四川省资阳市2013届高三第一次诊断性考试 数学理(2013资阳一诊)

数 学（理工农医类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷共150分，考试时间为120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回．

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x|－2＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∩B＝

（A）{x|－2＜x＜1}    （B）{x|1＜x＜2}        （C）{x|－2＜x＜3}    （D）{x|2＜x＜3}

2．函数的定义域为

（A）            （B）            （C）    （D）

3．设i是虚数单位，复数

 （A）            （B）            （C）                （D）1

4．幂函数图象过点，则

（A）            （B）3                （C）                （D）

5．命题p：，，则

（A）p是假命题；:， 

（B）p是假命题；:， 

（C）p是真命题；:， 

（D）p是真命题；:， 

6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象

（A）向左平移个长度单位                （B）向右平移个长度单位

（C）向右平移个长度单位                （D）向左平移个长度单位

7．已知，，且，则函数与函数的图象可能是

8．已知数列是公比为q的等比数列，且，，成等差数列，则q＝

（A）1或        （B）1                （C）            （D）－2

9．若，则下列不等式一定不成立的是

（A）                                （B）

（C）                    （D）

10．电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80 min，其中广告时间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，其中广告时间为1 min，收视观众为20万．已知该企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320 min的节目时间．则该电视台通过这两套连续剧所获得的收视观众最多为

（A）220万            （B）200万            （C）180万            （D）160万

11．函数，函数，若存在，使得成立，则实数m的取值范围是

（A）            （B）            （C）            （D）

12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则函数＝在上的所有零点之和为

（A）7                （B）8                （C）9                （D）10

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

注意事项：

1．第Ⅱ卷共2页，请用0.5mm的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上．

2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 把答案直接填在题目中的横线上．

13．若，是第二象限的角，则_______． 

14．计算： ________．

15．已知函数若，则实数的取值范围是　　　　　． 

16．在数列中，如果对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题：①若数列满足，，（），则该数列不是比等差数列；②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；③等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列．

其中所有真命题的序号是_________________．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分） 已知等差数列的前n项和为，且，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和．

18．（本小题满分12分） 命题实数x满足（其中），命题实数满足

（Ⅰ）若，且为真，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 

19．（本小题满分12分） 在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若、，求．

20．（本小题满分12分） 已知函数（且）的图象过点，点关于直线的对称点在的图象上．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）令，求的最小值及取得最小值时x的值．

21．（本小题满分12分） 设、是函数图象上任意两点，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若（其中），求；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设（），若不等式＞对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围． 

22．（本小题满分14分）  已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

（Ⅲ）求证：（其中，e是自然对数的底数）．

资阳市高中2013级诊断性考试

数学（理工农医类）参及评分意见

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1－5. BDCAC；6－10.DBACB；11－12.CB.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

13．； 14．8； 15．； 16．①③．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分． 

17．解析：（Ⅰ）设数列的公差为d，依题意得：

解得∴数列的通项公式．    4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

∴    6分

．    12分

18．解析：（Ⅰ）由得，又，所以，

当时，1<，即为真时实数的取值范围是1<.      2分

由得解得，

即为真时实数的取值范围是.     4分

若为真，则真且真，所以实数的取值范围是.     6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知p：，则：或，    8分

q：，则：或，    10分

是的充分不必要条件，则，且，

∴解得，故实数a的取值范围是．    12分

19．解析：（Ⅰ）∵，

∴，    2分

由正弦定理得，

由余弦定理得，    4分

∵0＜A＜π，∴．    6分

（Ⅱ）∵，∴，

由得，

解得．    12分

20．解析：（Ⅰ）点关于直线的对称点Q的坐标为.    2分

由得    4分

解得，，故函数解析式为．    6分

（Ⅱ）（），

    8分

∵，

当且仅当即时，“＝”成立，     10分

而函数在上单调递增，则，

故当时，函数取得最小值1．    12分

21．解析：（Ⅰ） 

．    4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，，

由得，，

∴，

∴．    8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，，不等式即为，设，

则，

∴，

∴数列是单调递增数列，∴，    10分

要使不等式恒成立，只需，即，

∴或解得.

故使不等式对于任意正整数n恒成立的的取值范围是.    12分

22．解析：（Ⅰ）当时，（），

（），

由解得，由解得．

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．    4分

（Ⅱ）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可．    5分

由，

（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立．    6分

（ⅱ）当时，由，因，所以，

①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在上无最大值（或：当时，），此时不满足条件；

②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件．    8分

（ⅲ）当时，由，∵，∴，

∴，故函数在上单调递减，故成立．

综上所述，实数a的取值范围是．    10分

（Ⅲ）据（Ⅱ）知当时，在上恒成立（或另证在区间上恒成立），    11分

又，

∵

，

∴．    14分