第七章 汽车悬架控制系统动力学

    7.1  概述

悬架系统是指车身与车轴之间连接的所有组合体零件的总称。一般由弹性元件、减振装置和导向机构组成，有些还装有横向稳定杆、缓冲块等。

    悬架系统的基本功能可以归纳为以下几条：

    1. 缓和路面不平的冲击，使汽车行驶平顺、乘坐舒适；

    2. 车轮跳动时使车轮定位参数变化小，保证良好的操纵稳定性；

    3. 使车轮与地面有良好附着性，较小车轮动载变化，以保证良好的安全性。

    悬架按控制力学的角度可以分为被动悬架和主动悬架两大类。被动悬架即常规悬架，按导向机构型式又可分为非悬架、悬架、复合式悬架(半刚性悬架)三种[3]。主动悬架可分为全主动式悬架、半主动悬架、主动阻尼式悬架几种。下面首先介绍一下各种被动悬架的特点，主动悬架将在本章第4节中详细介绍。

    非悬架的特点是左右车轮用一根刚性轴连接起来，并通过悬架与车身(或车架)相连。其典型代表是纵置板簧式悬架。其优点是结构简单，制造成本低，维修方便；其缺点是非簧载质量大，所需空间大，而且容易产生陀螺效应，引起前轮摆振。

悬架的特点是左右车轮不连在一根车轴上，单独通过悬架与车身(或车架)相连，每个车轮能上下运动。悬架有双横臂式、麦克弗逊式、纵臂式、斜臂式等几种。其优点是非簧载质量小，不易产生陀螺效应，发动机、行李箱布置空间大，而且越野性好；缺点是结构复杂，成本高。

图 7-1  复合式悬架示图

复合式悬架由焊在一根横梁上的2根纵向摆臂组成(见图9-1)。这根横梁承受所有的垂直力和侧向力产生的力矩，并且必须可扭转，同时起到横向稳定杆的作用[9]。其优点是整个车轴便于拆装，行李箱空间大，车轮上下跳动时，前束、轮距几乎不产生变化等；其缺点是侧倾中心低，易产生过多转向(利用轨迹校正轴承加以克服)。

    根据汽车整车性能对悬架的要求，通常用以下三个参数来评价悬架的优劣，即：

    车身垂直加速度(舒适性)；

    车轮相对动载(安全性)；

    弹簧行程(弹簧寿命)。

在设计时，这三个量应尽可能小，但在客观上存在矛盾，特别是对常规的被动悬架而言。

    图9-2示出了车身加速度车轮相对动载和弹簧行程()与阻尼比(相对阻尼系数)之间的关系，图中曲线走向表示，只是弹簧行程()曲线是随阻尼比单调变化，阻尼比愈大，所要求的弹簧行程愈小，相反，对于车身加速度和车轮动载而言，可找到一个最佳阻尼比值。然而对车身加速度和车轮动载的最佳阻尼比值也是不同的，前者为0.18，后者为0.4以上，故设计人员只能从中采取拆衷方案。

v=25m/s

图 7-2、和()与阻尼比关系

要比较好的解决上述矛盾，采用主动式悬架是理想的途径，所以下面讨论用现代控制理论为基础的主动式悬架的动力学问题。

7.2  线性控制概论

在本节中将简要介绍一下线性控制理论知识，以作为后续几节的基础。

我们知道，经典控制理论常用传递函数来分析控制系统的动态特性。传递函数可用下式表示：

                     (7-1)

    经典控制理论的局限性就在于，它要求初始条件必须为零；并只能适用于单输入、单输出的线性定常系统，只能展现给定输入的系统输出，而不能提供系统内部状态有关的信息、状态，有时系统输出是稳定的，但其内部的某些参数可能有超出额定值的趋势。由此可见，我们需要一种描述系统的更一般的数学表达式，与输出一道给出沿信号流的一些确定点上系统变量的状态信息。上述想法导致了状态变量法的产生，它是一种直接的时域法，并为现代控制理论和系统最优化打下基础。

