2016-2017学年浙江省绍兴市高一(上)期末数学试卷及答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．若集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={﹣1，1，3，5}，则A∩B等于（　　）

A．{﹣1，1}    B．{﹣1，0，1}    C．{﹣1，0，1，2}    D．{﹣1，0，1，2，3，5}

2．cos（π﹣α）=（　　）

A．cosα    B．﹣cosα    C．sinα    D．﹣sinα

3．log36﹣log32=（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

4．函数f（x）=sin2x，x∈R的最小正周期是（　　）

A．    B．    C．π    D．2π

5．函数y=的图象大致是（　　）

A．    B．    C．    D．

6．已知函数f（x）对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，则f（1）=（　　）

A．﹣2    B．    C．1    D．2

7．已知=2，则（cosθ+1）（sinθ+1）=（　　）

A．﹣1    B．0    C．1    D．2

8．2016年初，受国际油价大幅上涨的拉动，一些石油替代型企业生产成本出现大幅度上升，近期，由于国际油价回落，石油替代型企业生产成本明显下降，某PVC行业企业的生产成本在8月份、9月份每月递增20%，国际油价回落之后，10月份、11月份的生产成本每月递减20%，那么该企业在11月底的生产成本与8月初比较（　　）

A．不增不减    B．约增加5%    C．约减少8%    D．约减少5%

9．已知函数f（x）=x2+2（m﹣1）x﹣5m﹣2，若函数f（x）的两个零点x1，x2满足x1＜1，x2＞1，则实数m的取值范围是（　　）

A．（1，+∞）    B．（﹣∞，1）    C．（﹣1，+∞）    D．（﹣∞，﹣1）

10．已知函数f（x）=|x2+bx|（b∈R），当x∈[0，1]时，f（x）的最大值为M（b），则M（b）的最小值是（　　）

A．3﹣2    B．4﹣2    C．1    D．5﹣2

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11．函数y=的定义域为　　．

12．若α为第一象限角，且cosα=，则tanα=　　．

13．已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=　　．

14．要得到y=cos（2x﹣）的图象，只需将y=cos2x的图象向右平移　　个单位长度．

15．已知a＞0，b＞0，且2﹣log2a=3﹣log3b=log6，则+=　　．

16．若函数f（x）=x2+a|x﹣1|在[﹣1，+∞）上单调递增，则实数a的取值的集合是　　．

三、解答题（共5小题，满分52分）

17．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，集合B={x|x≥1}．

（Ⅰ）求集合A；

（Ⅱ）若全集U=R，求（∁UA）∪B．

18．如图，已知单位圆O与x轴正半轴相交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且∠AOB=，记∠MOA=α，∠MOB=β．

（Ⅰ）若α=，求点A，B的坐标；

（Ⅱ）若点A的坐标为（，m），求sinα﹣sinβ的值．

19．已知函数f（x）=（a∈R）是奇函数．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求证：函数f（x）在（0，]上单调递增．

20．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜）的部分图象如图所示．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若函数F（x）=3[f（x﹣）]2+mf（x﹣）+2在区间[0，]上有四个不同零点，求实数m的取值范围．

21．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．

（Ⅰ）已知x∈[0，1]

（i）若a=b=1，求函数f（x）的值域；

（ii）若函数f（x）的值域为[0，1]，求a，b的值；

（Ⅱ）当|x|≥2时，恒有f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，求a2+b2的最大值和最小值．

2016-2017学年浙江省绍兴市高一（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．若集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={﹣1，1，3，5}，则A∩B等于（　　）

A．{﹣1，1}    B．{﹣1，0，1}    C．{﹣1，0，1，2}    D．{﹣1，0，1，2，3，5}

【考点】交集及其运算．

【分析】利用交集定义求解．

【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={﹣1，1，3，5}，

∴A∩B={﹣1，1}．

故选：A．

2．cos（π﹣α）=（　　）

A．cosα    B．﹣cosα    C．sinα    D．﹣sinα

【考点】运用诱导公式化简求值．

【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．

【解答】解：∵由诱导公式可得cos（π﹣α）=﹣cosα，

故选：B．

3．log36﹣log32=（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【考点】对数的运算性质．

【分析】利用对数性质、运算法则求解．

【解答】解：log36﹣log32=log3=log33=1．

故选：A．

4．函数f（x）=sin2x，x∈R的最小正周期是（　　）

A．    B．    C．π    D．2π

【考点】三角函数的周期性及其求法．

【分析】直接利用正弦函数的周期公式求解即可．

【解答】解：由正弦函数的周期公式可得：T==π．

故选：C．

5．函数y=的图象大致是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】函数的图象；指数函数的图象与性质．

