2018年杭州市中考数学试卷(含答案解析版)

一、选择题

1.=（    ）            

A. 3                                         B. -3                                         C.                     D. 

2.数据1800000用科学计数法表示为（    ）            

A. 1.86                               B. 1.8×106                               C. 18×105                D. 18×106

3.下列计算正确的是（    ）            

A.                            B.                            C.              D. 

4.测试五位学生“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了。计算结果不受影响的是（    ）            

A. 方差                                 B. 标准差         C. 中位数                                 D. 平均数

5.若线段AM，AN分别是△ABC边上的高线和中线，则（    ）            

A.                         B.                         C.         D. 

6.某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得+5分，每答错一题得-2分，不答的题得0分。已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了 道题，答错了 道题，则（    ）            

A.                      B.    C.         D. 

7.一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别有数字1—6）朝上一面的数字。任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（    ）            

A.                                           B.                                           C.            D. 

8.如图，已知点P矩形ABCD内一点（不含边界），设 ， ， ， ，若 ， ，则（    ）

A.                                B. 

C.                                D. 

9.四位同学在研究函数 （b，c是常数）时，甲发现当 时，函数有最小值；乙发现 是方程 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 时， ．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（    ）            

A. 甲                                         B. 乙                                         C. 丙                D. 丁

10.如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1  ， S2  ， （    ）

A. 若 ，则                              B. 若 ，则 

C. 若 ，则                              D. 若 ，则 

二、填空题

11.计算：a-3a=________。    

12.如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于A，B，若∠1=45°，则∠2=________。

13.因式分解： ________    

14.如图，AB是⊙的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交O于点D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DEA=________。

15.某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是________。

16.折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=________。

三、简答题

17.已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货，设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）。    

（1）求v关于t的函数表达式    

（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？    

18.某校积极参与垃圾分类活动，以班级为单位收集可回收的垃圾，下面是七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量频数和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）。

（1）求a的值。    

（2）已知收集的可回收垃圾以0.8元/kg被回收，该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得的金额能否达到50元。    

19.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线DE⊥AB于点E。

（1）求证：△BDE∽△CAD。    

（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长    

20.设一次函数 （ 是常数， ）的图象过A（1，3），B（-1，-1）    

（1）求该一次函数的表达式；    

（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值；    

（3）已知点C（x1  ， y1），D（x2  ， y2）在该一次函数图象上，设m=（x1-x2）（y1-y2），判断反比例函数 的图象所在的象限，说明理由。    

21.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD。

（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数；    

（2）设BC=a，AC=b；①线段AD的长度是方程 的一个根吗？说明理由。

②若线段AD=EC，求 的值．    

22.设二次函数 （a，b是常数，a≠0）    

（1）判断该二次函数图象与x轴交点的个数，说明理由．    

（2）若该二次函数的图象经过A（-1，4），B（0，-1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；    

（3）若a+b＞0，点P（2，m）（m>0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．    

23.如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG，于点E，BF⊥AG于点F，设 。

（1）求证：AE=BF；    

（2）连接BE，DF，设∠EDF= ，∠EBF= 求证： 

（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2  ， 求 的最大值．    

答案解析部分

一、选择题

1.【答案】A  

【考点】绝对值及有理数的绝对值   

【解析】【解答】解：|-3|=3【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，即可求解。

2.【答案】B  

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数   

【解析】【解答】解：1800000=1.8×106   

【分析】根据科学计数法的表示形式为：a×10n。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1，即可求解。

3.【答案】A  

【考点】二次根式的性质与化简   

【解析】【解答】解：AB、∵ ，因此A符合题意；B不符合题意；CD、∵ ，因此C、D不符合题意；

故答案为：A

【分析】根据二次根式的性质，对各选项逐一判断即可。

4.【答案】C  

【考点】中位数   

【解析】【解答】解：∵五个各不相同的数据，统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了∴中位数不会受影响

故答案为：C

【分析】抓住题中关键的已知条件：五个各不相同的数据，统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，可知最高成绩提高，中位数不会变化。

