2012年石家庄最新中考二模数学试题及答案

2012年石家庄市初中毕业班教学质量检测

数 学 试 卷 参 考 答 案

一、选择题

13.3 ；14. 72°；15. y= ；16.（3，－1）；17. 6；18. 90－　

三、解答题：

19.解：原式=                 ……………………4分

=.                                 …………………8分

20.解：（1）18；                                       …………………2分

（2）如图1或图2所示：（点P在AB下方亦可，画出一个即可得分）…………………6分

（2）tan∠PB′A′=或．（求出一个值并与所画的图形相符合即可得分）………8分

21.解：（1）学生人数是200人，家长人数是80÷20%=400人，

所以调查的总人数是600人；                              …………………2分

补全的统计图如图3所示：                                 …………………3分

（2）表示家长“赞成”的圆心角的度数为×360=36° ．       ……………5分

（3）设小亮、小丁的家长分别用A、B表示，另外两个家长用C、D表示，列树状图如下：

第一次选择

第二次选择

∴一共有12种等可能的结果，同时选中小亮和小丁家长有2种情况，

∴P（小亮和小丁家长同时被选中）=．                      …………………8分

22．（1）解：设一个“脸谱”为x元，一个“中国结”为y元，根据题意，得

                                      …………………2分

解得  ．                                     

答：一个“脸谱”为50元，一个“中国结”为25元．      …………………4分

（2）设本次活动优秀奖为m名，则鼓励奖为（12－m）名．

列不等式为： 50m + 25（12－m）≤500                 

解得：m ≤8．                                         …………………6分

又因为优秀奖不少于6名，即m≥6，所以6 ≤m ≤8，且m为整数，

所以m=6时，12－m=6；m=7时，12－m=5；m=8时，12－m=4；

答：优秀奖为6名，鼓励奖为6名；或优秀奖为7名，鼓励奖为5名；或优秀奖为8名，鼓励奖为4名．                                         …………………8分

23.（1）过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足分别为E、F（如图4）     …………1分