    下面介绍状态变量法的一些基本概念。

    状态  系统的状态就是指系统过去、现在和将来的状况。

    状态变量  系统的状态变量是指足以完全表征系统运动的最小个数的一组变量。一个用n阶微分方程描述的系统，就有几个变量：。当这n个变量的时间响应都求得时，则系统的运动状态也就完全被揭示。因此，系统的状态变量就是几阶系统的几个变量。而对于同一个系统，状态变量的选取并不是唯一的，关键是这些变量要相互，而且其个数等于微分方程的阶数。由于微分方程的阶数唯一取决于一般物理系统(如弹簧-质量-阻尼系统)中储能元件的个数，所以状态变量的个数就应等于系立储能元件的个数。

状态向量  如果几个状态变量用表示，以这些状态变量作为分量的向量就称为状态向量。记作

，或

    状态空间  状态向量的所有可能值的集合称为状态空间。或者说，由轴、轴、……、轴所组成的n维空间就称为状态空间。在特定时刻上，状态向量在状态空间中就是一个点，而且系统中的任一状态都可用状态空间中的一个点(即状态空间的某一状态向量)来表示。

    状态方程  描述系统状态变量与系统输入间关系的一阶微分方程组称为状态方程。

    输出方程  在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。

    状态空间表达式  状态方程和输出方程就构成对一个系统动态的完整描述，称为系统的状态空间表达式；也称为系统的动态方程。

    求解动力学系统的一般步骤可以归纳为：

    (1) 根据实际系统的机理写出其运动微分方程；

    (2) 选择适当的状态变量，把微分方程转化为系统的状态方程(矩阵形式)；

    (3) 利用计算机求解。

7.2.1  线性系统的状态方程

7.2.1.1  多输入-多输出系统

设系统有r个输入，m个输出，如图9-3所示，该系统要用如下的微分方程描述：

图7-3  多输入-多输出系统(a)及其控制系统框图(b)

       (7-2)

系统的输出方程为

       (7-3)

它们也可简写为

                             (7-4)

式中，阶系数矩阵(系统状态矩阵)；

      阶系数矩阵(系统输入矩阵)；

      阶系数矩阵(系统输出矩阵)；

      阶系数矩阵(系统直接传递矩阵)。

    若系统不存在输入的直接传递， 

     ——系统的n维状态向量；

——r维(输入)控制向量；

     ——系统的n维输出向量。

   7.2.1.2  单输入——单输出系统

    (一) 不含输入函数导数项的情况

此时，如输人为，线性定常系统的动态微方程为

                 (7-5)

式中  均为常数。

在已知输入函数和初始状态

可选取这几个变量作为系统的一组状态变量，并记为

…

方程(7-5)可化为状态方程：

…

把它写成矩阵向量形式为

                       (7-6)

其中

U为向量。

系统的输出方程为

                            (7－7)

其中  

    (二) 含有输入函数导数项的情况

这时系统的运动方程为

      (7-8)

如果选取作为状态变量，则得不到唯一的解，所以，现选用下列状态变量：

                 (7-8a)

令                               (7-8b)

代人上式后可获得如下状态方程：

          (7-9)

可写成如下矩形形式：

状态方程

+

可简写为                                             (7-11)

而输出或响应方程为

          (7-12)

下面介绍传递矩阵、可控性和可观性等概念。

7.2.2  传递矩阵

用矩阵来表示传递函数的数字形式称传递矩阵。

对于一个单输入单输出的阶系统。其动态方程为

                         (7-13)

式中，是维状态向量。假设初始条件为零，对式(9-13)两边进行变换，就有

所以                     

式中为单位矩阵。由此得计算传递矩阵的公式

               (7-14)

引入传递矩阵后，输出方程可写为

或                     

其中关键是求出                               (7-15)

