(完整版)第六章线性空间练习题参

一、填空题

1.已知是的一个子空间，则维（V）

＝　3　　， V的一组基是.

2．在P4中，若线性无关，则k的取值范围是（以为行或者列构成的行列式不为零）.

3．已知是数域P中的一个固定的数，而

是Pn+1的一个子空间，则＝　0　　，而维(W)＝

4．维数公式为.

5．设是线性空间V的一组基，，则由基到基的过渡矩阵T＝，而在基下的坐标是由基到基的过渡矩阵为T＝.

    6．数域上级对称矩阵全体构成数域P上维线性空间，数域上级反对称矩阵全体构成数域P上维线性空间，数域上级上三角矩阵全体构成数域P上维线性空间，数域上级对交矩阵全体构成数域P上维线性空间，数域上级数量矩阵全体构成数域P上 1 维线性空间.

二、判断题

1.设，则是V的子空间.

错.行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零，因此中矩阵关于矩阵的加法运算不封闭，不能成为子空间.）

2.已知为R上的线性空间，且维(V）＝2.

错.是子空间，但是是4维的，其基为.

3.设，V是的解空间，V1是AX＝0的解空间，V2是(A＋B)X＝0的解空间，则.

正确. 中的向量既满足AX＝0，又满足(A＋B)X＝0，因此也满足BX＝0，即满足，即为中的向量.反之，中的向量既在中，又在中，即为中的向量.因此.

4.设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组线性表出，则维(W)＝s.

正确.根据定理1.

5.设W是线性空间V的子空间，如果但则必有

错误.可能如取为一对互为负向量，则

6. 是的子空间. 

正确. 基为（1,0,0），（0,1,0），维数为2.

7. 是的子空间.

错误.不包含零向量.

8. 是的子空间.

正确.基为（1,1,1），维数为1.

9. 是的子空间.

正确. 基为（1,1,0），（1,0，-1），维数为2.

三、计算题

1.求所有与可交换的矩阵组成的的子空间的维数与一组基，其中

.

  解：设矩阵与可交换，即有.即

.

.

所以有当时，，因此

维数为3，基为.

2.在线性空间P4中，求由基到基的过渡矩阵，并求在基下的坐标，其中

解：令过渡矩阵为，则有

因此

.

令

在基下的坐标为（-101,21，-4,3）

四、证明题

1.V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令

证明：W1、W2皆为V的子空间，且

证明：W1、W2 分别为偶函数全体及奇函数全体构成的集合，显然W1、W2均为非空的.由奇偶函数的性质可得W1、W2皆为V的子空间.

.

而，因此又所以

2.设W是Pn的一个非零子空间，若对于W的每一个向量来说，或者，或者每一个都不等于零，证明：维(W)＝1.

证明：由W是Pn的一个非零子空间，可得W中含有非零向量设

是W中的任二个非零向量，由题意可得每一个都不等于零.考虑向量

.由题设条件有，即有.即W中的任二个非零向量均成比例，因此维(W)＝1.