【分析】通过二次函数的图象否定C、D，通过指数函数图象否定A，即可．

【解答】解：由题意可知x＜0时，函数是二次函数开口向上，所以C、D错误，

x≥0时，函数是指数函数，向下平移1单位，排除A；

可得B正确，

故选B．

6．已知函数f（x）对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，则f（1）=（　　）

A．﹣2    B．    C．1    D．2

【考点】抽象函数及其应用．

【分析】由题意可令x=y=1，可得f（2）=2f（1），即可得到所求值．

【解答】解：函数f（x）对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，

可令x=y=1时，可得f（2）=2f（1）=4，

解得f（1）=2．

故选：D．

7．已知=2，则（cosθ+1）（sinθ+1）=（　　）

A．﹣1    B．0    C．1    D．2

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】由=2，整理得1﹣cos2θ+4﹣2cosθ﹣2=0，求出cosθ，把cosθ=1代入=2，得sinθ，则答案可求．

【解答】解：由=2，

得1﹣cos2θ+4﹣2cosθ﹣2=0，即cos2θ+2cosθ﹣3=0，

解得：cosθ+3=0（舍） cosθ=1，

把cosθ=1代入=2，得sinθ=0．

∴（cosθ+1）（sinθ+1）=2．

故选：D．

8．2016年初，受国际油价大幅上涨的拉动，一些石油替代型企业生产成本出现大幅度上升，近期，由于国际油价回落，石油替代型企业生产成本明显下降，某PVC行业企业的生产成本在8月份、9月份每月递增20%，国际油价回落之后，10月份、11月份的生产成本每月递减20%，那么该企业在11月底的生产成本与8月初比较（　　）

A．不增不减    B．约增加5%    C．约减少8%    D．约减少5%

【考点】函数模型的选择与应用．

【分析】设8月初为1，则11月底的生产成本为1×1.22×0.82=0.9216，即可得出结论．

【解答】解：设8月初为1，则11月底的生产成本为1×1.22×0.82=0.9216，

∴该企业在11月底的生产成本与8月初比较约减少8%，

故选：C，

9．已知函数f（x）=x2+2（m﹣1）x﹣5m﹣2，若函数f（x）的两个零点x1，x2满足x1＜1，x2＞1，则实数m的取值范围是（　　）

A．（1，+∞）    B．（﹣∞，1）    C．（﹣1，+∞）    D．（﹣∞，﹣1）

【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质．

【分析】判断二次函数的开口，利用零点列出不等式求解即可．

【解答】解：函数f（x）=x2+2（m﹣1）x﹣5m﹣2，开口向上，函数f（x）的两个零点x1，x2满足x1＜1，x2＞1，

可得：1+2（m﹣1）﹣5m﹣2＜0，

解得：m＞1．

故选：A．

10．已知函数f（x）=|x2+bx|（b∈R），当x∈[0，1]时，f（x）的最大值为M（b），则M（b）的最小值是（　　）

A．3﹣2    B．4﹣2    C．1    D．5﹣2

【考点】函数的最值及其几何意义．

【分析】通过讨论b的范围，结合二次函数的性质求出M（b），从而求出M（b）的最小值即可．

【解答】解：因为函数f（x）=|x2+bx|=|﹣|，

对称轴x=﹣，当﹣≤0，即b≥0时，f（x）在[0，1]递增，

故M（b）=f（1）=b+1，

0＜﹣＜即﹣1＜b＜0时，f（x）的最大值是f（﹣）或f（1），

令f（﹣）=＞f（1）=b+1，解得：﹣1＜b＜2（1﹣），

故﹣1＜b＜2（1﹣）时，M（b）=，

2（1﹣）＜b＜0时，M（b）=b+1，

≤﹣即≤﹣1时，M（b）=，

故M（b）=，

故b=2（1﹣）时，M（b）最小，最小值是3﹣2，

故选：A．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11．函数y=的定义域为　{x|x≠}　．

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】根据分母不是0，求出函数的定义域即可．

【解答】解：由题意得：2x﹣1≠0，

解得：x≠，

故答案为：{x|x≠}．

12．若α为第一象限角，且cosα=，则tanα=　　．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinα，则tanα的值可求．