式中，——的伴随矩阵； 

      ——矩阵的行列式。

    令式(7-15)分母为0，即称为系统的特征方程。

而特征方程的根称为矩阵A的特征值，记为，例如设系统状态方程为

求系统传递矩阵

求的时候，先求矩阵余因子

已知

其余因子                     

转置得

， 

最后可得

7.2.3  线性定常系统的可控性与可观测性

可控性和可观测性的概念是现代控制工程，特别是最优控制中两个十分重要的概念。

    所谓最优控制，是指对任意给出的初始状态求出一个可能控制的向量使该状态转移到向量空间所希望的领域中去，并使性能指标达到最佳，这就涉及到两个问题：

    1. 状态是否受控于？如果不受控于，就不能实现上述预期的转移。

    2. 状态能否测出？如果能够直接观测出来，又能否用来估计，如果答案是否定的，也不能实现上述预期的转移。

    所以可控性和可观测性这两个问题是现代控制理论中的首要问题，是系统能否工作的先决条件。

    7.2.3.1  可控性与可控条件

    定义  如果在有限的时间间隔内，可以用一个控制向量使系统的初始状态转移到任一状态，包括预定的最佳状态，则认为该系统是完全可控的，只要有一个状态变量不受控于，则系统就不可控。

图7-4上画出一系统的信号流图可定性研究其是否可控。该系统包含四个状态，其中仅有两个受的影响，即输入只影响状态和，而不影响和，显然，和是不可控的，因此该系统是不完全可控的，可控性定量确定可用可控性条件来判断：

图 7-4  不完全可控系统的信号流图

    可控条件  设系统状态方程为，式中  A为阶状态矩阵；B为阶输入矩阵；X为n维列向量；U为r维控制列向量。则系统的可控条件取决于状态矩阵A和输入矩阵B，如果矩阵行列式不为零(即为非奇异矩阵)，则系统就是可控的，否则就不完全是可控的。

例1：已知某系统状态方程如下：

由此可得

则                       

其行列式为零，R是奇异矩陈，系统不可控。

例2，已知系统状态方程为

上式中 

其行列式，系统可控。

    7.2.3.2  可观测性与可观测条件

    定义：若系统在有限的时间间隔内，根据系统的输出向量和给定的输入向量，能够确定系统的初始状态的每一个分量，则该系统是完全可观测的，只要有一个状态变量不能确定，即系统是不可观测的。

若系统状态方程：

若是非奇异矩阵，就称系统为可观测的

例1系统状态方程为

因此

； 

；，不可观测

例2  系统状态方程为

； 

；，可观测

图 7-5 用系统的信号流图来定性判断其可观测性

图中系统包含四个状态，仅仅两个是可观测舶而状态和不管用何种方式都与输出无关，因而系统是不完全可观测的。

图7-5  不完全可观测系统的信号流图

7.3  线性最优控制的基本概念

最优控制是现代控制理论的一个重要组成部分。它所研究的中心问题是，怎样选择控制规律才能使控制系统的性能及品质在某种意义上是最优的。对于确定性系统，研究如何寻求最优控制向量，使系统性能指标函数——目标函数为最小。

对于我们将要讨论的主动悬架系统及工程中其它很多实际系统其状态方程大多具有线性形式：

                        (7-16)

而系统的目标函数也多为二次型。

式中  ——由加权系数构成的加权矩阵，其形式为：

对于偏差大的项，加权系数取大值，反之则取小值。

一般应对控制向量加以约束，否则会出现无穷大这样的无意。鉴于已确定用二次型指标，故加约束后的性能指标将为

            (7-17)

式中  和均为正定实对称的加权系数矩阵。

    在自动控制系统中若选取状态变量和控制变量的二次型函数的积分作为性能指标函数时，这种状态系统最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称线性二次型问题，由于在汽车中的控制问题大多是线性二次型问题，有的问题也可以化为线性二次型来处理，因此下面将对此作重点介绍，求线性二次型最优控制的解。

