2020-2021学年北师大版七年级下期末数学试卷及答案-精品试卷

一、单项选择题（下面每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确答案的字母代号填在答题卡内，本题10个小题，每小题3分，共30分）

1．下列图形中，轴对称图形的个数是（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

2．下列计算正确的是（　　）

A．2x2+3x2=5x4    B．﹣5x2+（3x）2=4x2    C．2x2•3x3=6x6    D．2x2•x3=4x5

3．广东省和计划生育委员会6月6日通报，广东新增一例输入性寨卡病毒病例，截至目前，广东省今年共报告13例寨卡病毒病例，寨卡病毒是一种通过蚊虫叮咬进行传播的虫蝶病毒，典型的症状包括急性起病的地热、斑丘疹、关节疼痛（主要累及手、足小关节）、结膜炎，其他症状包括肌痛、头痛、眼眶痛及无力，易导致新生儿小头症，其直径为20纳米（1米=1000000000纳米），用科学记数法表示为（　　）

A．2×107米    B．2×108米    C．2×10﹣7米    D．2×10﹣8米

4．苹果熟了，从树上落下，下列几幅图中，可以大致反映苹果下落过程的是（　　）

A．    B．    C．    D．

5．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（　　）

①（2a+b）（m+n）；　　　

②2a（m+n）+b（m+n）；

③m（2a+b）+n（2a+b）；　

④2am+2an+bm+bn．

A．①②    B．③④    C．①②③    D．①②③④

6．下列说法正确的是（　　）

A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等

B．角平分线就是角的对称轴

C．如果两个角相等，那么这两个角互为对顶角

D．有一条公共边的两个角互为补角

7．若等腰三角形的一边是9，另一边是5，则此等腰三角形的周长是（　　）

A．23    B．19    C．19或23    D．无法确定

8．如果两个角的一边在同一直线上，而另一边互相平行，那么这两个角（　　）

A．相等    B．互补    C．相等且互余    D．相等或互补

9．将一个正方形纸片依次按图a，图b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，最后将图d的纸再展开铺平，所看到的图案是（　　）

A．    B．    C．    D．

10．如图在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AB；③△BRP≌△CSP，其中正确的是（　　）

A．①②    B．②③    C．①③    D．①②③

二、填空题（本题6个小题，每小题3分，共18分，把最后答案直接填在题中的横线上）

11．计算：12x3y2z÷（﹣4xy）=______．

12．“任意买一张电影票，座位号是5的倍数”，此事件是______．

13．如图，△ABC中，∠A=100°，若BM、CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M=______．

14．若m+n=12，mn=32，则m2+n2=______．

15．如图，把宽为3cm的纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B、C两点恰好落在AD边的P点处，若△PFH的周长为16cm，则长方形ABCD的面积为______．

16．下面是用棋子摆成的“上”字型图案：

按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：

（1）第五个“上”字需用______枚棋子；

（2）第n个“上”字需用______枚棋子．

三、解答题（72分，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）（本题2个小题，共16分）

17．计算：

（1）a（b﹣a）﹣b（a﹣b）

（2）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）

18．如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∠AEB=90°，设AD=x，BC=y，且（x﹣3）2+|y﹣4|=0

（1）求AD和BC的长；

（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论．

（二）（本题2个小题，共12分）

19．先化简，再求值：（3a+b）2﹣（a﹣b）（b+a），其中a=1，b=﹣3．

20．如图所示，是反映了爷爷每天晚饭后从家中出发去散步的时间与距离之间的关系的一幅图．

（1）爷爷每天散步多长时间？

（2）爷爷散步时最远离家多少米？

（3）分别计算爷爷离开家后的20分钟内、45分钟内的平均速度．

（三）（本题2个小题，共16分）

21．甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负．

（1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？

（2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？

（3）若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？

22．作图：

如图（1），把大小为4×4的正方形方格分割成两个全等图形，（例如图1），请在如图1中，沿着虚线画出两种不同的分法，把4×4的正方形方格分割成两个全等图形．

（2）如图（2），∠AOB内部有两点M和N，请找出一点P，使得PM=PN，且点P到∠AOB两边的距离相等．（保留作图痕迹，不用证明）

（3）如图（3），要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短，请在图中用点Q标出奶站应建地点（保留作图痕迹，不用证明）

