高中数学 3.1.3空间向量的数量积运算练习 新人教A版选修2-1

单元过关试卷

一、基础过关

1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的                    (　　)

A．充分不必要条件              B．必要非充分条件

C．充要条件                  D．既非充分也非必要条件

2．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则·等于(　　)

A．0          B.          C．－          D．－ 

3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于                         (　　)

A.          B．97          C.              D．61

4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为            (　　)

A．30°          B．60°      C．120°          D．150°

5．如果e1，e2是两个夹角为60°的单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角为________．

6．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.

7．在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求PC的长．

二、能力提升

8．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是                                                (　　)

A．30°              B．45°          C．60°          D．90°

9．正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是                                                                (　　)

A．2              B.              C.              D. 

10．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a与b的夹角是________．

11.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，

高中数学选修2-1：空间向量与立体几何（共2页）第1页

AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．

12.已知在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.

三、探究与拓展

13.如图所示，如果直线AB与平面α交于点B，且与平面α内的经

过点B的三条直线BC、BD、BE所成的角相等．求证：AB⊥平

面α.

答案

1．A　2.D　3.C　4.C　

5．120°　6. 

7．解　∵＝＋＋，

∴||2＝2＝(＋＋)2

＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·

＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49，∴||＝7，即PC＝7.

8．C　9．C　

10．60°

11．解　由题意知||＝，

||＝，＝＋，

＝＋＋，

∵PA⊥平面ABCD，

∴·＝·＝·＝0，

∵AB⊥AD，∴·＝0，

∵AB⊥BC，∴·＝0，

∴·＝(＋)·(＋＋)＝2＝||2＝1，

又∵||＝，||＝，

∴cos〈，〉＝＝＝，

∴〈，〉＝60°，

∴PB与CD所成的角为60°.

12．证明　∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，

∴△OAC≌△OAB.

∴∠AOC＝∠AOB.

∵·＝·(－)

＝·－·

＝||||cos∠AOC－||||·

cos∠AOB＝0，

∴⊥，∴OA⊥BC.

13．证明　如图所示，在直线BC、BD、BE上取||＝||＝||.

∵与、、所成的角相等，

∴·＝·＝·，

∴

即

∴AB⊥DC，AB⊥DE.

又DC∩DE＝D，∴AB⊥平面α.