2020-2021广州市高一数学上期末第一次模拟试卷及答案

一、选择题

1．已知，则

A． ．

C． ．

2．已知，则的大小关系为 （    ）

A． ． ． ．

3．若函数，则( )

A．0 ．-1 ． ．1

4．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　　)

A．[－1，2] ．[－1，0]

C．[1，2] ．[0，2]

5．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是

（参考数据：lg3≈0.48）

A．1033 ．1053

C．1073 ．1093

6．函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是(　　)

A．{1,2} ．{1,4}

C．{1,2,3,4} ．{1,4,16,}

7．函数的定义域是(  )

A．（-1，2] ．[-1,2] ．（-1 ，2） ．[-1,2)

8．已知，则方程根的个数为（    ）

A．1个 ．2个 ．3个 ．1个或2个或3根

9．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）

A． ． ． ．

10．偶函数满足，且当时，，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是（ ）

A． ． ． ．

11．若函数，则f(log43)＝(　　)

A． ． ．3 ．4

12．下列函数中，在区间上为减函数的是

A． ． ． ．

二、填空题

13．已知函数．若关于的方程，有两个不同的实根，则实数的取值范围是____________．

14．已知是定义域为R的单调函数，且对任意实数都有，则 =__________.

15．已知函数若存在互不相等实数有则的取值范围是______.

16．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．

17．对于复数，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，等于___________

18．已知是奇函数，且（1），若，则___．

19．函数的最大值和最小值之和为______

20．已知函数是偶函数，若，则________

三、解答题

21．定义在上的函数满足，且函数在上是减函数.

（1）求，并证明函数是偶函数；

（2）若，解不等式.

22．已知函数其中.

（Ⅰ）当时，求函数的零点个数；

（Ⅱ）当函数的零点恰有3个时，求实数的取值范围.

23．已知全集，集合.

（Ⅰ）若，求； 

（Ⅱ），求实数a的取值范围.

24．义域为的函数满足：对任意实数x,y均有，且，又当时，.

（1）求的值，并证明：当时，；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

25．设全集，集合，．

（1）求；

（2）若函数的定义域为集合，满足，求实数的取值范围.

26．已知，，.

（1）当时，证明：为单调递增函数；

（2）当，且有最小值2时，求a的值.

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一、选择题

1．A

解析：A

【解析】

【分析】

【详解】

因为，且幂函数在 上单调递增，所以b故选A.

点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.

2．B

解析：B

【解析】

【分析】

先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与进行大小比较，得知，，再利用换底公式得出、的大小，从而得出三个数的大小关系．

【详解】

函数在上是增函数，则，

函数在上是增函数，则，即，

即，同理可得，由换底公式得，

且，即，因此，，故选A．

【点睛】

本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是与，步骤如下：

①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；

②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．

3．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值.

【详解】

因为,所以，，

因为，所以，故，故选B.

【点睛】

本题主要考查了分段函数，属于中档题.

4．D

解析：D

【解析】

【分析】

由分段函数可得当时，，由于是的最小值，则为减函数，即有，当时，在时取得最小值，则有，解不等式可得的取值范围.

【详解】

因为当x≤0时，f(x)＝，f(0)是f(x)的最小值，

所以a≥0.当x＞0时，，当且仅当x＝1时取“＝”．

要满足f(0)是f(x)的最小值，

需，即，解得，

所以的取值范围是，

故选D.

【点睛】

该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.

5．D

解析：D

【解析】

试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.

【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.

6．D

解析：D

【解析】

【分析】

方程不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.

【详解】

设关于的方程有两根，即或.

而的图象关于对称，因而或的两根也关于对称．而选项D中.故选D.

【点睛】

对于形如的方程（常称为复合方程），通过的解法是令，从而得到方程组，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.

7．A

解析：A

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．

【详解】

由题意得： 

解得：﹣1＜x≤2，

故函数的定义域是（﹣1，2]，

故选A．

【点睛】

本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.

8．B

解析：B

【解析】

【分析】

在同一平面直角坐标系中作出与的图象，图象的交点数目即为方程根的个数.

【详解】

作出，图象如下图：

由图象可知：有两个交点，所以方程根的个数为.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.

(1)函数的零点数方程根的个数与图象的交点数；

(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.

9．A

解析：A

【解析】

本题考察函数的单调性与奇偶性

由函数的奇偶性定义易得，，是偶函数，是奇函数

是周期为的周期函数，单调区间为

时，变形为，由于2>1,所以在区间上单调递增

时，变形为，可看成的复合，易知为增函数，为减函数，所以在区间上单调递减的函数

故选择A

10．D

解析：D

【解析】

试题分析：由，可知函数图像关于对称，又因为为偶函数，所以函数图像关于轴对称.所以函数的周期为2，要使函数有且仅有三个零点，即函数和函数图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，，故正确.

考点：函数零点

【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

11．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果.

【详解】

f(log43)＝=3,选C.

【点睛】

本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.

12．D

解析：D

【解析】

试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D.