（四）（本题2个小题，共16分）

23．“速算”是指在特定的情况下用特定的方方进行计算，它有很强的技巧性．如：末位数字相同，手位数字和为十的两位数想乘，它的方法是：两首位相乘再加上末位得数作为前积，末位的平方作为后积（若后积是一位数则十位补0），前积后面天上后积就是得数．

如：84×24=100×（8×2+4）+42=2016

42×62=100×（4×6+2）+22=2604

（1）仿照上面的方法，写出计算77×38的式子

78×38=______=______；

（2）如果分别用a，b表示两个两位数的十位数字，用c表示个位数字，请用含a、b、c的式子表示上面的规律，并说明其正确性；

（3）猜想4418×5618怎样用上面的方法计算？写出过程．

24．如图1，等腰直角三角形ABC的顶点B在直线l上，AB=BC，∠ABC=90°，AD垂直直线l于D，CE垂直直线l于E．

（1）求证：△ADB≌△BEC．

（2）如图2，若F是AC的中点，连接BF，请你再连接DF和EF，试判断△DEF的形状，并证明你的结论．

（五）（本题12分）

25．如图，已△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明；

②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？

（2）若点Q以②的运动速度从点C出发点P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC的三边运动，求多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

 参与试题解析

一、单项选择题（下面每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确答案的字母代号填在答题卡内，本题10个小题，每小题3分，共30分）

1．下列图形中，轴对称图形的个数是（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：第一个图形是轴对称图形；

第二个图形是轴对称图形；

第三个图形不是轴对称图形；

第四个图形是轴对称图形；

综上共有3个轴对称图形．

故选C．

2．下列计算正确的是（　　）

A．2x2+3x2=5x4    B．﹣5x2+（3x）2=4x2    C．2x2•3x3=6x6    D．2x2•x3=4x5

【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据单项式乘单项式的法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的性质计算即可．

【解答】解：A、2x2+3x2=5x2，故错误；

B、﹣5x2+（3x）2=4x2，故正确；

C、2x2•3x3=6x5，故错误；

D、2x2•x3=2x5，故错误；

故选B．

3．广东省和计划生育委员会6月6日通报，广东新增一例输入性寨卡病毒病例，截至目前，广东省今年共报告13例寨卡病毒病例，寨卡病毒是一种通过蚊虫叮咬进行传播的虫蝶病毒，典型的症状包括急性起病的地热、斑丘疹、关节疼痛（主要累及手、足小关节）、结膜炎，其他症状包括肌痛、头痛、眼眶痛及无力，易导致新生儿小头症，其直径为20纳米（1米=1000000000纳米），用科学记数法表示为（　　）

A．2×107米    B．2×108米    C．2×10﹣7米    D．2×10﹣8米

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：20纳米=20×10﹣9米=2×10﹣8米．

故选：D．

4．苹果熟了，从树上落下，下列几幅图中，可以大致反映苹果下落过程的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】函数的图象．

