立体几何专题复习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、多选题

1．

（多选题）如图，在下列四个正方体中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为1，点P 到底面ABC 的距离为2，则（）A ．该三棱锥的内切球半径为2

6B ．该三棱锥外接球半径为72

12

C ．该三棱锥体积为2

12D ．该三棱锥体积为6

12

3．

如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则（）A ．直线1BD ⊥平面11AC D

B ．二面角1B CD B --的大小为2

π

C ．三棱锥11P AC

D -的体积为定值

D ．异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

4．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论正确的是（）

A ．三棱锥1A D PC -的体积不变

B ．1//A P 平面1ACD

C ．1DP BC ^

D ．平面1PDB ^平面1

ACD 5．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，有下列四个命题，其中所有正确的命题是（）

A ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ

⊥B ．若//,//,m n m n αβ⊥，则//αβ

C ．若,//,αβ⊥⊥m n m n ，则//αβ

D ．若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，点

E 为PA 的中点，则下列判断正确的是（

）

A ．P

B 与CD 所成的角为60︒

B ．BD ⊥平面PAC

C ．PC ∥平面BDE

D ．:1:4

B CDE P ABCD V V --=二、单选题

7．已知在正四面体ABCD 中，点E 为棱AD 的中点，则异面直线CE 与BD 成角的余弦值为（

）

A ．6

B ．11

6C ．1

3D ．3

3

8．若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（

）①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭；②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭

.A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

9．用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图A B C '''V 如图所示，则在ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是（）

A ．A

B B ．AD

C ．BC

D ．AC 10．棱长为a 的正四面体的表面积为（）

A ．2312a

B ．238a

C ．234a

D ．2

3a 11．三棱锥P ABC -中，若PA PB PC ==，则P 在底面ABC 上的投影Q 为ABC 的（

）A ．垂心B ．外心C ．内心D ．中心

12．已知m ，n 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不重合的平面，下列说法正确的是（

）

A ．若//m α，//m β，则//αβ

B ．若//m α，//n α，则//m n

C ．若m α⊥，n α⊥，则//m n

D ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α13．如图正三棱柱ABC A B C '''-的底面边长为3，高为2，一只蚂蚁要从顶点A 沿三棱柱的表面爬到顶点

C '，若侧面AA C C ''紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（）

A ．13

B ．23+

C ．4

D ．37

+14．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，则以下结论：①//BD 平面11CB D ；

②1AC BD ⊥；③1AC ⊥平面11CB D ．其中正确结论的个数是（）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

三、填空题

15．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，则以下命题不成立的是__

（1）若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n

（2）若//m β，βα⊥，则m α

⊥（3）若m α⊥，m β⊂，则αβ

⊥（4）若//m α，//n β，//m n ，则//αβ

16．已知α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列四个结论中，正确的有__（填写所有正确结论的编号）

①若//m α，//n α，则//m n ；

②若m α⊥，//n α，则m n ⊥；

③若//αβ，m α⊂，则//m β；

④若m n ⊥．m α⊥，//n β，则αβ

⊥17．如图，在四面体A BCD -中，AC BD a ==，AC 与BD 所成的角为60 ，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为________．

18．在正三棱锥S ABC -中，6AB BC CA ===，点D 是SA 的中点，若SB CD ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为___________.

四、解答题

19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱1DD 的中点.

（1）求证：1//BD 平面ACE ；

（2）求异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值.

20．如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，1DA DC ==，12AA =，点E 是1D C 的中点．（1）求证：1//AD 平面EBD ；

（2）求三棱锥1D BDE -的体积．

21．如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1=AB =2，BC =3.

（1）求证：AB 1//平面BC 1D ；

（2）求AB 1与BD 所成角的余弦值.

22．如图所示，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE 垂直底面BCDE ，O ，F 分别为BE ，DE 的中点.

（1）求证：CE AF ⊥；

（2）在棱AC 上是否存在点P ，使得//BP 平面AOF ？若存在，请找出点P 的位置，若不存在，请说明理由.

23．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，

AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面；

（2）平面1EFA //平面BCHG .

24．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，3AD =，4BC =，M 为线段AD 上点，且满足2AM MD =，N 为PC 的中点.

（Ⅰ）证明：//MN 平面PAB ；

（Ⅱ）设三棱锥N BCM -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12

V V .25．如图，三棱柱111ABC A B C -中，122

AB BC AC BB ===

，1B 在底面ABC 上的射影恰好是点A ，E 是11A C 的中点.

（1）证明：1//A B 平面1B CE ；

（2）求1A B 与平面11BCC B 所成角的正弦值.

26．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F 为AC 中点.

（1）若此三棱柱为正三棱柱，且1112A A AC =

，求异面直线

1AB 与BF 所成角的大小；（2）求证：1AB //平面1BFC .

27．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.

（1）求证：//PB 平面ACM ；

（2）求三棱锥P ACM -的体积.

28．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心.

（1）求证:1B O//平面11DA C ;

（2）求点O 到平面11DA C 的距离.

29．在三棱锥A BCD -中，BCD △为等腰直角三角形，点E ，G 分别是线段BD ，CD 的中点，点F 在线段AB 上，且2BF FA =.若1AD =，3AB =，2CB CD ==.

（Ⅰ）求证：//AG 平面CEF ；

（Ⅱ）求直线AD 与平面CEF 所成的角.

30．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AA ===，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：直线1//AC 平面1B CD ；

（Ⅱ）设O 为线段1AC 上的动点，求三棱锥1O B CD -的体积.

31．如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.

（1）求证：1//BD 平面AEC ；

（2）若F 为

1CC 的中点，求证：平面//AEC 平面1BFD .

32．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 、N 分别为棱AC 、11A B 的中点，且AB BC

=（1）求证：平面BMN ⊥平面

11ACC A ；

（2）求证：//MN 平面11BCC B .

33．在矩形ABCD 中，24AB AD ==，E 是AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，得到如图所示的四棱锥-P BCDE ．

（1）若平面PDE ⊥平面BCDE ，求四棱锥-P BCDE 的体积；

（2）若PB PC =，求证：平面PDE ⊥平面BCDE ．

34．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝CD ＝2AB ＝2，M 为PC 的中点．

（1）求证：BM //平面PAD ．

（2）平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．

35．如图所示，已知三棱锥P ABC -，90ACB ∠= ，4CB =，20AB =，D 为AB 的中点，且PDB △是正三角形，PA PC ⊥．

（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；

（2）求二面角D AP C --的正弦值；

（3）若点M 为PB 的中点，求三棱锥M BCD -的体积．‘

36．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，且112AB AD CD ===.现以AD 为一边向梯形外作矩形ADEF ，然后沿边AD 将矩形ADEF 翻折，使ED DC ⊥，如图2.

（1）求证：BC ⊥平面BDE ；

（2）若多面体ABCDEF 的体积为23

，求直线CD 与平面BCE 所成角的正弦值.37．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC .

（1）证明：平面PBC ⊥平面PAC ；

（2）设2AB PC ==，1AC =，求二面角B PA C --的余弦值.

38．如图，在矩形ABCD 中，2,2AB BC ==，E 为BC 的中点，把△ABE 和△CDE 分别沿,AE DE 折

起，使点B 与点C 重合于点P ．

（1）求证：PE ⊥平面PAD ；

（2）求二面角P AD E --的大小