【解答】解：∵cosα=，且α为第一象限角，

∴sinα=，

∴tanα=．

故答案为：．

13．已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=　﹣1　．

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【分析】【方法一】利用换元法求出f（x）的解析式，再计算f（3）的值．

【方法二】根据题意，令2x+1=3，求出x=1，再计算f（3）的值．

【解答】解：【方法一】∵f（2x+1）=x2﹣2x，

设2x+1=t，则x=，

∴f（t）=﹣2×=t2﹣t+，

∴f（3）=×32﹣×3+=﹣1．

【方法二】∵f（2x+1）=x2﹣2x，

令2x+1=3，解得x=1，

∴f（3）=12﹣2×1=﹣1．

故答案为：﹣1．

14．要得到y=cos（2x﹣）的图象，只需将y=cos2x的图象向右平移　　个单位长度．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

【解答】解：将y=cos2x的图象向右平移个单位，可得y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）的图象，

故答案为：．

15．已知a＞0，b＞0，且2﹣log2a=3﹣log3b=log6，则+=　　．

【考点】对数的运算性质．

【分析】设∴﹣2+log2a=﹣3+log3b=log6（a+b）=x，则a=2x+2，b=3x+3，a+b=6x，由此能求出值．

【解答】解：∵正数a，b满足2﹣log2a=3﹣log3b=log6，

∴﹣2+log2a=﹣3+log3b=log6（a+b）

设∴﹣2+log2a=﹣3+log3b=log6（a+b）=x

则a=2x+2，b=3x+3，a+b=6x，

∴+====

故答案为：

16．若函数f（x）=x2+a|x﹣1|在[﹣1，+∞）上单调递增，则实数a的取值的集合是　{﹣2}　．

【考点】二次函数的性质．

【分析】去绝对值号可得到，由条件f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，从而得出f（x）在[1，+∞），[﹣1，1）上都单调递增，这样根据二次函数的单调性便可得到，从而得到a=﹣2，这样即可得出实数a的取值的集合．

【解答】解：；

∵f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增；

∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴，即a≥﹣2；

且f（x）在[﹣1，1）上单调递增，∴，即a≤﹣2；

∴a=﹣2；

∴实数a的取值的集合是{﹣2}．

故答案为：{﹣2}．

三、解答题（共5小题，满分52分）

17．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，集合B={x|x≥1}．

（Ⅰ）求集合A；

（Ⅱ）若全集U=R，求（∁UA）∪B．

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】（Ⅰ）化简集合A即可；

（Ⅱ）根据补集与并集的定义写出计算结果即可．

【解答】解：（Ⅰ）集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≤﹣1或x≥3}，

（Ⅱ）全集U=R，则∁UA={x|﹣1＜x＜3}，

又集合B={x|x≥1}，

所以（∁UA）∪B={x|x＞﹣1}．

18．如图，已知单位圆O与x轴正半轴相交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且∠AOB=，记∠MOA=α，∠MOB=β．

（Ⅰ）若α=，求点A，B的坐标；

（Ⅱ）若点A的坐标为（，m），求sinα﹣sinβ的值．

【考点】任意角的三角函数的定义．

【分析】（Ⅰ）若α=，直接利用三角函数的定义求点A，B的坐标；

（Ⅱ）若点A的坐标为（，m），则sinα=，cosα=sinβ=，即可求sinα﹣sinβ的值．

【解答】解：（Ⅰ）若α=，则点A（，），B（﹣，）；

（Ⅱ）若点A的坐标为（，），则sinα=，cosα=sinβ=，

∴sinα﹣sinβ=﹣．

19．已知函数f（x）=（a∈R）是奇函数．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求证：函数f（x）在（0，]上单调递增．