    设研究的是线性定常系统，其目标函数为

                 (7-18)

式中积分上限写为，主要考虑过渡过程结束后系统状态保持零系统的状态方程为

    采用反馈控制，在反馈回路上用F加以控制，其方块图如图9-6所示。

图 7-6

    控制目标是寻求控制向量，使目标函数(式9-18)达极小。

    二次型指标的控制规律为线性规律，即

                       (7-19)

式中 F——状态反馈矩阵(或称最优反馈矩阵)。

    代人系统状态方程，可得

或                                                  (7-20)

从上式可知，关键要求，上式中设为稳定矩阵，最优控制理论中已有公式可求，即

                       (7—21)

而(假设为正定实对称矩阵)可由李卡提(Riccati)方程中求出，为使目标函数达到极小，必需满足李卡提方程，即

                  (7-22)

    综上所述，求解最优控制问题的两个基本步骤是：

    a．求解李卡提方程(式9-22)，确定矩阵。

    b．将矩阵代人式(9-21)便得到最优反馈矩阵F。

例：设系统状态方程为[16]

使  求最优反馈矩阵F，使目标函数

达极小

    已知  加权系数矩阵

由状态方程可知

设                           

考虑为正定对称矩阵，则，上式改写为

将，，，，等矩阵代人李卡提方程(式9-22)，得

简化后得

并由此得如下三个方程

于是有

并由式(7-21)求得

=

    最后得最优控制规律

    7.4  悬架参数优化及主动式悬架

    在本节中将重点讨论常规(被动)悬架的参数优化并介绍主动式悬架的原理。

    7.4.1  被动式悬架参数优化

车身垂直加速度值是评价汽车悬架减振特性的主要参数，我们首先就来讨论一下它与路面激励之间的传递关系。为此，我们对常规悬架系统作如下假设：

    1. 取1/4汽车作为分析模型；

    2. 只考虑垂直方向振动；

    3. 不考虑非线性因素； 

    4. 认为轮胎不离开路面。

这样条件下的分析模型便如图9-7所示。图中，，分别代表车身与车轮的质量，，分别代表悬架与轮胎的刚度，为悬架阻尼，，，分别表示路面对车轮的垂直作用力、悬架对车身或车轮的作用力、作用在车身上的垂直干扰          图 7-7

力，，，分别表示路面、车轴、车身的位移。

这样，我们便可写出悬架系统在时域中的动力学方程：

                        (7-23)

                       (7-24)

                        (7-25)

                 (7-26)

对以上各式进行拉氏变换，得

                   (7-27)

                  (7-28)

                  (7-29)

               (7-30)

于是该系统可由图7-8来表示： 

    下面分别求车身位移与路面激励之间的传递函数和车身位移与车身上干扰力之间的传递函数。

    首先求传递函数，此时令，由式(7-29)、(7-30)可得

即              

图 9-8

由此得

                  (7-31)

由式(7-27)、(7-28)、(7-30)合并

又得                    

代人整理得

    (7-32)

由式(7-31)与式(7-32)便有

(7-33)

    而后求传递函数，此时令，由式(9-28)

有

得

               (7-34)

又             

得  

    下面我们来分析在随机路面输入下悬架参数的优化；此时，令

    ，为车身固有频率；，为车身阻尼系数；

    ，为轮胎固有频率；，为质量比。

式(9-33)便可改写成

(7-36)

又有                                   

这样便得到                                    (7-37)

随机输入用路面(功率)谱可表示为：                  (7-38)

式中  ——路面不平系数；

      ——车速。

路面不平系数见表7-1。

表7-1                路面不平系数

车身垂直加速度的均方值便可由下式求得[7]

最后得到

                (7-39)

式中，相对阻尼系数。

    由式(7-39)我们可以看出：

    1. 当，不变，即质量比不变时，降低和，可以使车身垂直加速度均方值减小()；

  2. 增大质量比，即增大或减小()，也可使车身垂直加速度均方值减小；

3. 令，便可得到使最小的相对阻尼系数：

                        (7-40)式中  ——轮胎静挠度；

      ——弹簧静挠度。

此时                                     (7-41)