【分析】分析苹果从树上落下来时，速度与时间的关系．

【解答】解：苹果从树上落下来，做的是匀加速直线运动，所以速度随时间而增加，故选C．

5．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（　　）

①（2a+b）（m+n）；　　　

②2a（m+n）+b（m+n）；

③m（2a+b）+n（2a+b）；　

④2am+2an+bm+bn．

A．①②    B．③④    C．①②③    D．①②③④

【考点】多项式乘多项式；单项式乘多项式．

【分析】根据图中长方形的面积可表示为总长×总宽，也可表示成各矩形的面积和，

【解答】解：表示该长方形面积的多项式

①（2a+b）（m+n）正确；　　　

②2a（m+n）+b（m+n）正确；

③m（2a+b）+n（2a+b）正确；　

④2am+2an+bm+bn正确．

故选：D．

6．下列说法正确的是（　　）

A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等

B．角平分线就是角的对称轴

C．如果两个角相等，那么这两个角互为对顶角

D．有一条公共边的两个角互为补角

【考点】角平分线的性质；余角和补角；对顶角、邻补角．

【分析】（A）根据角平分线的性质进行判断；

（B）根据角的轴对称性质进行判断；

（C）根据对顶角的定义进行判断；

（D）根据补角的定义进行判断．

【解答】解：（A）根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到这个角两边的距离相等，故（A）正确；

（B）根据角的轴对称性质可知，角平分线所在直线就是角的对称轴，故（B）错误；

（C）根据对顶角的定义可知，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角互为对顶角，故（C）错误；

（D）根据补角的定义可知，如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角，故（D）错误．

故选（A）

7．若等腰三角形的一边是9，另一边是5，则此等腰三角形的周长是（　　）

A．23    B．19    C．19或23    D．无法确定

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．

【分析】分边长为9的边为底边和腰两种情况，再结合三角形的三边关系判断是否符合条件，再计算其周长即可．

【解答】解：当边长为9的边为底时，则三角形的三边为9、5、5，符合三角形的三边关系，所以其周长为19，

当边长为9的边为腰时，则三角形的三边为9、9、5，符合三角形的三边关系，所以其周长为23，

综上可知该三角形的周长为19或23．

故选：C．

8．如果两个角的一边在同一直线上，而另一边互相平行，那么这两个角（　　）

A．相等    B．互补    C．相等且互余    D．相等或互补

【考点】平行线的性质．

【分析】首先根据题意作图，然后根据两直线平行，同位角相等与邻补角的关系，即可求得答案．

【解答】解：如图，分两种情况：

①∠A与∠1的一边在直线AC上，另一边AB∥DE，

∴∠1=∠A；

②∠A与∠2的一边在直线AC上，另一边AB∥DF，

∵∠1+∠2=180°，∠1=∠A，

∴∠2+∠A=180°．

综上，可知这两个角的关系是相等或互补．

故选D．

9．将一个正方形纸片依次按图a，图b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，最后将图d的纸再展开铺平，所看到的图案是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】剪纸问题．

【分析】由于剪纸是先折叠再剪，两条折痕互相垂直，且两个半圆是左右对此的，分析四个选项应用排除法获得答案．

【解答】因为两条对称轴互相垂直平分且四边相等的四边形是菱形，所以折纸左下角剪后便是菱形，在折纸中心，半圆左右对称，图案d符合题意

故：选D

10．如图在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AB；③△BRP≌△CSP，其中正确的是（　　）