【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明．

【分析】（Ⅰ）利用f（0）=0，即可求a的值；

（Ⅱ）x∈（0，]，f′（x）=＞0，即可证明函数f（x）在（0，]上单调递增．

【解答】（Ⅰ）解：由题意，f（0）==0，∴a=0；

（Ⅱ）证明：f（x）=，

∴x∈（0，]，f′（x）=＞0，

∴函数f（x）在（0，]上单调递增．

20．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜）的部分图象如图所示．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若函数F（x）=3[f（x﹣）]2+mf（x﹣）+2在区间[0，]上有四个不同零点，求实数m的取值范围．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】（Ⅰ）根据f（x）的部分图象求出A、ω以及φ的值即可；

（Ⅱ）求出f（x﹣）=sin2x，化简函数F（x），

根据题意设t=sin2x，则由x∈[0，]时t∈[0，1]，

把F（x）=0化为3t2+mt+2=0在[0，1]上有两个不等的实数根，

由此求出实数m的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）根据f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，

A=1， =﹣=，

∴T=π，

∴ω==2；

由“五点法画图”知，

2×+φ=，解得φ=；

∴函数f（x）=sin（2x+）；

（Ⅱ）∵f（x﹣）=sin（2x﹣+）=sin2x，

∴函数F（x）=3[f（x﹣）]2+mf（x﹣）+2

=3sin2（2x）+msin2x+2；

在区间[0，]上有四个不同零点，

设t=sin2x，由x∈[0，]，得2x∈[0，π]，即sin2x∈[0，1]，

∴t∈[0，1]，

令F（x）=0，则3t2+mt+2=0在[0，1]上有两个不等的实数根，

应满足，且△＞0；

即，

解得﹣6＜m＜﹣2；

∴实数m的取值范围是﹣6＜m＜﹣2．

21．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．

（Ⅰ）已知x∈[0，1]

（i）若a=b=1，求函数f（x）的值域；

（ii）若函数f（x）的值域为[0，1]，求a，b的值；

（Ⅱ）当|x|≥2时，恒有f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，求a2+b2的最大值和最小值．

【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．

【分析】（Ⅰ）（i）根据二次函数的性质即可求出函数的值域，

（ii）根据二次函数的性质，分类讨论即可求出，

（Ⅱ）因为若|x|≥2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，f（x）在区间（2，3]上的最大值只能在闭端点取得，故有f（2）≤f（3）=1，从而a≥﹣5且b=﹣3a﹣8．在分类讨论基础上，将以上关系变为不等式组，消去c可得b的取值范围，最后将a2+b2转化为a的函数，求其值域可得a2+b2的最大值和最小值．

【解答】解：（Ⅰ）（i），由已知，得f（x）=x2+x+1=（x+）2+，

又x∈[0，1]，

∴f（x）∈[1，3]，

∴函数f（x）的值域的值域为[1，3]，

（ii）函数y=f（x）的对称轴方程为x=﹣

①当﹣≤0时，即a≥0时，函数f（x）在[0，1]上单调性递增，可得，解得a=b=0，

②当﹣≥1时，即a≤﹣2时，函数f（x）在[0，1]上单调性递减，可得，解得a=﹣2，b=1，

③0＜﹣＜时，即﹣1＜a＜0时，

，解得a=﹣4，b=4，或a=b=0（舍去），

④当≤﹣＜1，即﹣2＜a≤﹣1时，，解得a=±2，b=1，舍去，

综上所述a=b=0，或a=﹣2，b=1

（Ⅱ）由题意函数图象为开口向上的抛物线，且f（x）在区间（2，3]上的最大值只能在闭端点取得，

故有f（2）≤f（3）=1，从而a≥﹣5且b=﹣3a﹣8．

①若f（x）=0有实根，则△=a2﹣4b≥0，

在区间[﹣2，2]有即，将b=3a﹣8代入，整理得即a=﹣4，这时b=4，且△=0．

②若f（x）=0无实根，则△=a2﹣4b＜0，将b=﹣3a﹣8代入解得﹣8＜a＜﹣4．

综上﹣5≤a≤﹣4．

所以a2+b2=a2+（﹣3a﹣8）2=10a2+48a+，在[﹣5，﹣4]单调递减，

故（a2+b2）min=32，（a2+b2）max=74．