在边界上不是已知，则应有：

        归纳本问题的边界条件：

         在 x=a及x=b处：

        y =已知 （基本条件） 或     （自然条件）

 =已知 （基本条件）  或         （自然条件）

homework ：求下列泛函的极值问题：

再考虑包含更高阶导数的泛函驻值问题，取： 

作法雷同

接连利用k次分步积分公式，上式中的代表项化为：

      可以化为：

        由于的任意性，可得：

        Euler : 

        在 x=a及x=b处：

           y =已知  或   

           =已知  或   

           =已知  或