北京市丰台区2017届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习  

高三数学（文科）2017.01

第一部分 （选择题  共40分） 

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合， ，那么等于

(A)

(B)

(C)

(D)

2．如果，那么下列不等式一定成立的是

(A)

(B)

(C)

(D)

3．如图，矩形中，，，向该矩形内随机投一质点，则质点落在

四边形内的概率为

(A)	(B)
(C)	(D)

4．已知直线，和平面，如果，那么“”是“”的

(A)  充分而不必要条件	(B)  必要而不充分条件
(C)  充分必要条件	(D)  既不充分也不必要条件

5．平面向量， ， ，如果，且，那么实数， 

的值分别是

(A)  ，

(B)  ，

(C)  ，

(D)  ，

6．在△中，，，，则的值为

(A)

(B)

(C)  或

(D)  或

7. 学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧，每天一部.受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演；《茶馆》不能在周一和周三上演；《天籁》不能在周三和周四上演；《马蹄声碎》不能在周一和周四上演.那么下列说法正确的是

(A)  《雷雨》只能在周二上演

(B)  《茶馆》可能在周二或周四上演

(C)   周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》

(D)   四部话剧都有可能在周二上演

8. 已知函数．给出下列命题：

①当时，，都有；

②当时，，都有；

③当时，，使得．

其中真命题的个数是 

(A)

(B)

(C)

(D)

第二部分 （非选择题  共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9.  设是虚数单位，则复数=    ．

10. 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，如果

，那么该双曲线的渐近线方程为    ．

11．若满足则的最大值为____. 

12．已知过点的直线交圆于，两点，，则直线的方程为____．  

13. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸=10分）.

节气

冬至

小寒 (大雪)

大寒 (小雪)

立春 (立冬)

雨水 (霜降)

惊蛰 (寒露)

春分 (秋分)

清明 (白露)

谷雨 (处暑)

立夏 (立秋)

小满 (大暑)

芒种 (小暑)

夏至

晷影长 （寸）

已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为____寸．

14．如图，边长为2的正三角形ABC放置在平面直角坐标系xOy中，AC在x轴上，顶点B与y轴上的定点P重合．将正三角形ABC沿x轴正方向滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC滚动到△时，顶点B运动轨迹的长度为          ；在滚动过程中，的最大值为____．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

已知函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在区间[]上的最值．

16.（本小题共13分）

已知等差数列满足，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）数列满足，求数列的前和．

17.（本小题共14分）

如图,三棱柱中，，，，是的中点．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求证：⊥平面；

（Ⅲ）若，，求三棱柱的体积．

18.（本小题共13分）

近几年，“互联网+”已经影响了多个行业，在线教育作为现代信息技术同教育相结合的产物，也引发了教育领域的变革．目前在线教育主要包括在线测评、在线课堂、自主学习、线下延伸四种模式．为了解学生参与在线教育情况，某区从2000名高一学生中随机抽取了200名学生，对他们参与的在线教育模式进行调查，其调查结果整理如下：(其中标记“√”表示参与了该项在线教育模式)．

  教育模式

人数（人）	在线测评	在线课堂	自主学习	线下延伸
25	√	√		√
45		√
40	√	√
30	√		√	√
40		√		√
20	√		√

（Ⅰ）试估计该区高一学生中参与在线课堂教育模式的人数；

（Ⅱ）在样本中用分层抽样的方法从参与自主学习的学生中抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求这2人都参与线下延伸教育模式的概率．

19.（本小题共13分）

已知椭圆：的右焦点为，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程； 

（Ⅱ）过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．

20.（本小题共14分）

    已知函数．

(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)若函数在区间上仅有一个极值点，求实数的取值范围；

(Ⅲ)若，且方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的最小值．

丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习

高三数学（文科）参及评分参考

                                                                       2017．01

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．

题号	1	2	3	4	5	6	7	8
答案	C	D	B	B	A	D	C	B

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．                             10．           11．4       

    12．或       13．82                  14．；2                   

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由题意可知，

                             ……………………2分

     

                                      ……………………4分

  由此可知，.                                   ……………………6分

（Ⅱ）由可知，

，进而，        ……………………8分

当时，，                  ……………………9分

所以函数在区间上的最大值为，最小值为． …………13分

16．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）因为，所以                        ……………………2分

         又，可得，                        ……………………4分

         从而.                                        ……………………6分 

（Ⅱ）因为                          ……………………7分 

         所以数列的前和为

                 

                                                            ……………………13分17．（本小题共14分）

证明：（Ⅰ）连接交于，连接， 

  因为分别为，的中点，所以         ……………………2分

       

          又因为平面，平面， 

          所以平面.                                  ……………………4分

    （Ⅱ）因为，是的中点，

          所以.                                         ……………………5分

          又因为，，

         所以△为等边三角形，所以                ……………………7分

        因为，所以⊥平面                ……………………9分

    （Ⅲ）因为△与△都是边长为2的正三角形，

          所以，

因为，

所以， 

          所以，                                      ……………………11分

          又因为，，                   

          所以平面， 即是三棱柱的高，            ……………………13分

        故三棱柱的体积                     ……………………14分

18．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）因为在样本200人中参与在线测试的共150人               ……………………2分

        所以全区2000名高一学生中参与在线课堂的人数为人  ………5分

   （Ⅱ）记“抽取参加测试的2人都参加了线下延伸”为事件A          ……………………6分

 用分层抽样抽取的5人中，有3人参加了自主学习和线下延伸，记为1，2，3；

 有2人参加了自主学习和在线测评，记为a,b.                ……………………8分

         6人中抽取2人，共有（1，2）（1，3）（1，a）（1，b）（2，3）（2，a）（2，b）（3，a） 

        （3，b）（a，b）10种取法                                ……………………10分

         其中事件A包含3个．                                  ……………………11分

     所以                                        ……………………13分

19．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由已知得：，，所以  

         所以椭圆的标准方程为                         ……………………4分

  （Ⅱ）设，， 

       设直线MN的方程为：                           ……………………6分

                             

    由得：                     ……………………7分

    ，                               ……………………8分

        ……………9分

            

            

               

    因为，所以                   ……………………12分

所以直线PM，PF，PN的斜率成等差数列.                  ……………………13分

20．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）因为,所以，

 因为，

 所以曲线在点，处的切线方程为.  ……………………4分

   （Ⅱ）因为，所以，

  当时，在上恒成立，

所以在上单调递增，没有极值点，不符合题意；……………………5分

    当时，令得，

当变化时，与的变化情况如下表所示：

	(-∞,)		(,)		(,+∞)
	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

当

……………………7分

因为函数在区间，仅有一个极值点，

    所以所以.                            ……………………9分

(Ⅲ) 令，

方程在上恰有两个实数根等价于函数在上恰有两个零点.

， 

因为，令，得，                ……………………10分

    所以所以  ，

所以                            ……………………12分

因为，所以恒成立.

所以，所以实数的最小值为2.                       ……………………14分

恒成立，证明如下：

令，

所以， 

令，，

当时，，

所以在上单调递增，

所以.

（若用其他方法解题，请酌情给分）