考点：函数增减性

二、填空题

13．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有

解析：

【解析】

作出函数的图象，如图所示，

当时，单调递减，且，当时，单调递增，且，所以函数的图象与直线有两个交点时，有．

14．【解析】【分析】由已知可得＝a恒成立且f（a）＝求出a＝1后将x＝log25代入可得答案【详解】∵函数f（x）是R上的单调函数且对任意实数x都有f＝∴＝a恒成立且f（a）＝即f（x）＝﹣+af（a）

解析： 

【解析】

【分析】

由已知可得＝a恒成立，且f（a）＝，求出a＝1后，将x＝log25代入可得答案．

【详解】

∵函数f（x）是R上的单调函数，且对任意实数x，都有f[]＝，

∴＝a恒成立，且f（a）＝，

即f（x）＝﹣+a，f（a）＝﹣+a＝，

解得：a＝1，∴f（x）＝﹣+1，

∴f（log25）＝，

故答案为：．

【点睛】

本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x，都有成立是解答的关键，属于中档题．

15．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图

解析：

【解析】

【分析】

不妨设，根据二次函数对称性求得的值.根据绝对值的定义求得的关系式，将转化为来表示，根据的取值范围，求得的取值范围.

【详解】

不妨设，画出函数的图像如下图所示.二次函数的对称轴为，所以.不妨设，则由得，得，结合图像可知，解得，所以，由于在上为减函数，故.

【点睛】

本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

16．(－22)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数且在(－∞0)上是增函数又f(2)＝0∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(－2)＝f(2)＝0∴当－２＜x＜2时f(x)＜0即f(x)＜

解析：(－2,2)

【解析】

【详解】

∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(－2)＝f(2)＝0，∴当－２＜x＜2时，f(x)＜0，即f(x)＜0的解为(－2,2)，即不等式的解集为(－2,2),故填(－2,2).

17．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：

解析：-1

【解析】

由题意可得： ，结合集合元素的互异性，则： ，

由 可得： 或 ，

当 时， ，故 ，

当 时， ，故 ，

综上可得： .

18．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性

解析：-1

【解析】

试题解析：因为是奇函数且，所以，

则，所以．

考点：函数的奇偶性．

19．4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为：4【点睛】本题主要考

解析：4

【解析】

【分析】

设，则是奇函数，设出的最大值，则最小值为，求出的最大值与最小值的和即可.

【详解】

∵函数，

∴设，则，

∴是奇函数，

设的最大值，

根据奇函数图象关于原点对称的性质，∴的最小值为，

又，，

∴，

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，求出的奇偶性以及最值是解题的关键，属于中档题.

20．6【解析】【分析】根据偶函数的关系有代入即可求解【详解】由题：函数是偶函数所以解得：故答案为：6【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值难度较小关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系

解析：6

【解析】

【分析】

根据偶函数的关系有，代入即可求解.

【详解】

由题：函数是偶函数，

，所以，

解得：.

故答案为：6

【点睛】

此题考查根据函数的奇偶性求函数值，难度较小，关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系.

三、解答题

21．（1），证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到与之间的关系，进而证明；

（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可.

【详解】

（1）令，则，

得，

再令，，可得，

得，所以，

令，可得，

又该函数定义域关于原点对称，

所以是偶函数，即证.

（2）因为，又该函数为偶函数，所以.

因为函数在上是减函数，且是偶函数

所以函数在上是增函数.又，

所以，等价于或

解得或.

所以不等式的解集为.

【点睛】

本题考查抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式.

22．（Ⅰ）零点3个.  （Ⅱ）

【解析】

【分析】

（I）当时，由，结合分段函数解析式，求得函数的零点，由此判断出的零点的个数.

（II）令，解得（根据分段函数解析式可知，故舍去.）或.结合分段函数解析式，求得的根，结合分段函数的分段点，求得的取值范围.

【详解】

（Ⅰ）当时， 

令，得，

则或. 

解，得或，

解，得或（舍）. 

所以当时，函数的零点为，，10，共3个. 

（Ⅱ）令，得或. 

由题易知恒成立. 

所以必须有3个实根，即和共有3个根. 

①解，得或（舍），故有1个根. 

②解，得或，

要使得两根都满足题意，则有. 

又，所以.

所以实数的取值范围为.

【点睛】

本小题主要考查分段函数零点个数的判断，考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.

23．（Ⅰ）或（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）时，化简集合B,根据集合交集补集运算即可（Ⅱ）由可知，分类讨论，即可求解.

【详解】

（Ⅰ）当时， ，

或 . 

故 或. 

（Ⅱ）

当时，，即；

当时，即.

，

解得. 

综上：.

【点睛】

本题主要考查了集合的交集，补集运算，子集的概念，分类讨论，属于中档题.

24．(1)答案见解析；(2)或.

【解析】

试题分析：

(1)利用赋值法计算可得，设，则，

利用拆项：即可证得：当时，；

(2)结合(1)的结论可证得是增函数，据此脱去f符号，原问题转化为在上恒成立，分离参数有：恒成立，结合基本不等式的结论可得实数的取值范围是或.

试题解析：

(1)令，得，

令， 得，

令，得，

设，则，

因为,

所以;

(2)设，

  ,                       

因为所以，

所以为增函数,

所以,

 即,

上式等价于对任意恒成立，

因为，所以

上式等价于对任意恒成立，

设，（时取等），

所以，

解得或.

25．（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）先化简集合，再根据集合的交并补运算求解即可；

（2）函数定义域对应集合可化简为，又，故由包含关系建立不等式即可求解；

【详解】

（1）由题知，，

（2）函数的定义域为集合，

，，

.

故实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查集合的交并补的混合运算，由集合的包含关系求参数范围，属于基础题

26．（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；

（2）首先表示出，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。

【详解】

解：（1）任取，

.

，，，

，

为单调递增函数.

（2）.

又由（1）知，在单调递增，，

当时，在单调递增，，解得.

当时，在单调递减，，

解得（舍去）.

所以.

【点睛】

本题考查用定义法证明函数的单调性，复合函数的单调性的应用，属于中档题.