5.【答案】D  

【考点】垂线段最短   

【解析】【解答】解：∵线段AM，AN分别是△ABC边上的高线和中线，当BC边上的中线和高重合时，则AM=AN

当BC边上的中线和高不重合时，则AM＜AN

∴AM≤AN

故答案为：D

【分析】根据垂线段最短，可得出答案。

6.【答案】C  

【考点】二元一次方程的实际应用-鸡兔同笼问题   

【解析】【解答】根据题意得：5x-2y+0（20-x-y）=60,即5x-2y=60故答案为：C

【分析】根据圆圆这次竞赛得分为60分，建立方程即可。

7.【答案】B  

【考点】概率公式，复合事件概率的计算   

【解析】【解答】解：根据题意可知，这个两位数可能是：31、32、33、34、35、36，一共有6种可能得到的两位数是3的倍数的有：33、36两种可能

∴P（两位数是3的倍数）= 

【分析】利用列举法求出所有可能的结果数及得到的两位数是3的倍数的可能数，利用概率公式求解即可。

8.【答案】A  

【考点】三角形内角和定理，矩形的性质   

【解析】【解答】解：∵矩形ABCD∴∠PAB+∠PAD=90°即∠PAB=90°-∠PAB

∵∠PAB=80°

∴∠PAB+∠PBA=180°-80°=100°

∴90°-∠PAB+∠PBA=100°即∠PBA-∠PAB=10°①

同理可得：∠PDC-∠PCB=180°-50°-90°=40°②

由②-①得：∠PDC-∠PCB-（∠PBA-∠PAB）=30°

∴ 

故答案为：A

【分析】根据矩形的性质，可得出∠PAB=90°-∠PAB，再根据三角形内角和定理可得出∠PAB+∠PBA=100°，从而可得出∠PBA-∠PAB=10°①；同理可证得∠PDC-∠PCB=40°②，再将②-①，可得出答案。

9.【答案】B  

【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值   

【解析】【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为:（1,3）且图像经过（2，4）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+3

∴a+3=4

解之：a=1

∴抛物线的解析式为：y=（x-1）2+3=x2-2x+4

当x=-1时，y=7，

∴乙说法错误

故答案为：B

【分析】根据甲和丙的说法，可知抛物线的顶点坐标，再根据丁的说法，可知抛物线经过点（2,4），因此设函数解析式为顶点式，就可求出函数解析式，再对乙的说法作出判断，即可得出答案。

10.【答案】D  

【考点】三角形的面积，平行线分线段成比例   

【解析】【解答】解:如图，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BM⊥AC于点M

∴DF∥BM，设DF=h1  ， BM=h2

∴ 

∵DE∥BC

∴ 

∴ 

∵若 

∴设 =k＜0.5（0＜k＜0.5）

∴AE=AC∙k，CE=AC-AE=AC（1-k)，h1=h2k

∵S1= AE∙h1= AC∙k∙h1  ， S2= CE∙h2= AC（1-k）h2

∴3S1= k2ACh2  ， 2S2=（1-K）∙ACh2

∵0＜k＜0.5

∴ k2＜（1-K）

∴3S1＜2S2

故答案为：D

【分析】过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BM⊥AC于点M，可得出DF∥BM，设DF=h1  ， BM=h2  ， 再根据DE∥BC，可证得 ，若 ，设 =k＜0.5（0＜k＜0.5），再分别求出3S1和2S2  ， 根据k的取值范围，即可得出答案。

二、填空题

11.【答案】-2a  

【考点】合并同类项法则及应用   

【解析】【解答】解：a-3a=-2a故答案为：-2a

【分析】利用合并同类项的法则计算即可。

12.【答案】135°  

【考点】对顶角、邻补角，平行线的性质   

【解析】【解答】解：∵a∥b∴∠1=∠3=45°

∵∠2+∠3=180°

∴∠2=180°-45°=135°

故答案为：135°

【分析】根据平行线的性质，可求出∠3的度数，再根据邻补角的定义，得出∠2+∠3=180°，从而可求出结果。

13.【答案】

【考点】提公因式法因式分解   

【解析】【解答】解：原式=（b-a）（b-a）-（b-a）=（b-a）（b-a-1）【分析】观察此多项式的特点，有公因式（b-a）,因此提取公因式，即可求解。

14.【答案】30°  

【考点】垂径定理，圆周角定理   

【解析】【解答】解：∵DE⊥AB∴∠DCO=90°

∵点C时半径OA的中点

∴OC= OA= OD

∴∠CDO=30°

∴∠AOD=60°

∵弧AD=弧AD

∴∠DEA= ∠AOD=30°

故答案为：30°

【分析】根据垂直的定义可证得△COD是直角三角形，再根据中点的定义及特殊角的三角函数值，可求出∠AOD的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出结果。

