高考数学圆锥曲线的常用公式及结论(非常推荐)

圆锥曲线

1.椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.

2.椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式

)(21c a x e PF +=，)(2

2x c

a e PF -=.

3．椭圆的的内外部

（1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部22

00221x y a b ⇔+<.

（2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的外部22

00221x y a b

⇔+>.

4. 椭圆的切线方程

(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y

a b +=.

（2）过椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程

是

00221x x y y

a b

+=. （3）椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是

22222A a B b c +=.

5.双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式

21|()|a PF e x c =+，2

2|()|a PF e x c

=-.

6.双曲线的内外部

(1)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22

00221x y a b ⇔->.

(2)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的外部22

00221x y a b

⇔-<.

7.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a

b

y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-22

22

b y a x .

(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦

点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.

8. 双曲线的切线方程

(1)双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是

00221x x y y

a b

-=. （2）过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦

方程是

00221x x y y

a b

-=.

（3）双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是

22222A a B b c -=.

9. 抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02

p CF x =+. 过焦点弦长p x x p

x p x CD ++=+++=21212

2.

10.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2

y p y

或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，

其中 22y px =.

11.二次函数2

2

24()24b ac b y ax bx c a x a a

-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：

（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241

(,)24b ac b a a -+-；（3）

准线方程是241

4ac b y a

--=.

12.抛物线的内外部

(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>.

(4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->.

13. 抛物线的切线方程

(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. （2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是

00()y y p x x =+.

（3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.

14.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是

12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22

2

21x y a k b k +=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.

15.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =

1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点

A ),(),,(2211y x

B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0

)y ,x (F b

kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为

直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.

16.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是

00(2-,2)0F x x y y -=.

（2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是

2222

2()2()

(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.

17.“四线”一方程

对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02

y y

+代y 即得方程

0000000222

x y xy x x y y

Ax x B Cy y D E F ++++⋅

++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.