∵∠ACB=90°又由作图可知PE⊥AC、PF⊥CB，∴四边形PECF是矩形，

又∵点P在∠ACB的角平分线上，且PE⊥AC、PF⊥CB，∴PE=PF，

∴四边形PECF是正方形．                                 …………2分

（2）证明：在Rt△AEP和Rt△BFP中，

∵PE=PF，PA=PB，∠AEP=∠BFP= 90°，

∴Rt△AEP≌Rt△BFP．

∴∠APE=∠BPF．

∵∠EPF= 90°，从而∠APB= 90°．

又因为PA=PB，

∴△PAB是等腰直角三角形．                …………5分

（3）如图4，在Rt△PAB中，∠APB=90°，PA=PB，PA=m，

∴AB=PA= ．                                        …………6分

     由（2）中的证明过程可知，Rt△AEP≌Rt△BFP，可得AE=BF，CE=CF，

∴ CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，又PC=n，

所以，在正方形PECF中，CE=PC=n．

∴ CA+CB=2CE=．

所以△ABC的周长为：AB+BC+CA=+．               …………7分

（4）不变， ．                                   …………9分

【参考证明：如图4，∵∠1=∠2=∠3=∠4=45°，且∠ADC=∠PDB，

∴△ADC∽△PDB，故，即， ……①

同理可得，△CDB∽△ADP，得到  ，    ……②

又PA=PB，则①+②得： ===．

所以，这个值仍不变为．】

24．解：（1）90，3；                                   ……………………2分

（2）当0≤t≤30时，y=90－3t ，                          ……………………4分

当30＜t≤60时， y=3t－90 ．                        ……………………6分

（3）因为赛道的长度为90米，乙的速度为2米/秒，

所以乙船由B2到达A2的时间为45秒；              ……………………7分

乙船在3分钟内的函数图象如图5所示：            

……………………8分

（4）从上图可知甲、乙共相遇5次．                     ……………………9分

25．解：【解决问题】

根据【分析】中的思路，得到如图6所示的图形，

根据旋转的性质可得PB=P′B, PC=P′A,

又因为BC=AB, ∴△PBC≌△P′BA，

∴∠PBC=∠P′BA ，∠BPC=∠BP′A , PB= P′B=，

∴∠P′BP=90°，所以△P′BP为等腰直角三角形，

则有P′P=2，∠BP′P=45°．                            ……………………2分

又因为PC=P′A=1，P′P =2，PA=，

满足P′A2+ P′P2= PA2，由勾股定理的逆定理可知∠AP′P=90°，   ……………4分

因此∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°．                   ……………………6分

【类比研究】（1）120°；                              ……………………8分

（2）．                             ……………………10分

【参考提示：

（1）仿照【分析】中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，然后连结PP′．如图7所示，根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，

△BPP′为等腰三角形，PB= P′B=4，PC=P′A=2，∠BPC=∠BP′A，

∵∠ABC=120°，∴∠PBP′=120°，∠BP′P=30°，

∴求得PP′=，

在△APP′中，∵PA=，PP′=，P′A=2，

满足P′A2+ P′P2= PA2，所以∠AP′P=90°．

∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°．

（2）延长A P′ 做BG⊥AP′于点G，如图8所示，

在Rt△P′BG中，P′B=4，∠BP′G=60°，

所以P′G=2，BG=，则AG= P′G +P′A =2+2=4，

故在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB=．   

26．解：（1）把点A、C的坐标（2，0）、（0，－8t）代人抛物线y=ax2－6ax+c得，

，解得  ，                  ……………………2分

该抛物线为y=x2+6tx－8t=（x－3）2 + t．

∴顶点D坐标为（3，t）                               ……………………3分

（2）如图9，设抛物线对称轴与x轴交点为M，则AM＝1．

由题意得：O′A=OA=2．

∴O′A=2AM，∴∠O′AM＝60°．

∴∠O′AC＝∠OAC＝60°                          

∴在Rt△OAC中：

∴OC=，

即．∴．        …………………6分

（3）①如图10所示，设点P是边EF上的任意一点

（不与点E、F重合），连接PM．

∵点E（4，－4）、F（4，－3）与点B（4，0）在一直线上，

点C在y轴上，

∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．

又PD>PM>PB，PA>PM>PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．        …………………8分

②设P是边FG上的任意一点(不与点F、G重合)，

∵点F的坐标是（4，－3），点G的坐标是（5，－3）．

∴FB＝3，，∴3≤PB≤．

∵PC >4，∴PC >PB．

∴PB≠PA，PB≠PC．

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．        …………………9分

（4）t=或或1．                               …………………12分

【以下答案仅供教师参考：因为已知PA、PB为平行四边形对边，∴必有PA＝PB．

①假设点P为FG与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形． 

如图11所示，只有当PC＝PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．

∵点C的坐标是（0，－8t），点D的坐标是（3， t），

又点P的坐标是（3，－3），

∴PC2＝32＋(－3+8t)2，PD2＝(3＋t)2．

当PC＝PD时，有PC2 =PD2

即 32＋(－3+8t)2=(3＋t)2．

整理得7t2－6t＋1＝0，

∴解方程得t=>0满足题意．

②假设当点P为EH与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形． 

如图12所示，只有当PC＝PD时，线段PA、PB、PC、PD

能构成一个平行四边形．

∵点C的坐标是（0，－8t），点D的坐标是（3， t），

点P的坐标是（3，－4），

∴PC2＝32＋(－4+8t)2，PD2＝(4＋t)2．

当PC＝PD时，有PC2 =PD2

即 32＋(－4+8t)2=(4＋t)2

整理得7t2－8t＋1＝0，

∴解方程得t =或1均大于>0满足题意．

综上所述，满足题意的t=或或1．】