广东省湛江一中2011-2012学年高二数学上学期期末考试 理 新人教A版

考试时间：120分钟  满分：150分 

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.命题“若，则”的逆否命题为（       ）

A. 若，则        B. 若，则

C. 若，则        D. 若，则

2.抛物线=4的焦点坐标是（       ）

A. （1,0）       B.  (0,1)         C.  (0,)       D.  (

3.已知，，，则的值为（       ）

A.   3           B.    4            C.   5           D.     6

4.“”是方程表示双曲线的（       ）

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件   C.充要条件   D.既不充分也不必要条件      

5. 以下四个命题中正确的是 (        )

A．若,则、、三点共线;  　

B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底;         

C．;   D．为直角三角形的充要条件是．

6. 在棱长为1的正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是        （        ）

A．           B．     C．             D．

7.设双曲线的一条渐近线与抛物线有公共点，则双曲线的离心率e的取值范围是（       ）

A.         B.         C.         D.         

8.若椭圆或双曲线上存在点，使得点到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线为“倍分曲线”，则下列曲线中是“倍分曲线”的是（       ）

A.                    B.          

 C.                    D.     

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9.抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是                    .

10.已知向量且∥，则=                    . 

11.点平分双曲线的一条弦，则这条弦所在的直线方程是        

12.过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______________

13.已知，，则的取值范围是           . 

14.给出下列命题：①椭圆的离心率，长轴长为；②抛物线的准线方程为③双曲线的渐近线方程为；④方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.

其中所有正确命题的序号是                    . 

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15. (本小题满分12分）在平行六面体中，是的中点，.

 (1)化简：;

(2) 设，，，若,求.

16. (本小题满分12分）如图，设圆：，过原点作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.

17．（本小题满分14分）

如图，正方体的棱长为，

为的中点. 

（1）求证：//平面；

（2）求点到平面的距离． 

18．(本小题满分14分）设椭圆方程 （），为椭圆右焦点，为椭圆在短轴上的一个顶点，的面积为6,（为坐标原点）；

（1）求椭圆方程；

（2）在椭圆上是否存在一点，使的中垂线过点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

19.（本题满分14分）

如图，平面，四边形是矩形，，与平面所成角是，点是的中点，点在矩形的边上移动．

（1）证明：无论点在边的何处，都有；

（2）当等于何值时，二面角的大小为．

20．（本题满分14分）已知椭圆经过点，为坐标原点，平行于的直线在轴上的截距为.

 （1）当时，判断直线与椭圆的位置关系（写出结论，不需证明）；

（2）当时，为椭圆上的动点，求点到直线    距离的最小值；

 （3）如图，当交椭圆于、两个不同点时，求证：直线、与轴始终围成一个等腰三角形.

湛江一中2011——2012学年度第一学期期末考试

高二级（理科）数学科试卷（参考）答案

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

9． 或      10.     11. 

12.               13.                 14. ②④

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，

16. (本小题满分12分）

解：设，--------------------------------------------------------------------------------2分

∵点是弦的中点，∴  ---------------------------------------------------4分

∵点在圆C：上，

∴，----------------------------------------------------------------------8分

即，   ----------------------------------------------------------------------10分

由圆的范围知，.

故点的轨迹方程为（）. -------------------------------12分

（此题其它解法可酌情给分）

17．(本小题满分14分）

解法一：（1）证明：连接交于，连.  -------------------------------------2分

因为为正方形对角线的交点，

（2）解：设到平面的距离为.

在中，，且，，

所以，  ----------------------------------------------------9分

于是.  ----------------------------------------------------10分

因为. --------------------------12分

又，即，  --------------------------------------------13分

解得，    

故点到平面的距离为.  ----------------------------------------------------14分

即 ，令，则

∴    -----------------------------4分

∵，∴，       ------------------------6分

又∵平面，所以//平面.        ----------------------------7分

（2），       ---------------------------------------------------------------9分

是平面的一个法向量.

∴点到平面的距离.--------------------------------------14分

18. (本小题满分14分）

解：（1）设

∵为椭圆在短轴上的一个顶点，且的面积为6,

∴.              ----------------------------------------------------------- 1分

又∵          ----------------------------------------------------------2分

∴或         ---------------------------------------------------------4分

∴椭圆方程为或  ---------------------------------------6分

（2）假设存在点，使的中垂线过点.

若椭圆方程为，则，由题意，

∴点的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆. 

设，则其轨迹方程为     -------------------------------------------8分

显然与椭圆无交点.

即假设不成立，点不存在.              -----------------------------------------------9分

若椭圆方程为，

则，

∴点的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆. 

则其轨迹方程为             -----------------------------------------1 1分

则，∴，-------------------------------------------- 13分

故满足题意的点坐标分别为，，，

---------------------------------------------------------- 14分

（2）过作于，连，又∵，

则平面,

则是二面角的平面角，    

∴      -------------------------------------------------------------------------- 9分

∵与平面所成角是，∴，-------------------------------- 10分

∴，. ∴，，   -------------------------- 11分

设，则，，

在中，，

得.故。   ------------------ 14分

法二:（1）建立如图所示空间直角坐标系，则， 

∵与平面所成角是，∴，

∴，

  ，，.      -------------------------------- 3分

设，则

  .    --------------------------------6分

 而平面的法向量为,---------------------------------------------- 9分

∵二面角的大小是,

所以=，

∴，    ------------------- 11分

得 或 （舍）.

∴ ， 故。              --------------------------------- 14分

20. 解：（1）当时，直线与椭圆相离.   ……2分

（2）可知直线的斜率为 

设直线与直线平行，且直线与椭圆相切，

设直线的方程为             --------------------------------- 3分

联立，得  --------------------------------- 4分

，解得   --------------------------------- 5分

直线的方程为.

所求点到直线的最小距离等于直线到直线的距离 

.   ------------------------------ 7分

而 ----------- 10分  

            ----------- 12分

∴+

直线、与轴始终围成一个等腰三角形  ---------------------------------------14分