A．①②    B．②③    C．①③    D．①②③

【考点】全等三角形的判定；平行线的判定．

【分析】连接AP，△APR≌△APS，可得AS=AR；∠PQC=∠APQ+∠QAP=2∠QAP=∠PAB+∠PAQ=∠BAQ，则PQ∥AB；

③在Rt△BRP和Rt△CSP中，只有PR=PS，因而不能判定全等．

【解答】解：连接AP，

在△APR和△APS中，

∵∠ARP=∠ASP=90°，

∴在Rt△APR和Rt△APS中，

∵，

∴△APR≌△APS（HL），

∴AS=AR，故①是正确的，

∠BAP=∠SAP，

∴∠SAB=∠BAP+∠SAP=2∠SAP，

在△AQP中，

∵AQ=PQ，

∴∠QAP=∠APQ，

∴∠CQP=∠QAP+∠APQ=2∠QAP=2∠SAP．

∴PQ∥AB，故②是正确的，

Rt△BRP和Rt△CSP中，

只有PR=PS，

∴不满足三角形全等的条件，

故③是错误的．

故选A．

二、填空题（本题6个小题，每小题3分，共18分，把最后答案直接填在题中的横线上）

11．计算：12x3y2z÷（﹣4xy）=　﹣3x2yz　．

【考点】整式的除法．

【分析】根据整式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相乘计算；

【解答】解：12x3y2z÷（﹣4xy）=﹣3x2yz．

故答案为：﹣3x2yz．

12．“任意买一张电影票，座位号是5的倍数”，此事件是　随机事件　．

【考点】随机事件．

【分析】根据随机事件的定义就是可能发生也可能不发生的事件，根据定义即可判断．

【解答】解：任意买一张电影票，座位号是5的倍数”，是随机事件．

故答案是：随机事件．

13．如图，△ABC中，∠A=100°，若BM、CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M=　40°　．

【考点】三角形的外角性质．

【分析】由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB，再利用邻补角可求得∠DBC+∠ECB，根据角平分线的定义可求得∠MBC+∠MCB，在△BMC中利用三角形内角和定理可求得∠M．

【解答】解：∵∠A=100°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=80°，

∴∠DBC+∠ECB=180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB=360°﹣（∠ABC+∠ACB）=360°﹣80°=280°，

∵BM、CM分别平分∠DBC和∠ECB，

∴∠MBC+∠MCB=（∠DBC+∠ECB）=×280°=140°，

∴∠M=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣140°=40°，

故答案为：40°．

14．若m+n=12，mn=32，则m2+n2=　80　．

【考点】完全平方公式．

【分析】把m+n=12两边平方，利用完全平方公式化简，将mn=32代入计算即可求出所求式子的值．

【解答】解：把m+n=12两边平方得：（m+n）2=144，即m2+2mn+n2=144，

把mn=32代入得：m2+n2=80，

故答案为：80

15．如图，把宽为3cm的纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B、C两点恰好落在AD边的P点处，若△PFH的周长为16cm，则长方形ABCD的面积为　48cm2　．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】先依据翻折的性质求得矩形的长，然后在依据矩形的面积公式求解即可．

【解答】解：由翻折的性质可知：BF=PF，PH=CH．

∵△PFH的周长为16cm，

∴BF+FH+HC=16，即BC=16cm．

∴S矩形ABCD=AB•BC=16×3=48cm2．

故答案为：48cm2．

16．下面是用棋子摆成的“上”字型图案：

按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：

（1）第五个“上”字需用　22　枚棋子；

（2）第n个“上”字需用　4n+2　枚棋子．

【考点】规律型：图形的变化类．

【分析】（1）找规律可以将上字看做有四个端点每次每个端点增加一个，还有两个点在里面不发生变化，从而确定答案；

（2）用通项公式表示出规律即可．

【解答】解：“上”字共有四个端点每次每个端点增加一枚棋子，而初始时内部有两枚棋子不发生变化，

即：第一个有4×1+2=6个棋子；

第二个有4×2+2=10个棋子；

第三个有4×3+2=14个棋子；

…

第五个有4×5+2=22个棋子；

所以第n个字需要4n+2枚棋子．

故答案为：22，4n+2．

故答案为：4n+2．

三、解答题（72分，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）（本题2个小题，共16分）

17．计算：

（1）a（b﹣a）﹣b（a﹣b）

（2）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）

【考点】整式的混合运算．

【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可解答本题；

（2）利用平方差公式可以解答本题．

【解答】解：（1）a（b﹣a）﹣b（a﹣b）

=ab﹣a2﹣ab+b2

=﹣a2+b2；

（2）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）

=

=

=

=．

18．如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∠AEB=90°，设AD=x，BC=y，且（x﹣3）2+|y﹣4|=0