式(7-40)表明，如果较大(弹簧较软)时，可选得小一些；如果较大(轮胎较软)时，可选得大一些。

例1 一轿车有以下参数：

则由式(9-37)，(9-38)得

此时                          

用图9-7的模型还可求出弹簧行程()和车轮动载

与悬架参数的关系

                   (7-42)

上式表明，在使用条件(，)一定时，弹簧行程将随阻尼的增大而单调地减少。

车轮动载与地面静载之比的均方值为

     (7-43)

此式表明，当，一定时，使车轮动载最小有一最佳阻尼值，这可由式(7-43)对求导数，令可得到地面动载最小的阻尼比为

                  (7-44)

式中  

当然  与是不等的，可用下例来说明。

例2  取例一轿车的参数，求

已知  

，最小阻尼比

                 (7-45)

可见，故选取一轿车的最佳值时要考虑以下两点，如以平顺性为主则要接近，当以安全性为主时使接近于

    以上讨论了被动式悬架参数优化问题，由于其刚度和阻尼不能随频率而调节，因而即使采用优化方法来设计也只能把其性能改善到一定的程度。

    为了克服常规悬架对其性能改善的，性能更加优越的主动悬架和半主动悬架便应运而生。目前对主动式悬架的理论研究也已比较成熟。下面我们就来着重分析一下主动式悬架的原理。

7.4.2  主动式悬架工作原理

主动式悬架也可称为“可调悬架”，主要通过各种反馈信息实现悬架刚度和阻尼值的可调，以保证汽车行驶时的舒适性和安全性都很好。

    分析主动式悬架的性能，首先要建立数学模型。

a．仅进行垂直振动分析时常采用1/4整车所简化的模型如图7-9所示。该模型与一般被动式传统悬架系统不同之处在于：弹性元件和减振器被执行机构代替，执行机构一方面和动力源相连以获得能量(又称有源悬架)，      图7－9

另一方面又和反馈控制系统相连，反馈系统从本身振动参数中获得信息，经过反馈系统中控制单元时计算机处理，然后发出指令给执行机构，就能调节给车身和车轴的力九以保证所需的舒服性和安全性。

b．如需要控制垂直振动和前后起伏振动要用1/2           整车模型分析，而研究包括垂直、俯仰和侧倾响应的控制，则需用整车模型。

由图7-9我们可以看出，主动式悬架主要由三部分组成：

① 能源；② 反馈控制系统(微机、传感器、信号处理器等)；③ 执行机构(力发生器)。      

主动式悬架与被动式悬架相比，具有以下特点：

1. 主动式悬架能供给能量和调节能量，而被动式悬架只能靠变形贮存和释放能量。因为这个特点，主动式悬架又被称为“有源悬架”；

    2. 主动式悬架能产生许多变量函数的力，从而适应外部广泛的干扰。

    主动式悬架的优点就在于：① 固有频率可以较低，而且不随载荷而变，从而保证良好的舒适性；② 悬架的动态变形小；③ 对任何输入的响应都很快。其缺点就在于结构复杂，成本昂贵，但随着汽车技术的发展，这些问题必然会得到解决。

    下面来分析一下加速度反馈控制的主动式悬架(参见图7-10)。其运动方程为

                      (7-46)

式中  为执行机构的传递函数。

将以上各式进行拉氏变换得

                        (7-47)

                       (9-48)

                        (7-49)

                        (7-50)

                             (7-51)

系统方块图见图7-10

图 7-10

先求，此时令，由式(9-47)得

整理后有

                    (7-52)

由式(9-49)

代人，整理得

    (7-53)

合并式(7-52)，(7-53)便有

(7-54)

下面求，此时令，式(7-50)改写为

将式(7-47)，(7-49)相加

整理后得                          (7-55)