15.【答案】60≤v≤80  

【考点】一次函数的图象，一次函数的实际应用，一次函数的性质   

【解析】【解答】解：根据题意得:甲车的速度为120÷3=40千米/小时2≤t≤3

若10点追上，则v=2×40=80千米/小时

若11点追上，则2v=120，即v=60千米/小时

∴60≤v≤80

故答案为：60≤v≤80

【分析】根据函数图像可得出甲车的速度，再根据乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，可得出t的取值范围，从而可求出v的取值范围。

16.【答案】或3  

【考点】勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题）   

【解析】【解答】∵当点H在线段AE上时把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上

∴四边形ADFE是正方形

∴AD=AE

∵AH=AE-EH=AD-1

∵把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上

∴DC=DH=AB=AD+2

在Rt△ADH中，AD2+AH2=DH2

∴AD2+（AD-1）2=（AD+2）2

解之：AD=3+2 ，AD=3-2 （舍去）

∴AD=3+2 

当点H在线段BE上时

则AH=AE-EH=AD+1

在Rt△ADH中，AD2+AH2=DH2

∴AD2+（AD+1）2=（AD+2）2

解之：AD=3，AD=-1（舍去）

故答案为： 或3

【分析】分两种情况：当点H在线段AE上；当点H在线段BE上。根据①的折叠，可得出四边形ADFE是正方形，根据正方形的性质可得出AD=AE，从而可得出AH=AD-1（或AH=AD+1），再根据②的折叠可得出DH=AD+2，然后根据勾股定理求出AD的长。

三、简答题

17.【答案】（1）有题意可得：100=vt，则 

（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物，∴t≦5，

则v≧ =20

答：平均每小时至少要卸货20吨。  

【考点】一元一次不等式的应用，反比例函数的性质，根据实际问题列反比例函数关系式   

【解析】【分析】（1）根据已知易求出函数解析式。

（2）根据要求不超过5小时卸完船上的这批货物，可得出t的取值范围，再求出t=5时的函数值，就可得出答案。

18.【答案】（1）观察频数分布直方图可得出a=4

（2）设收集的可回收垃圾总质量为W，总金额为Q∵每组含前一个边界值，不含后一个边界

W＜2×4.5+4×5+3×5.5+1×6=51.5kg

Q＜515×0.8=41.2元

∵41.2＜50

∴该年级这周的可回收垃圾被回收后所得全额不能达到50元。  

【考点】频数（率）分布表，频数（率）分布直方图   

【解析】【分析】（1）观察频数分布直方图，可得出a的值。

（2）设收集的可回收垃圾总质量为W，总金额为Q，根据每组含前一个边界值，不含后一个边界，求出w和Q的取值范围，比较大小，即可求解。

19.【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，△ABC为等腰三角形

∵AD是BC边上中线

∴BD=CD，AD⊥BC

又∵DE⊥AB

∴∠DEB=∠ADC

又∵∠ABC=∠ACB

∴△BDE∽△CAD

（2）∵AB=13，BC=10BD=CD= BC=5，AD2+BD2=AB2

AD=12

∵△BDE∽△CAD

∴ ，即 

∴DE= 

【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质   

【解析】【分析】（1）根据已知易证△ABC为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质及垂直的定义证明∠DEB=∠ADC，根据两组角对应相等的两三角形是相似三角形，即可证得结论。

(2）根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理求出AD的长，再根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出DE的长。