（1）求AD和BC的长；

（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论．

【考点】平行线的判定；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．

【分析】（1）根据绝对值和完全平方公式的性质得出x，y的值即可得出答案；

（2）根据已知得出∠EAB+∠EBA+∠DAE+∠EBC=90°+90°=180°，再由平行线的判定得出即可．

【解答】解：（1）∵（x﹣3）2+|y﹣4|=0，

∴x﹣3=0，y﹣4=0，

解得：x=3，y=4，

∴AD=3，BC=4；

（2）AD∥BC．

理由：∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，

∴∠DAE=∠EAB，∠CBE=∠EBA，

∵∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，

∴∠DAE+∠EBC=90°，

∴∠EAB+∠EBA+∠DAE+∠EBC=90°+90°=180°，

∴AD∥BC．

（二）（本题2个小题，共12分）

19．先化简，再求值：（3a+b）2﹣（a﹣b）（b+a），其中a=1，b=﹣3．

【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．

【解答】解：（3a+b）2﹣（a﹣b）（b+a）

=9a2+6ab+b2﹣a2+b2

=8a2+6ab+2b2，

当a=1，b=﹣3时，原式=8×12+6×1×（﹣3）+2×（﹣3）2=8．

20．如图所示，是反映了爷爷每天晚饭后从家中出发去散步的时间与距离之间的关系的一幅图．

（1）爷爷每天散步多长时间？

（2）爷爷散步时最远离家多少米？

（3）分别计算爷爷离开家后的20分钟内、45分钟内的平均速度．

【考点】函数的图象．

【分析】（1）根据图象可以看出45分钟后爷爷李家的距离为零，说明回到了家中，故爷爷每天散步45分钟；

（2）根据图象可直接得到答案，爷爷最远时离家900米；

（3）利用路程÷时间=速度进行计算即可．

【解答】解：（1）45分钟；

（2）900米；

（3）20分钟内的平均速度为900÷20=45（米/分），

45分钟内的平均速度为900×2÷45=40（米/分）．

（三）（本题2个小题，共16分）

21．甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负．

（1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？

（2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？

（3）若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？

【考点】概率公式．

【分析】根据概率的求法，找准两点：

①、全部情况的总数；

②、符合条件的情况数目．

二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：（1）若甲先摸，共有15张卡片可供选择，其中写有“石头”的卡片共3张，

故甲摸出“石头”的概率为；

（2）若甲先摸且摸出“石头”，则可供乙选择的卡片还有14张，其中乙只有摸出卡片“锤子”或“布”才能获胜，

这样的卡片共有8张，故乙获胜的概率为；

（3）若甲先摸，则“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”四种卡片都有可能被摸出，

若甲先摸出“锤子”，则甲获胜（即乙摸出“石头”或“剪子”）的概率为；

若甲先摸出“石头”，则甲获胜（即乙摸出“剪子”）的概率为；

若甲先摸出“剪子”，则甲获胜（即乙摸出“布”）的概率为；

若甲先摸出“布”，则甲获胜（即乙摸出“锤子”或“石头”）的概率为．

故甲先摸出“锤子”获胜的可能性最大．

22．作图：

如图（1），把大小为4×4的正方形方格分割成两个全等图形，（例如图1），请在如图1中，沿着虚线画出两种不同的分法，把4×4的正方形方格分割成两个全等图形．

（2）如图（2），∠AOB内部有两点M和N，请找出一点P，使得PM=PN，且点P到∠AOB两边的距离相等．（保留作图痕迹，不用证明）

（3）如图（3），要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短，请在图中用点Q标出奶站应建地点（保留作图痕迹，不用证明）

【考点】作图—应用与设计作图；全等图形；角平分线的性质；轴对称-最短路线问题．

【分析】（1）画出分割线，使得两个图形能够完全重合即可；

（2）先作出MN的中垂线，再作出∠AOB的中垂线，交点即为所求点；

（3）作出A关于m的对称点A′，连接BA′，与m相交于Q．

【解答】解：（1）如图1；

（2）如图2；

（3）如图3．

（四）（本题2个小题，共16分）

23．“速算”是指在特定的情况下用特定的方方进行计算，它有很强的技巧性．如：末位数字相同，手位数字和为十的两位数想乘，它的方法是：两首位相乘再加上末位得数作为前积，末位的平方作为后积（若后积是一位数则十位补0），前积后面天上后积就是得数．

