“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)[1]

1．（仅文科做），求证：．

1【解析】不妨设，则，且当时，．于是在上单调增．∴．即有．

同理可证．

，当时，．于是在上单调增。

∴在上有。即。

注记：也可用三角函数线的方法求解．

2．为边长为的正五边形边上的点．证明：最长为．（25分）

2【解析】以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

⑴当中有一点位于点时，知另一点位于或者时有最大值为；当有一点位于点时，；

⑵当均不在轴上时，知必在轴的异侧方可能取到最大值（否则取点关于轴的对称点，有）．

不妨设位于线段上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使最大的点必位于线段上．

且当从向移动时，先减小后增大，于是；

对于线段上任意一点，都有．于是

由⑴，⑵知．不妨设为．

下面研究正五边形对角线的长．

如右图．做的角平分线交于．

易知．

于是四边形为平行四边形．∴．

由角平分线定理知．解得．

3．为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值．（25分）

3【解析】不妨设过点的切线交轴于点，过点的切线交轴于点，直线与直线相交于点．如图．设，

且有．

由于，

于是的方程为；①

的方程为．    ②

联立的方程，解得．

对于①，令，得；

对于②，令，得．

于是．

．不妨设，，则

  ③

不妨设，则有

                              6个       9个

． ④

又由当时，③，④处的等号均可取到．

∴．

注记：不妨设，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．

由知当时；当时．

则在上单调减，在上单调增．于是当时取得最小值．

4．向量与已知夹角，，，，，．在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围．（25分）

4【解析】不妨设，夹角为，则，令

．

其对称轴为．而在上单调增，故．

当时，，解得．

当时，在上单调增，于是．不合题意．

于是夹角的范围为．

5．（仅理科做）存不存在，使得为等差数列．（25分）

5【解析】不存在；否则有，

则或者．

若，有．而此时不成等差数列；

若，有．解得有．

而，矛盾！

2011年“北约”自主招生数学试题及解答

2012年“北约”自主招生数学试题及解答

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