展开式(9-49)   

整理得

               (7-56)

由式(7-55)，(7-56)整理得

   (7-57)

9.4.3  主动式悬架控制规律

下面我们用现代控制理论来分析用反馈控制的全主动悬架的控制力问题，其分析模型见图7-11。

图 7-11  全主动悬架分析模型

运动方程式为

                     (7-58)

    选取，，，为状态变量。

图中  代表弹簧变形；

      代表轮胎变形；

      代表轮胎刚度。

控制力。

令                 

有                        

将状态方程写成矩阵形式，便有

       (7-59)

记为                                        (7-60)

    根据最优控制理论，我们认为控制规律是线性的，控制力可表示为

                           (7-61)

式中——称为最优反馈(增益)矩阵，对式(9-60)进行拉氏变换，便有                 

即                                        (7-62)

其中

将以上结果代人式(7-62)的左端，并展开后可得下式：

         (7-63)

关于车辆垂直加速度、悬架变形和轮胎变形相对路面干扰的传递函数，可从式(7-63)导出：

令，则

垂直加速度的传递函数

             (7-)

其中

悬架变形的传递函数为：

        (7-65)

轮胎变形的传递函数为：

      (7-66)

在图9-10的全主动悬架模型中，假设路面激励为白噪声，因此我们认为路面输入谱密度为，上述系统各响应的均方值可用下式算出

              (7-67)

    将式(7-)～(7-66)代人式(7-67)中，并计算积分，则获得汽车主动悬架均方响应的下列表达式：

车身垂直加速度的均方响应

悬架变形的均方响应

         (7-68)

轮胎变形的均方响应

    (7-69)

上列诸式中

由上述诸式可知车身垂直加速度等响应与值的选择有关，下面先分析其物理意义，由式，可展开得

或                           (7-70)

    我们可从上式和一般悬架运动方程式比较后获知各值作用。增益相当于置于M和m间的线性弹簧；的变化主要影响簧载质量的固有频率；

    增益对簧载质量的绝对速度起作用，而且主要影响其阻尼，即主要相当于设置的悬架阻尼系数；

    增益影响轮胎变形，并且主要影响车轮的刚度和固有频率；

    增益对非簧载质量的速度起作用，而且影响车轮跳动的阻尼。

    主动悬架系统的特点是M和m的阻尼可以分别地确定，在被动悬架中则不然，改变悬架的减振器阻尼以改善簧载振动特性，但同时不可避免地影响非簧载质量的振动，这种影响往往是不很理想的，由此也可看出主动式悬架的优越性。

    为了选好各增益()应采用最优调节器理论来计算，有关方法已在9.4节中介绍，首先构造一目标函数

对于控制向量为的控制力，要使目标函数达到极小时，必先解李卡提方程

                 (7-71)

确定矩阵P，当然解此方程时已确定Q和R矩阵，如求得P，参考式(7-21)则控制力中的最优反馈(增

图 7-12 主动和被动悬架垂直加速度响应比较

益)矩阵即由式中求出。图7-12，7-13，7-14，对比了主动式悬架与被动式悬架各响应的差别。两类悬架系统参数如下：[16]

                                 被动悬架               主动悬架

M，kg                           240                   240

m，kg                            36                    36

，N/m                      16000            

，N·s/m                      980               

，N/m                      160000                 160000

图 7-13  主动和被动悬架轮胎变形的频响比较

图 7-14  主动和被动悬架的悬架变形响应比较

从图7-12中看出，被动式悬架的车身垂直加速度响应曲线上出现两个峰值，是悬架系统在M和m的固有频率处出现共振的结果，基频率分别为1.5Hz和10.6Hz，这两峰值，特别是低频峰值数值大，对乘坐舒适性影响特别大，而主动式悬架的响应曲线中就不再出现低频峰值，垂直加速度的数值与被动式悬架的相比为：5∶20，减少4倍，大大改善了乘坐舒适性。