如：84×24=100×（8×2+4）+42=2016

42×62=100×（4×6+2）+22=2604

（1）仿照上面的方法，写出计算77×38的式子

78×38=　100×（7×3+8）+82　=　29　；

（2）如果分别用a，b表示两个两位数的十位数字，用c表示个位数字，请用含a、b、c的式子表示上面的规律，并说明其正确性；

（3）猜想4418×5618怎样用上面的方法计算？写出过程．

【考点】有理数的加法．

【分析】（1）仿照以上方法求出原式的值即可；

（2）根据题示规律等式右边为十位数的积与个位数和的100倍加上个位数的平方，列式表示即可，验证可根据整式乘法展开结合十位数字和为10变形可得；

（3）类比（2）中方法4918×5118=10000×（49×51+18）+182，验算过程可将4918×5118写成（49×100+18）（51×100+18）后展开、合并可得．

【解答】解：（1）78×38=100×（7×3+8）+82=29；

故答案为：100×（7×3+8）+82，29；

（2）（10a+c）（10b+c）=10[10ab+（a+b）c]+c2=100（ab+c）+c2；

（3）4918×5118=（49×100+18）（51×100+18）

=49×51×10000+49×100×18+51×100×18+182

=10000×49×51+100×18×（49+51）+182

=10000×49×51+10000×18+182

=10000×（49×51+18）+182，

即4918×5118=10000×（49×51+18）+182．

24．如图1，等腰直角三角形ABC的顶点B在直线l上，AB=BC，∠ABC=90°，AD垂直直线l于D，CE垂直直线l于E．

（1）求证：△ADB≌△BEC．

（2）如图2，若F是AC的中点，连接BF，请你再连接DF和EF，试判断△DEF的形状，并证明你的结论．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【分析】（1）先由等腰直角三角形得出AB=AC，再由垂直和等腰直角三角形的性质判断出∠DAB=∠CBE，从而得出结论；

（2）有等腰直角三角形得出AF=BF，从而判断△ADF≌BEF，用互余得出∠DFE=90°，即可；

【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC．∠ABC=90°，

∵AD⊥l，CE⊥l，

∴∠ADB=∠BEC=∠ABC=90°，

∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DBA+∠CBE=90°，

∴∠DAB=∠CBE，

∴△ADB≌△BEC，

（2）△DEF是等腰直角三角形，

理由：∵△ABC是等腰直角三角形，F为斜边AC中点，

∴∠BAF=∠CBF=45°，AF=BF，

∵△ADB≌△BEC，

∴AD=BE，∠BAD=∠CBE，

∴∠BAD∠+∠BAF=∠CBE+∠CBF，

∴∠DAF=∠EBF，

∴△ADF≌△BEF，

∴DF=EF，∠AFD=∠BFE，

∵∠AFD+∠BFD=90°，

∴∠BFD+∠BFE=90°，

∴∠DFE=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形．

（五）（本题12分）

25．如图，已△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明；

②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？

（2）若点Q以②的运动速度从点C出发点P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC的三边运动，求多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

【考点】全等三角形的判定．

【分析】（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；

②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根据全等得出CQ=BD=6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；

（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．

【解答】解：（1）①∵t=1（秒），

∴BP=CQ=3（厘米）

∵AB=12，D为AB中点，

∴BD=6（厘米）

又∵PC=BC﹣BP=9﹣3=6（厘米）

∴PC=BD

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BPD与△CQP中，

，

∴△BPD≌△CQP（SAS），

②∵VP≠VQ，

∴BP≠CQ，

又∵∠B=∠C，

要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，

∵△BPD≌△CPQ，

∴CQ=BD=6．

∴点P的运动时间t===1.5（秒），

此时VQ===4（厘米/秒）．

（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程

设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+2×12，

解得x=24（秒）

此时P运动了24×3=72（厘米）

又∵△ABC的周长为33厘米，72=33×2+6，

∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．

2016年9月30日