20.【答案】（1）根据题意，得，解得k=2，b=1

所以y=2x+1

（2）因为点（2a+2，a2）在函数y=2x+1的图像上，所以a2=4a+5

解得a=5或a=-1

（3）由题意，得y1-y2=（2x1+1）-（2x2+1）=2（x1-x2）所以m=（x1-x2）（y1-y2）=2（x1-x2）2≥0，

所以m+1＞0

所以反比例函数 的图像位于第一、第三象限  

【考点】因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的性质   

【解析】【分析】（1）根据已知点的坐标，利用待定系数法，就可求出一次函数的解析式。

（2）将已知点的坐标代入所求函数解析式，建立关于a的方程，解方程求解即可。

（3）先求出y1-y2=2（x1-x2），根据m=（x1-x2）（y1-y2），得出m=2（x1-x2）2≥0，从而可判断m+1的取值范围，即可求解。

21.【答案】（1）因为∠A=28°，所以∠B=62°又因为BC=BD，所以∠BCD= ×（180°-62°）=59°

∴∠ACD=90°-59°=31°

（2）因为BC=a，AC=b，所以AB= 所以AD=AB-BD= 

①因为 = =0

所以线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根。

②因为AD=EC=AE= 

所以 是方程x2+2ax-b2=0的根，

所以 ，即4ab=3b

因为b≠0，所以 = 

【考点】一元二次方程的根，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的认识   

【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据已知可得出△BCD是等腰三角形，可求出∠BCD的度数，从而可求得∠ACD的度数。

（2）根据已知①BC=a，AC=b，利用勾股定理可求出AB的值，①再求出AD的长，再根据AD是原方程的一个根，将AD的长代入方程，可得出方程左右两边相等，即可得出结论；②根据已知条件可得出AD=EC=AE= ，将 代入方程化简可得出4ab=3b，就可求出a与b之比。

22.【答案】（1）当y=0时， （a≠0）因为△=b2+4a（a+b）=（2a+b）2

所以，当2a+b=0，即△=0时，二次函数图像与x轴有1个交点；

当2a+b≠0，即△＞0时，二次函数图像与x轴有2个交点。

（2）当x=1时，y=0，所以函数图象不可能经过点C（1，1）

所以函数图象经过A（-1，4），B（0，-1）两点，

所以 

解得a=3，b=-2所以二次函数的表达式为 

（3）因为P（2，m）在该二次函数的图像上，所以m=4a+2b-（a+b）=3a+b

因为m＞0，所以3a+b＞0，

又因为a+b＞0，

所以2a=3a+b-（a+b）＞0，

所以a＞0  

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题   

【解析】【分析】（1）根据题意求出△=b2-4ac的值，再分情况讨论，即可得出答案。

（2）根据已知点的坐标，可排除点C不在抛物线上，因此将A、B两点代入函数解析式，建立方程组求出a、b的值，就可得出函数解析式。

（3）抓住已知条件点P（2，m）（m>0）在该二次函数图象上，得出m=3a+b,结合已知条件m的取值范围，可得出3a+b＞0，再根据a+b＞0，可证得结论。

23.【答案】（1）因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAF+∠EAD=90°，又因为DE⊥AG，所以∠EAD+∠ADE=90°，

所以∠ADE=∠BAF，

又因为BF⊥AG，

所以∠DEA=∠AFB=90°，

又因为AD=AB

所以Rt△DAE≌Rt△ABF，

所以AE=BF

（2）易知Rt△BFG∽Rt△DEA，所以 在Rt△DEF和Rt△BEF中，tanα= ，tanβ= 

所以ktanβ= = = = =tanα

所以 

（3）设正方形ABCD的边长为1，则BG=k，所以△ABG的面积等于 k因为△ABD的面积等于 

又因为 =k，所以S1= 

所以S2=1- k- = 

所以 =-k2+k+1= ≤ 

因为0＜k＜1，所以当k= ，即点G为BC中点时， 有最大值 

【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形   

【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的定义，可证得∠ADE=∠BAF，∠ADE=∠BAF及AD=AB，利用全等三角形的判定，可证得Rt△DAE≌Rt△ABF，从而可证得结论。

（2）根据已知易证Rt△BFG∽Rt△DEA，得出对应边成比例，再在Rt△DEF和Rt△BEF中，根据锐角三角函数的定义，分别表示出tanα、tanβ，从而可推出tanα=tanβ。

（3）设正方形ABCD的边长为1，则BG=k，分别表示出△ABG、△ABD的面积，再根据 =k,求出S1及S2  ， 再求出S1与S2之比与k的函数解析式，求出顶点坐标，然后根据k的取值范围，即可求解。