高中数学 第三章 指数函数和对数函数 第4节 对数第1课

1．理解并掌握对数的概念，并能熟练进行指数式与对数式的互化．

2．掌握对数运算性质，并能运用其运算性质进行化简、求值和证明．

3．能利用对数知识用字母表示对数，解对数方程．

1．对数

(1)定义：一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数____叫作以a为底N的对数，记作____＝b.其中a叫作对数的______，N叫作______．logaN读作以a为底N的对数．

    对数式logaN＝b可看作一种记号，表示关于b的方程ab＝N(a＞0，a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN＝b又可看作幂运算的逆运算．

(2)特殊对数：通常将以____为底的对数叫作常用对数，并把log10N简记作______；在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以____为底的对数称为自然对数，并把logeN简记作______．

(3)常见结论：负数和零没有对数；loga1＝______；logaa＝______；alogaN＝______.

【做一做1－1】 3b＝5化为对数式是(    )．

A．logb3＝5                            B．log35＝b

C．log5b＝3                            D．log53＝b

【做一做1－2】 log117＝x化为指数式是(    )．

A．7x＝11                             B．11x＝7

C．x7＝11                             D．x11＝7

2．对数的运算性质

如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则：

(1)loga(MN)＝________；(2)logaMn＝________(n∈R)；(3)loga＝__________.

    注意：loga(MN)≠(logaM)(logaN)，

loga(M＋N)≠logaM＋logaN，loga≠.

积的对数变加法，商的对数变减法，

幂的乘方取对数，要把指数提到前．

【做一做2】 若a＞0，a≠1，x＞y＞0，下列式子中正确的个数是(    )．

①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.

A．0             B．1              C．2                 D．3

答案：1．(1)b　logaN　底数　真数　(2)10　lg N　e　lnN

(3)0　1　N

【做一做1－1】 B

【做一做1－2】 B

2．(1)logaM＋logaN　(2)nlogaM　(3)logaM－logaN

【做一做2】 A

1．如何理解对数的概念及性质？

剖析：由于ab＝Nb＝logaN，故借助指数来分析理解对数的概念及性质．

(1)对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数．对数式与指数式的关系如图所示．

在指数式ab＝N中，若已知a，N求幂指数b，便是对数运算b＝logaN.

(2)对数记号logaN只有在a＞0，a≠1，N＞0时才有意义．

因为在ab＝N中，a＞0，a≠1，所以在logaN中，a＞0，a≠1.

又因为正数的任何次幂都是正数，即ab＞0(a＞0)，故N＝ab＞0.

(3)并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如(－2)2＝4不能写成log－24＝2，只有在a＞0，a≠1，N＞0时，才有ab＝Nb＝logaN.

2．如何正确运用对数的运算法则？

剖析：(1)在运算过程中避免出现以下错误：

loga(MN)＝logaM·logaN.

loga＝.

logaNn＝(logaN)n.

logaM±logaN＝loga(M±N)．

(2)注意前提条件：a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，尤其是M，N都是正数这一条件，否则M，N中有一个小于或等于0，就导致logaM或logaN无意义，另外还要注意，M＞0，N＞0与M·N＞0并不等价．

(3)要注意对数运算法则的逆用．

题型一  指数式与对数式的互化

【例1】 (1)将对数式＝－3化为指数式；

(2)将指数式－2＝16化为对数式；

(3)求式子log2(log5x)＝0中的x.

分析：利用ab＝Nb＝logaN.

反思：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段．

题型二 化简、求值

【例2】 计算下列各式的值：

(1)log2＋log212－log242；

(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.

分析：利用对数运算性质进行计算．

反思：对于同底的对数的化简，常用方法是：

(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数，如本题(1)；

(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)，如本题(2)．

题型三  对数基本性质的应用

【例3】 求下列各式中x的值．

(1)log2(log4x)＝0；

(2)log3(lg x)＝1；

(3) ＝x.

分析：解答本题可利用对数的基本性质及对数与指数之间的关系求解．

反思：1.对数的性质：

(1)零和负数没有对数．

(2)设a＞0，a≠1，则有a0＝1.所以loga1＝0.即1的对数等于0.

(3)设a＞0，a≠1，则有a1＝a，所以logaa＝1，即底数的对数为1.

2．利用“底数”和“1”的对数的值为“1”和“0”，有利于化简和计算．

题型四  用已知对数表示其他对数

【例4】 用logax，logay，logaz表示下列各式：

(1)loga；(2)loga.

分析：应用对数的运算性质解决．

反思：用已知对数表示其他对数时，关键是应用对数运算性质，将真数“拆”成已知对数的真数形式．

题型五 易错辨析

易错点 忽略真数大于0导致出错

【例5】 已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求的值．

错解：因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，

所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.

所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.

则＝1或＝4，所以＝＝0或＝＝4.

错因分析：错解中忽略了lg x＋lg y＝2lg(x－2y)成立的前提是即x＞2y＞0，在求出x，y的关系后未检验是否满足前提条件，从而导致产生增根．

答案：【例1】 解：(1)因为＝－3，所以－3＝27.

(2)因为－2＝16，所以＝－2.

(3)因为log2(log5x)＝0，

所以log5x＝1，则x＝51＝5.

【例2】 解：(1)原式＝log2＝log2＝－.

(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2

＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)

＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.

【例3】 解：(1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1.

∴x＝41＝4.

(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3.

∴x＝103＝1 000.

(3)∵＝x，

∴(－1)x＝

＝＝

＝－1.∴x＝1.

【例4】 解：(1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；

(2)loga＝loga(x2)－loga＝logax2＋loga－loga＝2logax＋logay－logaz.

【例5】 正解：因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，

所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.

所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.

因为x＞0，y＞0，x－2y＞0，所以x＝y应舍去．

则＝4，所以

1 (2011长春高一期末)下列指数式与对数式互化不正确的一组是(    )．

A．e0＝1与ln 1＝0

B．与

C．log39＝2与＝3

D．log77＝1与71＝7

2 在b＝log2(5－a)中，实数a的取值范围是(    )．

A．a＞5          B．a＞0           C．a＜5           D．R

3 (2011浙江台州高一期末)log2的值是(    )．

A．         B.             C．            D.

4 若log3＝0，则x＝__________.

5 已知log23＝a，log25＝b，用a，b表示下列各式：

(1)log20.6；(2)log2；(3)log2.

答案：1．C　选项C中，log39＝2的指数式为32＝9.

2．C　由对数的定义，知5－a＞0a＜5.

3．D　log2＝.

4．－4　由题意得＝1，解得x＝－4，经检验x＝－4是原方程的根．

5．解：(1)log20.6＝log2 ＝log23－log25＝a－b.

(2)log2 log2(3×5×2)＝(log23＋log25＋log22)＝(a＋b＋1)．

(3)log2＝－log2125＝log23－3log25＝a－3b.