    图7-13中比较了两类悬架的轮胎变形，主动式悬架主要降低了低频共振处的轮胎变形，提高了行驶安全性，在高频共振区两者的轮胎变形接近。

    图7-14比较了两类悬架的悬架变形响应，虽然主动式悬架在簧载质量固有频率处的悬架变形较被动式的小，但在频率低于M的固有频率时，出现有较大的悬架变形，当频率为零时主动悬架的变形幅值不为零，这种现象正是分别以簧载质量M和非簧载质量m的引入不同增益阻尼和的直接结果。

    9.5  半主动悬架系统分析

主动式悬架的出现确是悬架结构发展中的重大突破，它同时改善了车辆的舒适性和安全性，摆脱了被动式悬架不能兼顾上述两种性能的困境，但是主动式悬架的执行机械需要选用高精度的液压伺服缸，需要复杂的传感器和仪器设备，需要较多的外部动力来控制执行机构，故其成本很高，结构复杂，可靠性影响因素多，因而没有得到迅速推广，在70年代初Crosby和Karnop首先提出了半主动悬架的新方案，它与被动式悬架不同之处在于半主动式悬架包括被动弹簧和一个并联的阻尼可调的减振器，这个减振器称为主动减振器，其结构中工作液的通流面积可通过控制阀实行调节，也即是其阻尼可按最优控制规律改善与悬架刚度的匹配。

应该说半主动悬架中阻尼调节最理想的情况是其簧载质量和非簧载质量对惯性参考地面都具有阻尼，如图7-15所示图中和，为虚拟的减振器阻尼系数，这种称为“Skyhook”式减振器     图7-15  半主动悬架分析模型

在实际车辆中是不存在的，这种系统称虚拟惯性阻尼系统。

    7.5.1  虚拟惯性阻尼系统的传递特性

图中，代表轮胎变形，代表弹簧变形。

选取，，，为状态变量，令，，，，有                                      (7-72)

                  (7-73)

                       (7-74)

                  (7-75)

状态方程用矩阵形式可表示为

+        (7-76)

记为                                                 (7-77)

进行拉氏变换得

                       (7-78)

即              =           (7-79)

以，为输出，则和的速度和相对输入的传递函数分别为

                      (7-80)

          (7-81)

式中，， 

由式(7-80)、(9-81)，令，得系统的频率响应特性，频响曲线分别示于图7-16，图7-17中。

图 7-16 虚拟悬架系统簧上质量频率传递特性

图 7-17  虚拟悬架系统簧下质量频率传递特性

    所选择的模型参数如下：[16]

，或

    由图7-16，这种虚拟系统极好地实现了对簧载质量的共振控制，同时具有极好的高频隔振特性。

    由图7-17表示这种系统其车轮速度和地面激励速度几乎在所有频段都相等，这说明在较宽的频区内车轮运动对路面有很好的跟踪性能，保证了良好的安全性。

    这种悬架系统的性能近乎理想，故也可称虚拟惯性阻尼系统为理想悬架系统，在主动和半主动悬架控制中，均要通过适当的控制方案，使其性能达到或接近理想悬架系统的性能。

    7.5.2  半主动悬架控制形式

7.5.2.1  连续变化阻尼的半主动悬架

    这种半主动悬架的主动减振器中，需要一控制阀，可以在最大和最小的有效通流面积之间任何位置变化。

    7.5.2.2  开-关控制半主动悬架(on-off式控制)

    这种悬架系统，主动减振器采用较为简单的控制阀，该阀需要完成最大或最小的有效流通面积控制。这种控制器结构较上一种简单。可由下式表示其特性，即

式中  ——控制力；

      Con——开状态主动减振器阻尼系数；

      ——簧上质量速度；

vin——路面输入速度。

图7-18以单自由度系统的频率传递特性，比较几种悬架的性能，以供参考。

图 7-18  单自由度波动、主动和半主动悬架的频率传递特性