广东肇庆市2013年高考一模数学(理科)试题及答案

2013届高中毕业班第一次模拟试题

数    学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设（是虚数单位），则

A．          B．          C．          D． 

2．集合，，则

A．       B．          C．          D． 

3．已知向量．若为实数，，

则

A．        B．         C．             D． 

4．公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且，则=

A．1            B．2            C．4               D．8

5．某程序框图如图1所示，则输出的结果S=

A．26           B．57           C．120             D．247 

6．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为

A．     B．    C．      D． 

7．已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图2所示，

则其侧视图的面积为

A．              B． 

C．              D． 

8．在实数集R中定义一种运算“”，具有性质：

①对任意；

②对任意；

③对任意；

函数的最小值为

A．            B．3            C．            D．1 

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. 

（一）必做题（9～13题）

9．不等式的解集是 ______.

10. 2个好朋友一起去一家公司应聘，公司人事主管通知他们面试时间时说：“我们公司要从面试的人中招3个人，你们都被招聘进来的概率是” .根据他的话可推断去面试的人有______个（用数字作答）.

11．若圆与直线相切，其圆心在轴的左侧，则m=______.

12．在中， ，BC=2，，则的面积等于_____.

13．已知不等式组表示一个三角形区域（包括三角形的内部及边界），则实数的取值范围为______.

14．（坐标系与参数方程选做题） 已知直线为参数）与直线相交于点，又点，则______.

15．（几何证明选讲选做题）如图4，已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，C为AD与圆的交点，圆心到的距离为，，则的长为______.

三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 

16.（本小题满分12分）

已知函数在时取得最大值2.

（1）求的最小正周期；

（2）求的解析式；

（3）若，，求的值.

17.（本小题满分13分）

因台风灾害，我省某水果基地龙眼树严重受损，为此有关专家提出两种拯救龙眼树的方案，每种方案都需分四年实施．若实施方案1，预计第三年可以使龙眼产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案2，预计第三年可以使龙眼产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第三年与第四年相互，令表示方案实施后第四年龙眼产量达到灾前产量的倍数．

（1）写出ξ1、ξ2的分布列；

（2）实施哪种方案，第四年龙眼产量超过灾前产量的概率更大?

（3）不管哪种方案，如果实施后第四年龙眼产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?

18.（本小题满分13分）

如图5，PA垂直⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB，，C是弧AB的中点.

（1）证明：BC平面PAC；

（2）证明：CFBP；

（3）求二面角F—OC—B的平面角的正弦值.

19. （本小题满分14分）

已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆O相切.

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点P，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程；

（3）设与轴交于点Q，不同的两点R、S在上，且满足，求的取值范围.

20.（本小题满分14分）

已知Sn是数列的前n项和，且，.

（1）求的值；

（2）求数列的通项；

（3）设数列满足，求证：当时有.

21．（本小题满分14分）

若，其中．

（1）当时，求函数在区间上的最大值；

（2）当时，若，恒成立，求的取值范围．

一、选择题

8B解析：根据条件③，对于任意的有，

∴取得得①②得对任意实数都成立，代入上式得：这就是运算的定义,将其代入题目检验符合①②③，

∴，当且仅当时“=”成立，即函数的最小值为3.

二、填空题

9.      10.  21      11.        12.  

13.       14.        15.   3

三、解答题

16．（本小题满分12分）

解：（1）的最小正周期为                         （2分）

（2）由的最大值是2知，，                            （3分）

又，即，    （4分）

∵，∴，∴，∴         （5分）

∴                                           （6分）

（3）由（2）得，

即，∴，                                  （7分）

∵，∴          （8分）

∴                       （9分）

                          （10分）

∴  （12分）

17．（本小题满分13分）

解：（1）ξ1的分布列为

ξ2的分布列为

（2）由（1）可得ξ1＞1的概率P（ξ1＞1）= 0.15 + 0.15 = 0.3，            （7分）

ξ2＞1的概率P（ξ2＞1）= 0.24 + 0.08 = 0.32，                            （8分）

∵P（ξ2＞1）＞P（ξ1＞1），∴实施方案2，第四年产量超过灾前概率更大.   （9分）

（3）设实施方案1、2的平均利润分别为利润A、利润B，根据题意，

利润A =（0.2 +0.15）×10 + 0.35×15 +（0.15 + 0.15）×20 = 14.75（万元）   （10分）

利润B =（0.3 + 0.2）×10 + 0.18×15 + （0.24 + 0.08）×20 = 14.1（万元）    （11分）

∵利润A＞利润B，∴实施方案1平均利润更大.                        （13分）

18．（本小题满分13分）

（1）证明：∵PA平面ABC，BC平面ABC，

∴BCPA.                                （1分）

∵ACB是直径所对的圆周角，

∴，即BCAC.                 （2分）

又∵，∴平面.        （3分）

（2）证明：∵PA平面ABC，OC平面ABC，

∴OCPA.                                （4分）

∵C是弧AB的中点， ∴ABC是等腰三角形，AC=BC，

又O是AB的中点，∴OCAB.              （5分）

又∵，∴平面，又平面，

∴.                              （6分）

设BP的中点为E，连结AE，则， 

∴.                              （7分）

∵，∴平面. 又平面，∴.  （8分）

（3）解：由（2）知平面，∴，，      （9分）

∴是二面角的平面角.                            （10分）

又∵，，∴，                      （12分）

∴，即二面角的平面角的正弦值为.     （13分）

19．（本小题满分14分）

解：（1）由直线与圆相切，得，即. （2分）

由，得，所以，                   （3分）

所以椭圆的方程是.                              （4分）

（2）由条件，知，即动点M到定点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹的方程是.                   （7分）

（3）由（2），知，设，

∴                        （8分）

由，得                  （9分）

∵，∴，

∴，当且仅当，即时等号成立.

                                                               （11分）

又                       （12分）

∵，∴当，即时，           （13分）

故的取值范围是.                                 （14分）

20．（本小题满分14分）

解：（1）由得  ，          （1分）

，                                         （2分）

由得                           （3分）

（2）当时，由  ① ，得  ②     （4分）

①－②得，化简得，

∴（）.                                        （5 分）

∴，，……，                          （6 分）

以上（）个式子相乘得（）     （7 分）

又，∴                                     （8 分）

（3）∵，，，

∴是单调递增数列，故要证：当时， ，只需证.  （9分）

（i）当时 ，，显然成立；                          （10分）

（ii）当时，

∵，，

∴，∴.                        （11分）

∴

（12分）

∴.                                               （13分）

综上，当时有.                                      （14分）

21．（本小题满分14分）

解：（1）当，时，，         （1分）

∵，∴当时，，                （2分）

∴函数在上单调递增，                 （3分）

故                     （4分）

（2）①当时，，，

，，∴f（x）在上增函数，                （5分）

故当时，；                            （6分）

②当时，，，（7分）

（i）当即时，在区间上为增函数，

当时，，且此时；      （8分）

（ii）当，即时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，                                                          （9分）

故当时，，且此时；（10分）

（iii）当，即时，在区间[1，e]上为减函数，

故当时，.                              （11分）

综上所述，函数的在上的最小值为（12分）

由得；由得无解；得无解；    （13分）

故所求的取值范围是．                                     （14分）