2024年福建省中考真题数学试卷含答案解析

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列实数中，无理数是（ ）

A ．3-

B ．0

C ．

2

3

D

2．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT （《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）A ．696110⨯B ．2

696.110⨯C ．4

6.96110⨯D ．5

0.696110⨯【答案】C

【分析】根据科学记数法的定答，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中

110,a n ≤<∣∣为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．

本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键．【详解】469610 6.96110=⨯故选：C ．

3．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

【详解】解：这个立体图形的俯视图是一个圆形，圆形内部中间是一个长方形．故选：C ．

4．在同一平面内，将直尺、含30︒角的三角尺和木工角尺（CD ⊥DE ）按如图方式摆放，若AB CD ，则1∠的大小为（ ）

A ．30︒

B ．45︒

C ．60︒

D ．75︒

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质，由AB CD ，可得60CDB ∠=︒，即可求解．【详解】∵AB CD ，∴60CDB ∠=︒，

∵CD ⊥DE ，则90CDE ∠=︒，∴118030CDB CDE ∠=︒-∠-∠=︒，故选：A ．

5．下列运算正确的是（ ）A ．339a a a ⋅=B ．422

a a a ÷=C ．()2

35

a a =D ．2222

a a -=【答案】B

【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项运算法则．利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项计算后判断正误．【详解】解：336a a a ⋅=，A 选项错误；

422a a a ÷=，B 选项正确；

()

2

3

6a a =，C 选项错误；

2222a a a -=，D 选项错误；故选：B ．

6．哥德提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）A ．

14

B ．

13

C ．1

2

D ．

23

由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2163=，故选：B

7．如图，已知点,A B 在O 上，72AOB ∠=︒，直线MN 与O 相切，切点为C ，且C 为 AB 的中点，则ACM ∠等于（ ）

A ．18︒

B ．30︒

C ．36︒

D ．72︒

8．今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x 亿元，则符合题意的方程是（ ）A ．()1 4.7%120327x +=B ．()1 4.7%120327x -=C ．

120327

1 4.7%x

=+D ．

120327

1 4.7%

x

=-【答案】A

【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，列出方程即可．

【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为x 亿元，根据题意得：

()1 4.7%120327x +=，

故选：A ．

9．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB 与ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，

OE OF ⊥．下列推断错误的是（ ）

A ．O

B OD ⊥B ．BO

C AOB ∠=∠C ．OE OF =

D ．180BOC AOD ∠+∠=︒

C.由对称得OAB ODC ≌，

∵点 E ，F 分别是底边AB CD ，的中点，

OE OF ∴=，结论正确，故不符合题意；

D.

过O 作GM OH ⊥，

90GOD DOH ∴∠+∠=︒，90BOH DOH ∠+∠=︒ ，

GOD BOH ∴∠=∠，由对称得BOH COH ∠∠=，

GOD COH ∴∠=∠，

同理可证AOM BOH ∠=∠，

AOD BOC ∠∠∴+AOD AOM DOG =∠+∠+∠180=︒，结论正确，故不符合题意；

故选：B ．

10．已知二次函数()2

20y x ax a a =-+≠的图象经过1,2a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()23,B a y 两点，则下列判断

正确的是（ ）

A ．可以找到一个实数a ，使得1y a >

B ．无论实数a 取什么值，都有1y a >

C ．可以找到一个实数a ，使得20y <

D ．无论实数a 取什么值，都有20

y <

二、填空题

11．因式分解：x 2+x = ．

【答案】()

1x x +【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x 即可．

【详解】解：()

21x x x x +=+12．不等式321x -<的解集是 ．

【答案】1

x <【分析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为1，求解即可解．

【详解】解：321x -<，

33x <，

1x <，

故答案为：1x <．

13．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成

【答案】90

【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大．

根据中位数的定义（数据个数为偶数时，排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中的数据进行计算即可；

【详解】解：∵共有12个数，

∴中位数是第6和7个数的平均数，

+÷=；

∴中位数是(9090)290

故答案为：90．

14．如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为．

15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k y x

=

的图象与O 交于,A B 两点，且点,A B 都在第一象限．若()1,2A ，则点B 的坐标为 ．

∵反比例函数k y x

=的图象与∴221

k k ==，设()B n m ，则2

nm k ==∵22215

OB OA ==+=

16．无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角PDA ∠为70︒，帆与航行方向的夹角PDQ ∠为30︒，风对帆的作用力F 为400N ．根据物理知识，F 可以分解为两个力1F 与2F ，其中与帆平行的力1F 不起作用，与帆垂直的力2F 仪可以分解为两个力1f 与21,f f 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；2f 与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：400F AD ==，则2f CD == ．（单位：N ）（参考数据：sin400.,cos400.77︒=︒=）

【答案】128

【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出40ADQ ∠=︒，130PDQ ∠=∠=︒，由AB QD ∥得到40BAD ADQ ∠=∠=︒，求出2sin 256F BD AD BAD ==⋅∠=，求出

∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角∴70ADQ PDA PDQ ∠=∠-∠=∵AB QD ∥，

∴40BAD ADQ ∠=∠=︒，

在Rt △ABD 中，400F AD ==sin 400F BD AD BAD ==⋅∠=三、解答题

17．计算：0(1)5-+--【答案】4

【分析】本题考查零指数幂、绝对值、算术平方根等基础知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．

根据零指数幂、绝对值、算术平方根分别计算即可；

【详解】解：原式152=+-4=．

18．如图，在菱形ABCD 中，点E F 、分别在BC CD 、边上，AEB AFD ∠=∠，求证：BE DF =．

【答案】见解析

【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．根据菱形的性质证得AB AD =，B D ∠=∠，再根据全等三角形的判定证明()AAS ABE ADF ≌△△即可．

【详解】证明： 四边形ABCD 是菱形，

AB AD ∴=，B D ∠=∠，

AEB AFD ∠=∠ ，

()AAS ABE ADF ∴ ≌，

BE DF ∴=．

19．解方程：3122

x x x +=+-．

20．已知A 、B 两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A 地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．

(1)求A 地考生的数学平均分；

(2)若B 地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B 地考生数学平均分一定比A 地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明．

21．如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，其中()()2,0,0,2A C --．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若P 是二次函数图象上的一点，且点P 在第二象限，线段PC 交x 轴于点,D PDB △的面积是CDB △的面积的2倍，求点P 的坐标．

22．如图，已知直线1l 2l．

(1)在12,l l 所在的平面内求作直线l ，使得l 1l 2l ，且l 与1l 间的距离恰好等于l 与2l 间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)在（1）的条件下，若1l 与2l 间的距离为2，点,,A B C 分别在12,,l l l 上，且ABC 为等腰直角三角形，求ABC 的面积．直线l 就是所求作的直线．

（2）①当90,BAC AB AC ∠=︒=l 1l 2l ，直线1l 与2l 间的距离为称性可知：2BC =，

2AB AC ∴==，

②当90,ABC BA BC ∠=︒=时，

分别过点,A C 作直线1l 的垂线，垂足为90AMB BNC ∴∠=∠=︒．

l l l ，直线l 与l 间的距离为22

③当90,ACB CA CB ∠=︒=时，同理可得，综上所述，ABC 的面积为1或23．已知实数,,,,a b c m n 满足3,b c m n mn a a

+==．

-为非负数；

b ac

a b c均为奇数，,m n是否可以都为整数？说明你的理由．

(2)若,,

24．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD ，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE FB =），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．

图1 图2 图3

(1)直接写出AD AB

的值；(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）

图4

A ．

B ．

C ．

D ．(3)卡纸型号型号Ⅰ型号Ⅱ型号Ⅲ

规格（单位：cm ）

3040⨯2080⨯8080⨯单价（单位：元）3

520现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE ，EF 的比例，制作棱长为10cm 的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．

（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答

题卡的表格上；

④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）

【答案】(1)2；(2)C ；

(3)见解析．

【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键．

（1）由折叠和题意可知，GH AE FB =+，AH DH =，四边形EFNM 是正方形，得到

由折叠和题意可知，∵四边形EFNM

∴EM EF

=，即

+=

∴GH AG AE∴型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：

型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：

∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号

⨯+⨯+⨯=（个），

102231127

∴所用卡纸总费用为：

202533158⨯+⨯+⨯=（元）．

25．如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，AE OC ⊥，垂足为,E BE 的延长线交 AD 于点F ．

(1)求OE AE

的值；(2)求证：AEB BEC △∽△；

(3)求证：AD 与EF 互相平分．

∴∠AO BO = ，

AOE BOM ∴△≌△，

,AE BM OE OM ∴==12

OE AE = ，2BM OE EM ∴==，

90ADB AFB ∴∠=∠=,90AB AC BAC ∠== 2,BC BD DAB ∴=∠=由（2）知，AEB △∽△22AE AB AO BE BC BD ∴===